книги / Математика без формул

Метод, о котором мы рассказали, был предложен Леонардом Эйлером, а подробно его разработал фран­ цузский математик и физик Жан Батист Фурье, чьим именем и принято сейчас называть замечательный метод.

Читатель, вероятно, припоминает, что речь о прибли­ жении функций уже шла на страницах этой книги — именно в том месте, где говорилось о производной. Не встретив ничего похожего сейчас, читатель, пожалуй, испытывает недоумение.

Объяснимся. Дело в том, что существует несколько подходов к вопросу о приближении функций. Поэтому не удивительно, что прежде, за разговором о производ­ ной, мы подошли к нему по одному из возможных путей, а здесь пошли по другому.

Попытаемся теперь пояснить, в чем различие двух уже знакомых нам подходов.

I

а

< \ / \ >

Как очутились рядом графики столь разнородных функций?

На первом — константа. На втором — синусоида. На третьем — синусоида, так сказать, перекроенная: ее отрицательные полуволны заменены симметричными им относительно оси абсцисс и, стало быть, положи­ тельными. Иными словами, значения функции синуса на третьем графике даны по абсолютной величине.

Чтобы понять родство этих функций, обратите внима­ ние, какими буквами отмечена вертикальная ось каждо­ го из трех графиков. Прописная латинская буква / — традиционное для электротехники обозначение тока. Две основные его разновидности и представлены на первых двух графиках — ток постоянный и ток перемен­ ный.

261

Знак тока, как известно, соответствует его направле­ нию. Перекройка синусоиды, понятная из сравнения второго и третьего графиков, на языке электротехники называется выпрямлением тока. Прежде переменный, он приобретает от этого постоянное направление. Те­ перь им можно питать электроприборы, работающие на постоянном токе.

Еще неясно, правда, какому постоянному, току он будет равносилен, каким синусоидальным биениям рав­ ноценны его периодические изменения.

Казалось бы, на эти вопросы ответить нетрудно, рас­ смотрев кривую выпрямленного тока на протяжении одного лишь периода, взяв лишь одну дужку перекроен­ ной синусоиды. Надо про­ вести горизонталь, пло­ щадь под которой равна площади под дужкой, — ее высота и укажет величину постоянного тока, которо­ му равносилен выпрямлен­

ный. Ведь заряд, перенесенный током, на языке графи­ ков выражается площадью под кривой зависимости тока от времени. А чтобы оценить величину биений относи­ тельно среднего значения, вызванных непостоянством выпрямленного тока, следует построить на проведенной горизонтали, как на оси'абсцисс, такую косинусоиду, которая как можно теснее прилегала бы к нашей кривой

иимела бы тот же период.

Такой подход к делу верен. И все-таки не будем

спешить с окончательными выводами. Ведь комбина­ цией горизонтали и косинусоиды наша кривая прибли­ жена еще весьма неточно.

Чем же нужно дополнить эту комбинацию, чтобы уменьшить оставшуюся невязку? И, кстати, какова она, эта невязка? Чтобы получить ее в чистом виде, вычтем из нашей кривой уже построенные горизонталь и коси­ нусоиду.

Не любопытно ли? В результате получилась двугорбая кривая. Исчерпать такое расхождение, очевидно, помо­ жет косинусоида с периодом, вдвое меньшим по срав­ нению с периодом выпрямленного тока.

262

Теперь поглядите, что получится дальше, когда мы вычтем и эту косинусоиду, — на протяжении периода выпрямленного тока кривая оставшейся невязки имеет уже три волны и требует для своего исчерпывания косинусоиду с периодом, втрое меньшим по сравнению с периодом выпрямленного тока

У

У

л

Подобные уточнения можно проводить еще и и еще пока невязка не окажется меньше желательной точнос­ ти, то есть столь малой, что ею уже можно будет прене­ бречь И тогда исходная кривая выпрямленного тока представится суммой всех вычтенных косинусоид

1У	У	у	у у - cosZx
	X ~ п	У* 1
		X з я \J l/5Я W\ А /
	2

Вот оно искомое разложение, частичная сумма ряда Фурье для выпрямленного тока. Мы привели фрагмент этого разложения с точными значениями коэффициен­ тов, какими их позволяет вычислить теория рядов Фурье. Формулам, их выражающим, конечно, не место в нашем беглом рассказе. Скажем лишь* что вычисля­

263

ются эти коэффициенты посредством интегрирования. Иными словами, для их определения важно знать пове­ дение функции на всем отрезке, на котором мы ее приближаем' частичными суммами функционального ряда.

