книги / Математика без формул

ванием^ от начала координат до некоторого подвижного верхнего предела. Эти изменения сравним с поворота­ ми синусоиды.

Покуда косинусоида проходит над осью абсцисс, пло­ щадь под ней положительна и нарастает, и в соответст­ вии с этим синусоида, выйдя из начала координат, идет вверх. Высота косинусоиды уменьшается, все меньшие добавки к площади дает увеличение верхнего предела интегрирования, и рост синусоиды замедляется. Коси­ нусоида ушла под ось абсцисс, добавки к площади стали отрицательными, и синусоида пошла на спад.

И вот в некоторой точке она обратилась в нуль. При­ смотритесь теперь к графику косинусоиды: вертикаль, соответствующая верхнему пределу интегрирования-, ограничивает справа фигуру, распадающуюся на две части: они равны друг другу, но лежат по разные сторо­ ны от оси абсцисс, так что их площади имеют разные знаки, поэтому суммарная площадь этой двухлепестко­ вой фигуры в алгебраическом смысле равна нулю.

Читателю, который чувствует себя вполне освоив­ шимся с приведенными таблицами, мы хотели бы пред­ ложить несложную задачу: из функций, встречающихся- в первой таблице, выбрать такие три, чтобы первая была производной от вто­ рой, а вторая — производ­ ной от третьей.

Готово? Убедитесь в пра­ вильности своего выбора.

А теперь смотрите вни­ мательнее: мы превратим эту тройку в пару.

Понятен ли вам смысл этой записи? Не правда ли, ее расшифровка очевидна: операция дифференциро­ вания, дважды применен­

221

ная к параболе, дает в результате константу.

В подобной очевидности — огромное достоинство символического языка, который Лейбниц разработал для дифференциального и интегрального исчисления.

Итог этого небольшого раздела подведем определе­ нием: результат двукратного дифференцирования функ­ ции называется второй производной. Сходным образом определяются третья производная, четвертая и т.д.

•

Воспользуемся еще раз автомобилем, на котором мы так стремительно ворвались в область дифференциаль­ ного и интегрального исчисления. По графику зависи­ мости пройденного пути от времени мы построили тогда другой график, который показывал, как зависит от'вре­ мени мгновенная скорость движения. Он получался из первого дифференцированием — скорость есть произ­ водная пути по времени.

			Взяв этот график, произ­
			ведем над ним те же опера­
			ции: определим скорость
			изменения скорости,			най­
			дем производную от произ­
			водной, вторую	производ­
			ную пути по времени.^ Коро­
			че говоря, найдем ускоре­
			ние. Вот он —	результат
			дифференцирования			ско­
			рости.
			Ускорение... Месть			вве­
			дения этого понятия в меха­
			нику принадлежит Галилею.
			Великому физику		посчас-
0	’	2	3" тливилось —	он	шел к
			своим выводам от изучения

движений, которые ускоряются простейшим образом. Он исследовал падение тел и нашел, что все они под воздействием силы тяжести падают на Землю с одним и тем же ускорением, неизменным по ходу падения.

222

Факт замечательный! Располагая им, мы сможем почти автоматически повторить открытия Галилея — ус­ тановить законы падения тел, то есть определить, по какому графику нарастает со временем путь, пройден­ ный падающим телом, — пусть это будет, к примеру, камень.

Сконструируем формулировку задачи из уже приме­ нявшихся картинок И символов Искомый график заме­ ним картинкой со знаком вопроса, приписав к нему слева знак второй производной. Отметим, что речь идет об ускорении: поставив справа знак равенства и график функции-константы, покажем, что это ускорение извест­ но нам — оно постоянно, не зависит от времени (рис. ниже).

Такая комбинация уже попадалась нам на одной из предыдущих страниц. Там она не содержала неяснос­ тей: на месте вопроса была вычерчена парабола. Стало быть, путь, пройденный падающим камнем, растет со временем по закону параболы.

Касательная, проведенная к нашей параболе в начале координат, горизонтальна, ее угловой коэффициент равен нулю. Это значит, что камень начинает падать с нулевой начальной скоростью, без толчка. Именно тако­ му случаю соответствует найденное нами решение.

Найденному решению можно подыскать наглядное подтверждение, Падающий камень нужно толкнуть вбок. Приданное ему горизонтальное движение сохранится — смещение камня по горизонтали будет нарастать про­ порционально времени. А вертикальное, как мы уже знаем, пропорционально квадрату времени. Траектория камня будет параболой.

223

•

Особенность только что решенного нами уравнения заключалась в том, что неизвестная функция стояла под знаком производной. Уравнения подобного сорта назы­ ваются дифференциальными. Порядок наивысшей про­ изводной, входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком. Например, уравнение, ре­ шенное нами, — второго порядка.

Найти неизвестную функцию из дифференциального уравнения — значит, как принято говорить, проинтегри­ ровать его. Если искомая функция найдена, ее называют решением дифференциального уравнения, а ее гра­ фик — интегральной кривой.

