книги / Основы пневмоавтоматики

принимаем постоянными, т. е. допущения те же, что и при рас­ чете проточных пневматических камер.

Время наполнения рабочей полости (подготовительный пе­ риод) вплоть до начала движения поршня можно определить по формулам, полученным выше для случая заполнения глухой ка­ меры:

для надкритического режима истечения, когда r\ = pilpo ^

< 0 ,5 ,

(134)

и для докритического истечения, когда Г\ = р\/р2 ^ 0,5,

) , (135)

где г1н и гiu — соответственно начальные и конечные значения п; у— площадь проходного сечения дросселя, a Vo — начальный

объем при у = 0	(рис. 168, а), причем значению гХк соответствует
рк, вычисляемое	по усилию, при котором начинается движение
поршня (см. пример 13).

Рабочий ход поршня привода одностороннего действия про­ текает при переменном объеме заполняемой воздухом рабочей полости, причем изменяется сила воздействия пружины на пор­ шень, появляется сила инерции и сила демпфирования. Поэтому в уравнении изменения состояния воздуха в камере необходимо учесть изменение объема и дополнить это уравнение уравнением движения, выражающим равенство сил на поршне при его дви­ жении.

Отыщем уравнение изменения состояния воздуха в рабочей

камере при прймом ходе поршня.	Массу воздуха М в рабочей
камере при движении поршня можно записать в виде
M = MVo + V) = ^ - { V 0 + Fy),
где V — переменная часть объема	рабочей полости привода;

F — площадь поршня; pi — плотность воздуха.

Продифференцируем это уравнение по времени:

Изменение массы воздуха в камере во времени представляет собой массовый расход воздуха в камеру G, который определя­ ют по формуле (4), если истечение докритическое, и по формуле (5), если истечение надкритическое:

(136)

301

здесь у		условная начальная координата	положения
	F
поршня.
	Уравнение движения при перемещении поршня вперед будет
иметь вид
		F(Pi— ра) = ту + $у + су + N,	(137)
где	$ у — сила демпфирования, пропорциональная первой степе­
ни	скорости;	р — коэффициент демпфирования;	т — масса

поршня и подвижных деталей, приведенная к поршню, а

N = cyu ± N H+ Nrp± N B.

Для определения времени перемещения поршня, а также изменения давления и перемещения поршня во времени необхо­ димо уравнения (136) и (137) решить совместно и проинтегриро­ вать. Однако это невозможно, так как уравнение (136) — нели­ нейное. Поэтому воспользуемся методом численного интегриро­ вания.

Для небольшого промежутка времени Ati и i-го участка ин­

тегрирования уравнения (136) и (137) можно представить в виде 1

АРи = —

-----

At-,

Уо

+ У ( - 1

Ри = Р\((•_ I) +

A/V,

F ,

,

|5

•

с

N

У = ---- (Ри — Р*)--------- ----------------- У[_ I ---------- ;

(138)

т

т

т

т

А</; =!/,•_,

iji =

г/;_, +

Ауц

г/; =

,

■

»,

,

у'М

У,_, +

</,•_, А^- +

- ^ — ;

здесь

Ati

представляет

собой

шаг

интегрирования.

Чем

меньше

шаг,

тем

больше

точность

интегрирования,

однако

число шагов при этом увеличивается.

системы (138)

следует

При

решении

первого

уравнения

иметь в виду, что при рн/ро ^

0,5

(надкритический режим

исте­

чения) расход будет постоянным и его следует подсчитывать по формуле (5), а при рц/ро ^ 0,5 (докритический режим истече­

ния) — переменным и его следует подсчитывать по формуле (4) для каждого Ati в отдельности.

1 Вы ражение для у% находят последовательным интегрированием урав нения dyi = yidt.

302

На	первом	участке	(i = 0) принимаем у0 = 0, р 10 ---------h
						F
+ pQf	уо = 0	и рассчитываем Арц по первому уравнению					си­
стемы	(138).	По найденному Арн определяем рц и затем у\.
Считая, что у\		постоянно	на участке Д^, отыскиваем			Ау\	и у х
и по последней формуле системы (138)				находим у х. Затем			ана­
логичный расчет проводят для участка				At^	и т. д. до	тех	пор,
пока не будет достигнуто равенство у =				5.	п
Полное время перемещения поршня т =
					2Д^-, где п — число
					i=1

участков Ati на протяжении всего врвхМени перемещения поршня.

