книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

	§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ			21
случайная величина X квадратично интегрируема, то величина
])(Х) = Е(Х*) — Е(Х)г		( = Е ( ( Х — Е(Х))г)) называется		диспер­
сией X.		под-о-полей	называется независимым
в	Семейство {У а}16д
	совокупности, если	для каждого	различного набора at,	a2, ...
,	. aAs А и любых	i — 1, 2, ..., &,

Р(А, ПЛ2П... ПАк = Р(А1 Р(Аг) .. .Р(Ак .

Семейство случайных величин {Xa}aeA называется независимым в совокупности*), если семейство {о[Ха]}аеЛ независимо в совокуп­

ности. Семейство случайных величин (Xa, a s A )					называется			неза­
висимым	от о-поля	%	если	o[Xa: a s Л]	и	$	независимы
в совокупности.			случайная величина			и Щ— под-о-по-
Пусть	X — интегрируемая
ле a-поля	ёГ. Тогда	формула		р (В) = Е(Х; В) == j X (со) Р (с?со),
						в	на $	с ко­
f i s ? , определяет о-аддитивную функцию множества

нечной полной вариацией, которая, очевидно, является абсолютно

непрерывной относительно v = i, |gr.				Производная	Радона — Нико­
дима	dy/dv((>})	обозначается	через	Z?(XIS’) (<в);	таким	образом,
Е ( X I S ) — единственная (с точностью				до эквивалентности) ^-изме­
римая интегрируемая случайная величина Y, для которой E{Y\ В) —
= £ (Х; В) для всех						математи­
О п р е д е л е н и е 3.1. Е (XIS’) называется условным
ческим ожиданием X относительно S’.
Легко доказываются следующие свойства условных математиче­
ских	ожиданий.	(Ниже через	X, У,	Х„ обозначаются интегрируе­

мые действительные случайные величины, а через а, Ъ— действи­

тельные числа.)
(Е.1)	Е(аХ+ bY\<3) = aE(X\'5)+ bE(Y\9) п.н.
(Е.2)	Если X > 0 п.н., ю Е { Х \ $ ) > 0 п.н.
(Е.З)	Е ( № ) = 1 п.н.		в общем случае,
(Е.4)	Если X S’-измерима, то Е(Х\'3) = Х п.н.;
если ХУ интегрируема и X ^-измерима, то
	E{XY\$) = XE(Y\$) п.н.
(Е.З)	Если Ж — под-о-поло a-поля S, то
	Е{Е(ХУ5) \Ж) = Е(Х{Ж) п.н.
(Е.6)	Если Х „ -* Х в S’i(Q),	то Е{Хп\ $)^ Е1ХЩ в S^Q ). г
(Е.7)	(Неравенство Иенсена.)	Если ф: R*-*-R‘	выпукло и ф(Х)

интегрируема, то

ф (£(Х|£))<Я Н >(Х)|30 п. н.

*) Ото определение применимо и к общим случайным величинам со зна-

чмнямн п 5.

22	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

В частности, \Е(Х\3) |*S.E(|X||S?’), и если X квадратично инте­

грируема, то |Д(Х|301г<£(|Х |2|30.

(Е.8) Случайная величина X независима от *3 тогда и только тогда, когда для каждой борелевской функции / с

Ef(X)< оо E(f(X)\3) = E(f(X)) п.н.

Пусть 1 — ST\.^-измеримое отображение £2 в измеримое про­ странство (S, М). Тогда \и(В = Е(Х\ {со: |(сй ) е Й ) — ст-аддитив-

ная функция множества на М, которая абсолютно непрерывна

относительно индуцированной

меры

v = Р1.

Плотность

Радона —

Никодима dp/dv(x)

обозначается

через

£(Х|| = ж)

и

называется

условным математическим ожиданием X

при

| = х. Оно

обладав?

свойствами, аналогичными вышеприведенным.

про­

О п р е д е л е н и е

3.2.