Наконец, еще один термин. Для его пояснения вер­ немся вновь к задаче Галилея. Она решена нами не полностью. Пока что мы умеем рассчитывать лишь такое падение камня, когда оно начинается без начальной скорости, говоря попросту, когда камень выпущен из рук. А если его подбросить вверх или толкнуть вниз?

В поисках ответа вспомним, как когда-то, найдя пер­ вообразную для заданной функции, мы сдвигали по­ строенную кривую вверх и вниз. От таких сдвигов пер­ вообразная не переставала быть первообразной все для той же исходной функции. И еще подумаем о том, что мыслимы также сдвиги первообразной вправо и влево — это все равно, что изменить начало отсчета аргумента (в нашей задаче — времени падения).

fto Y ?

о

После этого возьмем интегральную кривую, постро­ енную нами для падения камня без начальной скорости, возьмем эту параболу и, не поворачивая, передвинем ее по координатной плоскости так, чтобы она проходила

224

через начальную точку с должным угловым коэффици­ ентом, равным начальной скорости, которая придана камню толчком вниз или броском вверх. Оказывается, это и будет решением поставленной задачи.

Сохраняя свою форму, парабола свидетельствует, что законы движения остаются прежними: это все то же равноускоренное падение. Сдвигаясь по координатной плоскости, парабола указывает, что начальные условия движения были иными.

Такое можно сказать про любой процесс: не изменяя ни на миг законам своего течения, он будет все же течь каждый раз по-особому в зависимости от того, каково состояние в начальный момент.

Стало быть, решая дифференциальное уравнение, описывающее процесс, необходимо учитывать началь­ ные условия.

Изменение начальных условий, как правило, приводит к перестройке интегральной кривой. В задаче Галилея все обошлось простым сдвигом параболы, но это скорее редкое исключение, объясняемое простотой дифферен­ циального уравнения.

•

Если вы думаете, что дифференциальные уравне­ ния — это вещи, встреча с которыми в обыденной жизни исключена, то отложите на время эту книгу в сторону, возьмите свой транзистор, включите его и настройтесь на волну, разносящую по эфиру звуки легкой музыки

А пока вы вращаете рычажок настройки, разрешите коротко, в двух словах, прокомментировать ваши дейст­ вия на языке радиотехники и математики.

Если бы вы заглянули во внутренности своего радиоящика, то обнаружили бы, что рычажок настройки со­ единен с конденсатором, а тот в свою очередь связан в замкнутую цепь с катушкой и другими деталями, важны­ ми сейчас для нас лишь тем сопротивлением, которое они оказывают электрическому току.

Конденсатор, катушка, сопротивление — вот радио­ техническая троица, образующая сердце каждого при­ емника, колебательный контур. Частоту биений этого

225

сердца, частоту пульсаций заряда на конденсаторе ре­ гулирует настроечный рычажок; когда она совпадает с частотой передающей станции, приемник по законам резонанса воспроизводит звуки, рассылаемые по эфиру антеннами передатчика.

Как же рассчитать частоту пульсаций заряда? Всякая замкнутая электрическая цепь живет и рабо­

тает по закону Кирхгофа: если в цепи нет источников тока, сумма падений напряжения на всех ее участках равна нулю. В нашем контуре таких участков три — конденсатор, сопротивление, катушка.. Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, на сопротивле­ нии — току, производной заряда по времени, на катуш­ ке — производной тока по времени, то есть второй производной заряда. Коэффициентами пропорциональ­ ности между членами перечисленных пар служат соот­ ветственно емкость конденсатора, величина сопротив­ ления, индуктивность катушки.

Определив падение напряжения на каждом'из участ­ ков цепи, просуммируем их и приравняем к нулю — и вот оно, уравнение, определяющее пульсации заряда!

Заряд входит в него под знаком первой и второй производной. Уравнение получилось дифференциаль­ ное

226

Вот так нежданно-негаданно на волнах легкой музыки выплыло нечто, что в обыденной жизни, казалось бы встречаться не может — дифференциальное уравнение Мы не хотим утомлять вас перечнем других приборов и явлений. Можете поверить нам на слово там, где

требуется рассчитывать не только некоторые состояния но и изменения состояний, процессы, движения в самом широком смысле слова, — там всюду математик прихо­ дит к дифференциальным уравнениям

•

«Лишь дифференциальное исчисление дает естество­ знанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение», — писал Энгельс.

Картина мира, которую нарисовала классическая фи­ зика, выполнена в технике дифференциальных уравне­ ний

Завоевывая для математики все более широкие сферы приложения, дифференциальное и интегральное исчисление одновременно наводило порядок и в тылах этой древней науки. Оно давало универсальные и эф­ фективные методы для решения многих задач, которые по своей статической сути принадлежат к прежней, элементарной математике, но с которыми та не могла совладать.

Элементарная математика знает формулы для объема пирамиды, конуса, шара. Каждая из этих формул далась первооткрывателям приемом оригинальным и неповто­ римым. Это скорее драгоценные камни, нежели стро­ ительный материал, из которого можно «смонтировать» общую формулу для объема любого тела.