Иногда для сокращения расчетов при приближенном интегри­ ровании рекомендуется использовать метод Рунге — Кутта [16].

Заключительный период рассчитывают так же, как и подготовительный, за начальные условия принимают параметры,

соответствующие концу периода			перехмещения			поршня. Так,
например, начальный объем будет			равен V0 +		SF,		а за	началь­
ное давление следует	принять	давление		в	рабочей			камере,
которое будет в момент достижения у = S.				(с =		0)	и,	следова­
Если возвратная	пружина	отсутствует

тельно, нагрузка постоянная, то хможно говорить об установив­

шейся	скорости, которая		будет			при	условии,	что	= 0.
Величину		установившейся	скорости				определяют из		dt
									уравне­
ния (136):
			dy	__	RT Q
			dt	~	Fpx	’
причем		± АГН+ ЛГТР± Nв
		Р1=			F		f Ра>
а расход		G находят по формуле			(4), если p jp o ^			0,5, и по фор­
муле	(5), если р\/ро ^ 0,5.
Пример 14. Рассчитать зависимость перемещения поршня от времени для
пневматического поршневого привода					одностороннего действия.				Проходное

сечение изменяется скачком от полного закрытия до полного открытия. Диа­

метр отверстия наполнения d = 2-10-3			м;	начальный		объем рабочей			полости
1/0 = 5*10-4 м3; абсолютное давление			питания		р0 = 0,491			МПа; коэффициент
расхода р, = 0,8; диаметр поршня D = 0,12				м;	рабочий	ход		S = 0,1 м; началь­
ное сжатие пружины ун= 0,04 м; жесткость с=7,850 кН/м;								сила, приложенная
к штоку, Nn = 981 Н; сила трения NTр =				196	Н; масса,		приведенная		к порш­
ню, т = 196	кг/см;	начальное абсолютное		давление		в	рабочей камере рю =
= ра = 0,0981	МПа;	абсолютная температура			Г = 288	К;		газовая постоянная
воздуха R = 287,14 Дж /(кг-К); давление ра = 0,0981 МПа.								привода	(^ =	0).
Золотник	расположен непосредственно			на цилиндре
Движение поршня начнется после того, как давление							в	рабочей камере		до­
стигнет величины

303

Ntt + NTP + cyu		4(981 + 196 + 7850 0,04)
F	+ P * ~	3,14-0,122

+ 98100 = 2,3 -105 Па = 0,23 МПа.

0,0981

Истечение через дроссель надкритическое, так как гш = J ~ = 0,491 '

0,23

= 0,468, поэтому время подготовительного периода следует рас-

0,491 считать по формуле (134):

] /	Г Т	-	5-10~4-4
	пт (П к - 'ш )		0 ,8 -3,14-22-10—6 Х
	RT
X	(0,468 — 0,2) = 0,264 с.
V	287-288

Временную характеристику будем рассчитывать, используя систему урав­ нений (138). Рассчитаем предварительно числовые коэффициенты, входящие в эту систему уравнений:

	Vn		4,5-10,-4
Уо			= 0,044 м;
	F		3,14-0,122
RT	287,14-288 4			1 /с2;
F	=		—73 -105
		3,14-0,122
F_	3,14 - 0,122			м2 /кг.
пг			= 577-Ю- 7
		4-196

Коэффициент демпфирования р можно рассчитать по приближенной фор­ муле [27] *:

8ц да л

Р =

где р-д — динамический коэффициент вязкости		воздуха	(рд = 1,79* 1 0 ~ 5 Па-с
при температуре 15° С) ; а — ширина поршня; ^		— внутренний радиус цилинд­
ра; R 1 — радиус поршня.
Примем /?2 = 6,00 см, Ri = 5,99 см, а = 5 см. Тогда
8	1,7910-°-3,14-0,05	7	кг/с;
р = / g 9	t g n<v>--------- ;------ — = 2 2 ,6 -1 0 — 7
(6 2	+ 5,992
6 2	—5,992"
	5,99

* Приближенная формула для коэффициента Р выведена в предположе­ нии, что жидкость проходит через зазор между поршнем и цилиндром, тогда как в настоящей работе при выводе основных рабочих формул для расчета привода это обстоятельство не учитывается. Тем не менее расчет проводится с учетом ,р, чтобы наиболее полно раскрыть ход самих выкладок.