Пусть

(й,

Р ) — вероятностное

странство и 3 — под-о-доле

Система {р (со, ^)}в>=а,Авдг

называ­

ется

регулярной условной вероятностью

относительно 3,

если

она

удовлетворяет следующим условиям:

(й, &~);

(I) для фиксированного ю

А*+р (со, А) — вероятность на

(II)

для фиксированного

toi-»p(a), А)

^-измеримо;

(III)

для каждых

и

Р (А {] В) =

Jp(co,H)P(dcо).

в

Очевидно, это свойство (III) эквивалентно

величины

X и

(III)' для каждой неотрицательной

случайной

B e ?

Е (X; В ) = 1 |/в (со) j X (со') р (со, Ao')j Р

(Ло),

т. е.

^ X (со') р (со, dco')

совпадает

с

2?(Х|^)(со)

п.н.

й

условная

вероятность

единственна,

Говорят, что регулярная

если для (р((о, А )}

и {р'(со, А)},

удовлетворяющих вышеприведен­

ным условиям, существует множество JVe ?

P-меры

нуль такое,

что если со Ф N, то д (оо, А) = р' (оо, А)

для всех А е

ST.

называ­

О п р е д е л е н и е

3.3.

Измеримое

пространство

(й, SF)

ется стандартным измеримым пространством, если оно борелевски изоморфно*) одному из следующих пространств: (<1, га>, J?(<1, п>)),

(N, Jf(N)) или	(М, J?(M)), где <1, га> = {1, 2, ..., п} с дискретной
топологией, N =	(1, 2, ...} с дискретной топологией и М = {0, 1}N =

={оо == (oolt со2, .. .), оц = 0 или 1} с тихоновской топологией. Хорошо известно, что польское пространство (полное сепара­

бельное метрическое пространство) с топологическим о-полем яв­

*)	(Q, &~) и (£!', &~') борелевски изоморфны, если существует такая биек­
ция /:	что / ^"|^"'-измерима и / - ’*	^"-измерима, т. е. /(5~] =

§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ

23

ляется стаидартпым измеримым пространством и что каждое изме­ римое подмножество стандартного измеримого пространства с ин­ дуцированным о-полем также является стандартным измеримым

пространством (см. [102], [141]).

&~)— стандартное измеримое про­

Т е о р е м а

3.1.

Пусть

(Я,

странство и Р — вероятность на

(Я, @~). Пусть S’ — под-о-поле ЗГ.

Тогда существует единственная

регулярная условная вероятность

{р((в, Л )} относительно 3?.

рассмотрим

случай, когда

(Я, 2Г)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы

изоморфно

(М, ЗЦМ)), и, следовательно, мы вправе допустить, что

Я = М и

= ,$ (М ). Пусть

я„: Я э

ю >->■(со1, (о2,

..., ю„) <= {0, 1}" —

проекция

и ^ п = я ^ [ { 0 , 1}"].

Очевидно,

что

{iF„} — возрастаю­

щее

семейство

конечных

о-полей

и

V &~п = ^ •Если

Рп, п =

= 1,

2,

...,— вероятности

П

на (Я, З Г и {Р„} согласованно в том

смысле,

4 ToPn+il&-n=

Рп, п =

1, 2,

•••>

то существует единственная

вероятность Р

на

(Я,

ЗГ)

такая,

что

Р \дгп = Рп- Действительно,

в силу согласованности, Р

корректно

оо

определена на U &~п, и если

оо

@~h, п = 1, 2,

...,

такова, что

71=1

> 0, то

U

Вп=> Bn+t и lim Р (Вп

k ~ l

П-* оо

[]ВПФ 0 , так как

{ВпУ— система замкнутых множеств в компакт-

Н

ном пространстве Я. Затем Р продолжается наст[ U^"n] = V ^ n =&r.

no теореме Хопфа о «продолжении».							In	J	n
						A е	£Fn. Очевидно, найдется
Положим	рп((о,	А) = Е(1а\2?) (со),
множество	Nnе $	Р-меры		нуль	такое,		что	если	<а & Nn, то
рп((о, А) — вероятность на				и р„(а>, Л) = р„_1(и, А) для A ^3T n- lt
п = 1, 2, ... Если положим				ft *=UNn,			то для каждого			ca&ft
{ р„(а, •)) — согласованное					П	и поэтому		определяет		един­
			семейство
ственную вероятность р(м,			•)	на	(Я,	#"). Пусть v — вероятность
на (Я, @~),	и положим р(а,			*) = v,		если		Тогда система