Кстати сказать, эта определяющая особенность про­ являлась и в наших построениях: мы добивались, чтобы исходная и приближающая кривая были бы близки на всем периоде выпрямленного тока, а не в какой-либо избранной точке. Точно так же поступали мы, когда описывали функциональными рядами формы листьев, профили волн в лотке, очертания мыльных пузырей.

Приближение функции на отрезке — вот суть описан­ ного подхода

•

Видели ль вы безмен, одно из стариннейших приспо­ соблений для взвешивания? Если видели, то обращали ли внимание на то, как выглядит его шкала?

Бросается в глаза, что ее деления располагаются неравномерно — не то, что на пружинных или на рычаж­ ных весах.

Если приложить безмен к горизонтальной оси прямо­ угольной системы координат так, чтобы груз совпал с началом, а середина стержня — с единичной отметкой,

если затем над каждым делением шкалы безмена отло­ жить по вертикальной оси соответствующее значение

264

веса и провести через полученные точки плавную кри­ вую, получится график гиперболической функции, стре­ мящейся к бесконечности, когда аргумент стремится к правому краю ее области определения.

Впрочем, если приглядеться к шкале безмейа внима­ тельнее, то выяснится, что неравномерность делений проявляется у нее лишь где-то посредине, а в начале она почти равномерна. В соответствии с этйм и постро­ енный нами график выходит из начала координат почти прямолинейно. Стало быть, в окрестности начала коор­ динат его можно приблизить прямой.

Как мы уже знаем, прямая наилучшего приближения наиболее тесно прилегающая к кривой, — это касатель­ ная, проведенная к кривой в той точке, в окрестности которой и строится приближение

С отходом ох точки касания расхождение между кри­ вой и приближающей прямой становится все заметнее. Как уточнить приближение? Какой простой формулой можно описать невязку? И, кстати, какова она? Чтобы получить ее в чистом виде, вычтем из нашей кривой касательную.

Получилось нечто похожее на параболу. Параболой с надлежащим коэффициентом мы и попытаемся исчер­ пать невязку. Она, конечно, исчерпается не полностью. Для дальнейших уточнений используем параболы тре­ тьей, четвертой, более высоких степеней...

i ‘ У

4 .

2 .

-1 - ... 1

1 ^

0 , 2

{ У

4 .

2 .

t W

^7 о 1 2 '

Сложная гиперболическая функция оказывается раз­ ложенной в ряд, слагаемые которого — последователь­ ные целые степени аргумента с некоторыми коэффици­ ентами. Такой ряд называют степенным; другое его название — ряд Тейлора.

Найти эти коэффициенты, собственно, и означает разложить функцию в степенной ряд. Выражаются они через последовательные производные приближаемой функции, вычисленные в той точке, в окрестности кото­ рой строится приближение, — первую, вторую, третью и дальнейшие.

Приближение функции в окрестности некоторой точки — вот суть описанного подхода.

Сколь же широка такая окрестность? Прежде чем отвечать на этот вопрос, подставим в наш степенной ряд какое-либо конкретное значение аргумента. Ряд станет числовым, и мы исследуем его на сходимость.

Все значения аргумента, при которых сходится сте­ пенной ряд, образуют так называемый интервал сходи­ мости.

266

Чему равен синус тридцати градусов? Половине — так учили нас на уроках тригонометрии. А синус, скажем, тридцати двух градусов?

Столкнувшись с таким вопросом, вы наверняка вос­ пользуетесь таблицами. Пробежав глазами колонку чисел, вы остановитесь на нужном: 0,5299.

Ну, а если бы таблиц не оказалось под руками? Смог­ ли бы вы сами вычислить эту величину? Й притом с той же точностью — до четвертого знака после запятой?

Задача не составит для вас труда, если вы умеете разлагать функции в ряды Тейлора. Ведь что такое разложить функцию в ряд Тейлора? Это значит заменить ее суммой целых степеней аргумента — каждая со своим коэффициентом. А возведение в целую степень, умно­ жение на соответствующий коэффициент, сложение и вычитание — действия простые, выполнимые с помо­ щью одной лишь авторучки.

«Но ряды Тейлора бесконечны, — может заметить читатель. — Не будут ли бесконечно долгими вычисле­ ния по ним?»