304

Р22,6-10~7

	т	=■■115-10—10	1/с;
		196
N	981 + 196 + 7850-0,04		м/с2.
т		= 7,6
		196
Коэффициент —			с	N	F
	по сравнению с другими коэффициентами— , — , —,
т			т	т	т
				Р	0 .
входящими в уравнение для у и мал, поэтому можно принять, что — ^
Выпишем систему уравнений		(138) с числовыми коэффициентами:		т
Рц —	+ Apjt‘»
у. = 577- К Г 7 (р,.—98100) —40у1_ 1- 7 ,6 ;

(139)

&У1= УА*1’>

Ус = Ус-1 + by--

Примем шаг интегрирования ДU = 0,05 с.

Все результаты расчетов, связанных с численным интегрированием систе­ мы уравнений (139), сведены в табл. 9. В первой строке выписаны значения параметров, относящихся к концу подготовительного периода прямого хода поршня пневмопривода одностороннего действия. Номер каждой строки таб­ лицы принимаем за i — 1-й, а каждой последующей за i-й.

Из	табл. 9 следует, что отношение давлений pi/po в конце рабочего хода
(начало	заключительного периода) при 5 = 0,1 м равно		примерно г1н = 0,62,
a tu »	1,5 с. В конце заключительного периода прямого		хода гХк = 1.
Время заключительного периода прямого		хода рассчитывают по формуле,
куда в качестве объема подставляют значение		VQ + SF:

Временная характеристика, представляющая собой зависимость переме­ щения у поршня, от времени, представлена на рис. 173.

На рис. 174 показана зависимость перемещения штока поршня от време­ ни, начальный участок которой, относящийся к ходу поршня вперед, построен по данным настоящего примера. Остальные данные для построения участка указанной кривой, относящегося к обратному ходу, взяты из примера 15. По

20 Заказ 993

305

Рис. 173. Временная характе­ ристика поршневого привода одностороннего действия при прямом ходе

О

2,5

5,0

7,5 у, см

Рис. 175. Фазовая траектория движения поршня

мени

									Т а б л и ц а		9
	Таблица численного интегрирования системы уравнений (139)
										yr «	i - 1 +
					р \ Г			« r pi - l + Ч - - 1 д , +
t	р и 1 р о		° i	д p i	= р 1 < / - | ) +		t o i - v p i
									+ л ^ .
										..
					+ Л Р ц						^
										+ У ‘ ~ Г
с	~		к г с	Па	Па	м/с2	М С		м с	м
0	0,468	0,00303		0	230- Ю3 0		0		0	0
0,05	0,519	0,00300		24900	254-103	1,430	0,0715		0,0715	0,00179
0 , 1 0	0,527	0,00300		4120	258-103	1,578	0,0791		0,1506	0,00734
0,15	0,494	0,00303		-16200	242-103	0,418	0,0209		0,1715	0,01535
0 , 2 0	0,461	0,00303		-16200	226-103	-0,845 -0,0422			0,1292	0,02287
0,25	0,451	0,00303		-5000	2 2 1 -1 0 3	-1,416 —0,0708			0,0584	0,02759
1,30	0,615	0,00292		20300	ЗОЬЮ3	0,740	0,0370	-0,0711		0,07964
1,35	0,650	0,00286		17250	319-103	1,710	0,0855		0,0144	0,07823
1,40	0,665	0,00282		6670	326-103	2,370	0,1185		0,1329	0,08191
1,45	0,647	0,00287		—8920	317-10 3	1,720	0,0860		0,2189	0,09071
1,50	0,610	0,00292		-17850	299-1О3 0,330 0,0165				0,2354	0,10206
данным	таблицы		построена		также фазовая		траектория,		представленная
на рис.	175.
Время полного хода поршня
	ти \		= t\ +*ц + * ш = 0,264 + 1,50 + 2,363 = 4,127 с.
При обратном ^оде поршня рабочая							полость		превращается