(р(<а, •)} является регулярной условной вероятностью относитель­

но &. Действительно, свойства (И) и			(III) очевидны для
и распространяются па ЗГ по стандартной				П
				лемме о монотонных
классах. Если {р(ю, •)} и		{р'(о), •)) — две		регулярные условные*
вероятности,	то множество	N = {a: р(а, А)¥=р'((ц, А) для некото-
рого Л е и	5 0 имеет Р-меру нуль,		и если	a&N, то р(ы, А) =
п—1	J
«•**/>'(го, А) для всех i e f		опять по	лемме о монотонных классах.
!)тим доказана единственность регулярной условной вероятности.
О п р е д е л е н и е 3.4. Пусть (Я,			— измеримое пространство.

Мы скажем, что ЗГ счетно определено, если существует такое счет­ ное подмножество ЗГ, что любые две меры, совпадающие на ЗГ,, совпадают и на ЗГ.

24		ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Очевидпо,	если	(й, &~) — стандартное измеримое пространство,
то ЗГ счетно определено.
Т е о р е м а	3.2.	Пусть (Й, 9~) — стандартное измеримое про­

странство и Р — вероятность на (Й, ЗГ) . Пусть & — под-а-поле ЗГ

и р(оо, da ') — регулярная условная				вероятность относительно 'S.
Если Ж — счетно определенное			под-о-поле 9, то существует такое
множество N ^ S	P-меры нуль, что из a &N следует, что р(ы, А) —
— Iа (со) для каждого А е		Ж.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть Ж0<= Ж — счетное множество из оп­
ределения 3.4 для Ж. Яспо, что если А е Ж0, то существует мно­
жество Na ^ S	P-меры	пуль,	для	которого из о Ф NА следует
Р(о),Я) = / а (<й).	Положил! N =		U NA\ тогда равенство р(со, А) —

= / а (ю) имеет место для всех А ^ Ж , если a&N.

С л е д с т в и е .

Пусть (й, ЗГ) — стандартное измеримое простран­

ство

и Р — вероятность

на

(й, ЗГ). Пусть

*§ — под-о-поле

ЗГ и

р((в,

•)— регулярная условная вероятность относительно *§. Пусть

|(<в) — 'SШ-измеримое

отображение й

в измеримое

пространство

(S, 38). Далее предположим, что 38 счетно определено

и {х} ^38

для

каждого

х е S

(это верно, например, если (S,

38) — стандарт­

ное измеримое пространство). Тогда

р(а,

{(D': | (( D') =

| (( D ) } ) = 1 для п.в.

а.

(3.1}

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как 38 счетно

определено,

то

суще­

ствует счетное подмножество 98<,<^38 со свойством

из

определе­

ния

3.4. Поэтому

Ж в {| -‘ (В): В ^38)

является счетно

определен­

ным

под-о-полем

с

Жо=

{£"' (В): 5 е ^ ) .

Согласно

теореме 3.2

существует множество N е

§

Р-моры нуль такое, что

если <о Ф N,

то p(<D, А) — 1А(а)

для каждого А ^ Ж . Полагая -4а =

{<э': |(<й') =

= |(<D)} <=Ж, получаем (3.1)

для <о ФП.

результат.

Аналогично теореме 3.1 можно доказать следующий

Т е о р е м а

3.3.

Пусть

(Й, ЗГ) — стандартное

измеримое

про­

странство и Р — вероятность на (й, ЗГ). Пусть |(<в)— ЗГШ-изме­ римое отображение й в измеримое пространство (S, 38), а Ръ— ин­

дуцированная		отображением |	мера	на (S, 38). Тогда существует
такая система {р (х, A)}xsS>A(=g-,			что
(I)	для	фиксированного	x& S	А '~*р(х,	А) — вероятность
на (й, @~);				х<-+ р (х, А)	38-измеримо;
(II)	для фиксированного А ^ЗГ
(III)	для каждого i e # - и В&38
		Р (ЛП {со; I (ю) е 5 } ) =		\ р (х, А) Р1 (dx).
			в

К тому же, если {р'(х, А)} — другая такая система, то найдется множество N <= 98 Рг-меры нуль такое, что из хФ И следует, что.