Как, например, вычислить объем лимона? Задача ка­ жется неразрешимой.

А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее решению, готовя лимон к употреблению, нарезая его на дольки. С того же начал бы и знаток интегрального исчисления, готовясь вычислить объем этого эллипсои­ да вращения из рода цитрусовых. Объем лимона равен сумме объемов долек; для каждого из них он прибли-

227

женно выражается произведением высоты на площадь основания — либо верхнего, либо нижнего, а можно взять и любую промежуточную величину.

Вэтом нетрудно усмотреть ту же схему интегрирова­ ния, по которой мы вычисляли площади криволинейных фигур. Под таким углом зрения теперь видна вся дорога до поставленной цели: сначала определить функцию, по которой площадь сечения лимона меняется вдоль его оси, для этой функции найти первообразную и наконец воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница,

Так, в чисто статические на первый взгляд задачи входят движение, переменные величины, а вместе с ними — методы дифференциального и интегрального исчисления. И задачи, не разрешимые в рамках элемен­ тарной математики, элементарно решаются благодаря новому подходу, суть которого составляют переменные величины.

Недаром вся созданная на их основе математика, обеспечившая становление и развитие классической физики, называется высшей в отличие от прежней, эле­ ментарной.

Впопулярной книге английского математика Джона Литлвуда «Математическая смесь» есть страничка, где приведена забавная классификация углов из старого ©правочника по альпинизму,

перпендикулярно — 60'; абсолютно перпендикулярно — 65", нависающе — 70‘.

228

Смешно? Смешно. Но этот пример мы привели не тблько ради смеха. Тут есть над чем поразмышлять со всей серьезностью.

65', 70’... Градусами измеряются углы. А углы образу­ ются двумя прямыми. Но скажите, читатель: видели ли вы когда-нибудь горы' с прямыми склонами, словно у египетских пирамид? Нет? Так что же тогда имеют в виду, когда говорят о наклоне непрямой поверхности или линии?

Оставим пока поверхности в стороне, ограничимся для начала линиями. На какой-нибудь гладкой линии отм!етим точку и спросим: каков в этой точке наклон линии?

Држе если вы не альпинист, ответ у вас, надеемся, готов. Его подсказывает интуиция и содержание предыдущих страниц. В отмеченной точке нужно по­ строить касательную к кривой. И вот они — две прямые: касательная и горизонталь. Теперь уже можно говорить про угол. А к углу можно приложить транспортир.

Но лучше в качестве меры угла использовать угловой коэффициент касательной, то есть производную. И го­ ворить: наклон кривой в точке А равен плюс двум, наклон в точке В — минус половине.

Мы описали этими словами изображенное на графи­ ке. Заметим попутно, что для опытного математика ссылка на график после таких слов становится излиш­ ней. Он и без картинок представляет, что минус поло­ вина — это пологий спуск, а плюс два — крутой подъем кривой, если прослеживать ее слева направо.

В таких случаях математик часто обращает внимание не столько на величину чисел, сколько на их знаки. Знак без числа — это, конечно, потеря точности. Но зато

229

прибыль в общности. Ведь если наклон меняется плав­ но, т0 рост остается ростом на некотором промежутке, а не только в той его точке, где положительная производндя зарегистрировала рост. Положительный знак производной в промежутке — свидетельство возраста­ ния функции в этом промежутке, отрицательный — сви­ детельство спада. Производная сменила знак в некото­ рой точке — значит в этой точке соседствуют участки роста и спада. Значит, это точка экстремума — макси­ мума или минимума. Спад сменился ростом — минимум. Рост сменился спадом — максимум. (Заметим: если производная существует в точке экстремума, то там она обязательно равна нулю. Это облегчает поиск экстрему­ мов).

Но расти и снижаться можно по-разному. Рост может становиться все быстрее, а может, наоборот, замед­ ляться и даже смениться спадом. Спад тоже может либо усиливаться, либо тормозиться и даже перейти в рост. Особенности такого рода мы характеризовали словами «выпуклость» и «вогнутость».

Выпуклость — это замедляющийся рост и нарастаю­ щий спад. Проследите взглядом ход нашей выпуклой кривой слева направо, в направлении, указанном стрел­ кой оси абсцисс: наклон кривой уменьшается, уменьщается производная.

А теперь немножко поиграем рловами. Выпуклость — это уменьшение производной. Уменьшение — это отри­ цательная производная. Уменьшениепроизводной — это отрицательная производная производной. Это отри­ цательная вторая производная. Итак, выпуклость — это отрицательная вторая производная.

Вдумчивый читатель, конечно, разглядит точный смысл за этой'словесной игрой и согласится с ее ре­ зультатом: отрицательный знак второй производной — свидетельство выпуклости. Точно так же положительный знак второй производной — свидетельство вогнутости.

Естественно предположить далее, что абсолютная ве­ личина второй производной может служить мерой кри­ визны— той скорости, с которой вращается касательная по мере роста аргумента. Предположение верное, од­ нако точная формула кривизны содержит, кроме второй,

230