в полость противодавления, которая через отверстие соединяет­ ся с атмосферой. Время, в течение которого давление в полости

противодавления падает до значения, при котором		начинается
движение поршня в обратном направлении,	определяют по
формулам, выведенным ранее для глухих камер (гл. III):
для надкритического режима истечения (pjp\	^	0,5)
к		(140)
*3 =
и для докритического режима истечения ( p j p \ ^	0,5)
h		(141)

здесь Г о = Vo + FS.

В отличие от уравнений (134) и (135) в уравнениях (140) и (141) Г]Н и Г]„ есть отношение давлений в момент открытия вы­ хлопного отверстия и в момент начала движения поршня (чаще

20*

307

всего pdpiH = pdpo) ■ Давление pKt при котором начнется дви­

жение поршня, определяют по формуле

рк = (Ун+ 5 ) с + Л/н ± А/в-Л Г тр

(1 4 2 )

F

Причем здесь NB и Nn берут со знаком плюс, если направ­

ление их действия совпадает с направлением усилия возвратной пружины. Уравнение движения поршня при обратном ходе имеет вид

F(pi— pa) + niy + fiy = — cy + N,

(143)

где

N — с(ун + S) ± NH± NB— Nrp\

здесь у отсчитывают от нового исходного положения и за его

положительное направление принимают направление справа — налево (см. рис. 168, а).

Уравнение изменения давления в полости опорожнения выводят так же, как и для полости наполнения. С учетом нового исходного положения поршня и изменившегося направления у

это уравнение можно записать в следующем виде:

В левой части уравнения поставлен знак минус, так как расход в направлении «из камеры» приводит к уменьшению количества воздуха в ней. При опоражнивании камеры давление после дросселя /?а будет постоянным, а перед дросселем р\ —

переменным. Так, точное решение уравнений (143) и (144) практически невозможно, поэтому, как и в предыдущем случае, их приводят к виду, удобному для численного интегрирования:

АРи = ~,---- 5--------			(
	Уо + S	i
Рц = Рщ-\)
У1 =	F .	v	р
	-------- (Ри — Рг) — —
	т		т
A#;	Di^i*

RT	^i- 1+ Р\а—\)У(—\
F
•	с	;	N
	---------+ —		т	(145)
	т

Hi = Pi—1 “1 Ау it
. А	..	Д**
Hi ~~ Hi— 1“t" I/;—iА^£ + У1		2 '

Интегрирование системы уравнений (145) проводят до тех пор, пока у не станет равным S. В качестве исходных парамет­

308

ров берут величины, соответствующие концу подготовительного периода.

Заключительный период (время t [п ) рассчитывают по

формуле (140) или (141), причем за начальное давление для этого периода принимают давление, соответствующее концу хода поршня в обратном направлении, а за конечное — давле­

ние РаВо всех расчетах силу трения принимали постоянной, однако

сила трения зависит от скорости перемещения поршня, перепада

давления на поршне и некоторых других факторов

(температу­

ры,

чистоты

обработки

внутренней

поверхности

цилиндра

и т. д.). Принятое допущение

о постоянстве

силы трения

не

вносит значительной погрешности в расчет

в том

случае, если

она мала по сравнению с остальными

силами,

приложенными

к поршню.

В тех

случаях, когда

сила

трения

соизмерима

с остальными

силами, это

необходимо

учитывать

(см.,

напри­

мер, формулу в сноске на стр. 297).

Пример 15. Рассчитать время перехода поршня пневматического привода

одностороннего действия из

одного

крайнего положения

в

другое,

начиная

с момента открытия

золотника,

при

движении

поршня

в

обратную

сторону

(рис. 168, а). Абсолютное давление в начале обратного хода

(начальное

дав­

ление)

равно

давлению питания

рн = Ро = 0,491 МПа;

диаметр

выхлопного

отверстия d = 2-10- 3

м. Остальные величины те же, что и в примере

14.