Отнюдь нет! Ряды, предлагаемые математикой для практических расчетов, таковы, что все более далекие их слагаемые служат для все более тонких уточнений. Если точность расчетов задана, ряд Тейлора можно оборвать на некотором слагаемом. От этого он превра­ тится в полином (его называют полиномом Тейлора). Чтобы вычислить значение полинома для заданного зна­ чения аргумента, нужно произвести конечное число ум­ ножений, сложений, вычитаний,

Ряд Тейлора для синуса, каким он приводится в спра­ вочниках по математике, несложен для запоминания. Закономерность, по которой образуются слагаемые ряда, проста. Первое слагаемое — это линейная функ­ ция, равная своему аргументу. Дальнейшие слагае­ мые — это последовательные йечетные степени аргу­ мента. Каждая делится на произведение всех целых чисел от единицы до, равного показателю степени. Знаки слагаемых чередуются, меняясь с Плюса на минус и с минуса на плюс.

267

Что же дает добавление к ряду каждого очередного слагаемого? Об этом мы расскажем, обратившись к графику.

Сначала изобразим на нем синусоиду. Затем возьмем ряд Тейлора для синуса и оставим в нем пока лишь первое слагаемое — линейную функцию, равную своему аргументу. На графике она изобразится биссектрисой угла между осями. Обе линии — синусоида и прямая — касаются в начале координат.

Вспомнив то, что когда-то говорилось о касательных, мы тиожем заключить: в некоторой окрестности начала координат синус можно заменить линейной функцией, равной своему аргументу. Точность этой замены будет тем выше, чем уже окрестность. Более того, при суже­ нии окрестности погрешность, вызванная заменой, будет стремиться к нулю быстрее, чем ширина окрест­ ности.

Это и имеют в виду, когда говорят, что синус эквива­ лентен своему аргументу в окрестности нуля.

Но что нам проку от этой эквивалентности? Аргумент, для которого мы должны вычислить значение синуса, — тридцать два градуса. Попадает ли эта точка в ту узкую окрестность нуля, где замена синуса линейной функ­ цией гарантирует сохранение четвертого знака после запятой, как того требует точность вычислений, за кото­ рые мы взялись? Судя по графику, вряд ли.

268

Что ж, припишем к первому члену разложения еще один. На график ляжет изогнутая кривая. По сравнению 6 прежней прямой она прилегает к синусоиде на боль­ шем протяжении, отходя от нее лишь под самым сводом первой полуволны.

Еще один член разложения. Еще дальше сопровожда­ ет синусоиду новая кривая на графике.

Возникает уверенность, что какой аргумент ни укажи и какую точность ни назначь — тейлоровский полином достаточно высокой степени будет в указанной точке отличаться от синуса на величину, меньшую назначен­ ной.

Мы ограничимся полиномом из трех слагаемых. Ос­ тается подставить в него значение аргумента — и иско­ мое число найдено.

Разумеется, чтобы получить искомое число, в поли­ ном нужно подставить также число. Иными словами, величину угла, для которого мы вычисляем синус, нужно выразить числом, то есть в радианной мере. Переведем в нее наши тридцать два градуса. С точностью до четы­ рех знаков после запятой это будет 0,5585.

Подставив это число в заготовленный полином, мы получим ту же величину, что и в таблице: 0,5299.

Все получилось быстро и просто — не правда ли?

В этих удобствах — лишь малая толика тех выгод, которые сулит возможность разлагать функции в ряды Тейлора.

Л И Н Е Й Н О Е П РО СТРАНСТВО

Наш век — век математизации Она охватывает все новые области знания поднимая их на все более высо­ кие ступени развития

Однако многие сферы повседневной практической деятельности почему-то все еще остаются обойденны­ ми математикой Например, кулинария

Попробуем хотя бы отчасти заполнить этот досадный пробел

Множество чашек кофе готовится по утрам к завтраку Эти чашки разного размера, и содержимое их весьма различно Есть любители черного кофе Другие предпо­ читают основательно разбавить кофе молоком

Объектом математизации мы выберем это множество чашек кофе.

Как принято писать в математических статьях, введем над элементами нашего множества — сиречь над чаш­ ками кофе — операции сложения и умножения на число Если к приготовленной порции кофе вы прильете, скажем, еще две точно такие же, отчего содержимое сосуда увеличится втрое, то будем говорить, что мы умножили порцию кофе на три Если к чашке прилито полчашечки — на полтора. Если от порции осталось

полпорции — на половину И так далее А теперь возьмем две разные чашечки кофе, приго­

товленные по разным рецептам, и сольем их вместе — да простят нам кофеманы этот конщунственный акт! Будем говорить, что мы произвели сложение двух эле­ ментов нашего множества.

И что характерно: в результате сложения двух порций кофе мы получим снова кофе, а не кисель и не компот То есть элемент того же множества. Заметим также, что в предыдущих примерах результатом умножения порций кофе на число были опять-таки некоторые порции кофе.

Итог наших рассуждений представим диаграммой Построена она в уже знакомой нам декартовой системе координат. Каждая точка диаграммы изображает неко­

270