р(х, А) — р'(х, А) для всех A&3F.

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

25

Таким

образом, для каждой

случайной величины X

интеграл

( X (со) р (х, da>

совпадает

с Е(Х\% = х)

для

Р1-п.в. х. Функция

<6

А) называется регулярной условной

вероятностью при

%= х.

,р(х,

Подобно теореме 3.2 и ее следствию доказывается следующее

С л е д с т в и е .

Предположим

дополнительно в

теореме

3.3, что

■98 счетно определено и {х}

для каждого x<=S.

Тогда существу­

ет такое

множество

N ^38 Р1-меры

нуль,

что

если хФ-N, то

р(х,

{(о:

|(<а)^В}) = 1в(х)

для

всех В^38.

В

частности,

если

.X&N, то

р(х,

{<а: |(ю) =

ж} ) = 1 .

(3.2)'

§ 4. Непрерывные случайные процессы

Пусть

W d = C([0,

00)

Rd) — множество

всех

непрерывных

■функций нч [0, o o ) 3 f i - * u ) ( i ) e R <i. Определим на

W d метрику р

следующим образом:

p(ip1,a>>)-= 2 2

” 17 max !«?!(*) — и>#(0П Д 1].

wt, w2 <= W d.

(4.1)

п—1

I \0£t<n

)

J

, Нетрудно

пидоть, что

W d

полно

и

сепарабельно

в

этой

метрике.

|Очевидно,

ч'п сходится к и; в метрике р тогда и только тогда, когда

сходится к w(t)

равпомерно по t на каждом конечном интер­

вале. Пусть ^ (W d) — топологическое

о-поле. Борелевским

цилинд­

рическим множеством мы называем множество

W d вида

B = {w; (w(ti), w(tz), ..., w(tn) ) e E )

с 0 <	ti < t2 < . . . < tn и		Е<=31(Rnd).	Обозначим	через *5* совокуп­
ность	всех борелевских цилиндрических множеств. Так как отобра­
жение и? е		W d >-* (ш (tj,	w(tz), ...,	w(tn))e£Rni	непрерывно, то,
очевидно,		<= 38(Wd) .

Пр е д л о ж е н и е 4.1. o[^] = ^ (W d).

До к а з а т е л ь с т в о . Нужно только показать, что of®’] ^ 38(W 4)’.

Совокупность			множеств	вида/и?: max |w (t) — w0 (t) ^ е\,и?ве Wd,
e >	0, n =	1,			l	I
			2, ..., образует базу окрестностей в			W d. Имеем
lw; max		|w (t) — w0 (t) | < el =			f| {«>; w(r)(=U (w0(r), e)},
l	K U n			J	rSQ.o <йг^п
где	U(а, е) =		{ г е Rd: \x— a\ <		e). Таким образом,	такое множество
представимо в виде счетного пересечения множеств из W. Следо-
иителыю, $ (Wd) <= а[Щ.						на (Wd, (W d) )’
	('.л е д с т в и е . Каждая вероятностная мера
единственным образом определяется по ее значениям на
	О п р е д е л е н и е 4.1.			Под	непрерывным d-мерным процессом,
виданным		на	(Q, ЗГ, Р),	мы подразумеваем случайный элемент со

26

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

значениями

в

W d,

т. е.

&~/&(Wd -измеримое

отображение

X: Q -*■Wd.