Конечное давление подготовительного периода определяют

по

формуле

(142):

4 [(0,04 + 0,1)7850 + 981 — 196]

(yH+ S)c + NH— NTp

'

Рк~

F

+ Р а -

3,14-0,122

+

+ 98 100 = 2,651-105 Па » 0,265МПа.

Отношения давлений в

начале

и в конце

подготовительного

периода

обратного хода поршня:

Ра

_

Рн

ро

0,491

0-0981

„

„„

Рв_ = г1к = -------- = 0,37-

Рк

к

0,265

Следовательно, за все время подготовительного периода здесь будет иметь

место

надкритическое

истечение.

Поэтому

для

расчета

времени

подготови­

тельного периода

следует воспользоваться

формулой (140). Предварительно

рассчитаем объем камеры

V' = v0 + FS = 5 -10— 4 + 0,1 3,14,0Л2*

= 1 6 3 . 1 0

® м3.

а затем определим

163-1Q—5 4

0,8 3 ,14 22 -10—6 Х

] /

287-288

( 1п 0 , 2

^ О .З ? )

1 , 9 6

309

Временную характеристику и время обратного хода поршня рассчитывают

с помощью системы уравнений (145). Выпишем эту систему уравнений с чис-

Р

ловыми коэффициентами. Член с коэффициентом — опускают по тем же

т

соображениям, что и в примере 14. Предварительно вычисляют параметр N/tn:

_N_ c(yH+ S) + NH— NT1> 7850(0,04 + 0 , 1) + 981 — 196

	= 9,6 м/с2.
	196
Тогда
Ари =	-(— 73-105Gi_ l + p l(i_ l)yi_ l)Ati;
	0.144

Ри = Рщ-1)+ЬРй

у .= — 57710~7(/7lt— 98100)— 40г/._, +9,6;

(146)

Ayt = yAtt\

У1 = У1 -1 +

.. Дt f

у^= </,•-, + y i- A ti + y i ~ r -

							Т а б л и ц а		10
	Таблица численного			интегрирования системы уравнений (146)
				Р \Г			« r yi - 1 +	Ч - , л‘.-+
t	ра/Рц		Л'?1£	=р1( .- 1)+	Vi	Ауг у(\1(
							+4</,-
				+ лри				+У; ------
								1	2
с		кг/с	Па	Па	м/с2	М С	м с		м
0	0,37	0,00164	0	265-1О3	0	0	0	0
0,05		0,00164	—4160	261-103	0,2323	0,01162	0,01162	0,000290
0 , 1 0	0,376	0,00161	-3120	260-1О3	0,3384	0,0169	0,02852	0,00130
0,15	0,384	0,00158	-1540	256-1О3	0,448	0,0224	0,05092	0,00328
0 , 2 0	0,383	0,00160	505	257- Ю3 0,349		0,01745	0,06837	0,00627
0,25	0,380	0,00160	215	257-103	0 , 2 2 0	0 , 0 1 1 0	0,07937	0,00995
0,30	0,382	0,00161	3220	260-1О3 —0 , 1 2 0		—0,0060	0,07337	0,01337
0,35	0,377	0,00163	2770 263-103 -0,416			-0,0208	0,05257	0,01652
0,40	0,373	0,00163	730	264-1О3 -0,581		—0,0290	0,02357	0 , 0 1 8 4 2
2,70	0,472	0,00127	-2280	206-Ю3 —0,19		—0,0095	0,02617	0,09141
2,75	0,477	0,00125	-3730	2 0 2 -1 0 3	—0,03	—0,0015	0,02467	0,09260
2,80	0,485	0 , 0 0 1 2 2	-4210 197,5-103		0,17	0,0085	0,03317	0,09447
2,85	0,496	0 , 0 0 1 2 1	-2360 195,5-103		0 , 2 2	0 , 0 1 1 0	0,04417	0,09696
2,90	0,503	0 , 0 0 1 2 0	—294	197-103	0,15	0,00775	0,05192	0,09969
2,95	0,503	0 , 0 0 1 2 1	-98,1	195-Ю3	0	0	0,05192	0,10223

310