непрерывный

процесс, то

Таким

образом, если X — d-мерный

для

каждого

ю

имеем

I (ffl)s W J. Значение

Х(ш)

в

точке*)

£^

е [0,

оо)

обозначается

X, (а)

или X(t,

<а). Для фиксированного £

Xt (а)

является d-мерным

случайпым вектором. Обратно,

сово­

купность

{Xi(<o)}js[o

, d-мерных случайных

векторов определяет

d-мерный непрерывный процесс, если отображение

t<~* X (£)

непре­

рывно. Будем

говорить, что два d-мерных процесса

X

и X'

имеют

один и тот же закон, и писать

2

если совпадают их вероят­

Х « Х ' , _

ностные законы Рх и

Рх . Так как Р

и Рх

определяются Свои-

ми значениями

на

S’

и только тогда, когда

сов­

то X да X ' тогда

падают все их конечномерные распределения: конечномерное рас­ пределение процесса X для заданной последовательности моментов

времени 0 < £, < £г<	... <	£„ — это вероятностный		закон rad-мерно­
го случайного вектора (Х ^, Х^,			. . . , X tn).
Т е о р е м а 4.2.	Пусть	Х„ =	{Х„(£)}, п — 1, 2,	...,— последова­

тельность d-мерных процессов, которые удовлетворяют следующим двум условиям:

			lim sup Р { |Х„ (0) |> JV} =			0;			(4.2)
			JV-*оо п
для любых Т > 0 и г > О
	lim sup Р\ max |X„(£) — Xn(s)|>e1 =							0.	(4.3)
	hi 0	«	|f,n=fo,T]				(
			l |(-sl <A				1
Тогда существуют подпоследовательность гг, <						пг <		.. . < nk < ...
-> оо,	вероятностное пространство (fi,				Р) и d-мерные непрерыв­
ные	процессы	X nfc	- ( X „ k(t)),	к — 1,	2, ...,	и	Х = (Х(£))		такие„
что
			%nkZ x nk,	k =	1 , 2 , . . . ,				(4.4)
	сходится к X почти всюду при к -*■ °°, т. е.
	Р {со; р ( Х П/г(ш), Х (ш) ) - > 0 при /с->оо]						=	1.	(4.5)

Кроме того, если каждое конечномерное распределение закона РХп сходится при п °°, то нет нужды выбирать подпоследовательность:

можно	построить Х„, re = 1, 2, ...,	и	X так,	чтобы имели место
(4.4) и	(4.5) соответственно для re =	1,	2, ...	и при п -*■°°.

*) I <= [0, оо) рассматривается как время.

		§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ									27
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Покажем сначала, что из (4.2) и (4.3)'
следует плотность семейства							(см. определение 2.2). По				тео­
реме Асколи — Арцела подмножество								А <=Wtf		относительно	ком­
пактно в \Vd тогда и только тогда, когда оно
(I)	равномерно ограничено,					т. е. для каждого Г > 0
			sup max |w(f)|<°o,
			w s A	te [o ,T ]
(II)	равностепенно непрерывно, т. е. для каждого Т > О
	lim sup VTh (w) =			О, где		Vl (w) =			max	w(s) — w(t) |.
	h|ow=A							t,s S [0,T]
								|f—s|
Согласно		(4.2) для каждого				e > 0 существует число а > 0 такое,
чт оРХп{и>: |w (0) |^			а } >	1 — е/2для				всех	п. К	тому же, согласно
(4.3),	для каждого		е > 0	и	й = 1,		2, ...		существует такое й*>0,
что к	1 0 и	РХп {w: Vik(w) >			1/ft} <		e/2'i+1		для всех п. Следователь-
		\щ V\k(w) <		1/fc} j> 1 — е/2. Положим Ks = {w\ Щ0)
		"’I V;,fc И	Мк\j		•Тогда,		очевидно, мпожество К» удов­
летворяет условиям			(1)	и (II), и поэтому оно						компактно. Далее,
неравенство		Р " (ЛГЕ) > 1		— е		показывает, что				семейство	п}

плотно. Так что, по теореме 2.6 (I), существует такая подпоследо­

вательность (и*), что	Р 71,1 Р	для некоторой вероятности Р на
(W 1, ^ ( W d)). Чтобы	построить	ХПк и X с вышеприведенными

свойствами, остается только применить теорему 2.7. Далее, если

каждое конечномерное распределение закона		Р х"	сходится, то оче­
видно, что предельная точка {7,Хп) единственна,			и поэтому Р Хп
слабо сходится к Р при п	«>.	1, 2,	...,— последова­
Т е о р е м а 4.3. Пусть	Хп= (Хп (t)), п =

тельность d-мерных непрерывных процессов, удовлетворяющих сле­ дующим двум условиям:

существуют положительные постоянные М и ч такие, что

2?{|Х„(0) 1Т) < М для каждого п = 1, 2, ...;				(4.6)
существуют положительные постоянные а, (5, Mh, к — 1, 2,				...,
такие, что E{\Xn(t)— X„(s)l“}	Mh\t — s|1+p для каждых n
и f, « e	[0, fc],		к = 1, 2, . . .	(4.7)
Тогда (Xn) удовлетворяет условиям		(4.2)	и (4.3) из теоремы 4.2.
Д о к а з а т е л ь е т в о . Согласно неравенству Чебышева
P{\Xn{0)\>N}^M/N\		тг =	1 , 2 , . . . , .

28 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

и (4.2) выполняется очевидным образом. Теперь докажем (4.3),

рассматривая, без ограничения общности, Т целым. Согласно

(4.7)

Y(t) = Xn(t), /1 = 1, 2, ...,

удовлетворяет неравенству

£ ( | У ( 0 - Г ( 5 ) | а} < Л / т и

-

5 |1+р,

t , s e = [ 0 , n

По неравенству Чебышева

Р ( |Y ((i + l)/2m) -

Y (i/2m

|>

1/2™} <

M T2“ m(1+p)2maa =

= Л/7-2-т(1+р_аа),

i =

0, 1, 2, . . . ,

2mT -

1.

(4.8)

Выберем а так,

чтобы 0 <

а < р/ос. Согласно

(4.8)

Р

шах

|Y ((/ +

l)/2m) -

Y(i/2m |>

1/2та1 < М ТГ2-т(р- аа).

0 < K 2 m T - l

J

(4.9)

Пусть

заданы

е > 0

и

б > 0 .

Выберем

v = v(6,

г)

так,

чтобы

(1 + 2/ ( 2“ - 1) ) / 2" « £ в и

Р

U

(

шах

|У ((i +

1)/2т ) - У (i/2m) |>

1/2™1

m==V lo < i< 2mT - l

J

2

2_т(Р-а<х) < б.

(4.10)

m=v

Положим Qv =

U /

max

|у((г +

1)/2т ) — У (г/2т )1>1/'2то\- Тог-

w=vl о ^|^2т7,—1

)

да P(QV) < 6, и если © * Q V, то

|У ( U + 1)/2™)-У (i/2m) I < 1/2™ для

всех m

v

и i таких,

что ( i + l ) /2 m^ 2 ri.

Пусть

Dr — множество

всех двоично-рациональных чисел из интервала [о,

П

Если

s ^ Dr

находится

в

интервале

[i/2v,

(г + 1 ) /2V) ,

то

s запишется

в

видо

s =

г/2V +

3

«//2Vи ,

где а, суть нули или единицы, и, следователь-

2

/=1

но, если о)

Qv, то

У (.9)- У

(i/2v) |< 2 |у ( и2V+ 2 a//2v+/) -

у (Ц2\+

i=i

/

/i=i I

\

г=г

/

\

<

2

l/2(v+,t)a<

2 l/2(v+ft)a =

l/(2 a — l) 2va.

*=i

ft-i

Поэтому, если s , t e D T,

Is —1| <

1/2Vи a> 9^ Qv, TO

| y ( s ) - y ( t ) | < ( l

+ 2 / ( 2 ° - l ) ) / 2 vu< e .

(4.11)

Действительно,

если

f e [ ( i -

1)/2V,

il2V)

и

s e [i/2 v, ( i + l ) / 2 v), TO

|У (0 -

У (*) |<

|У (*) -

У (*/2V) |+

IУ (* )'- У ((* -

1)/2V) |+

+ |У (i/2v) -

У ((* -

m

l

I <

(1 +

2 /(2 “ -

l))/2 va»

	§ 5. ВОЗРАСТАЮЩЕЕ СЕМЕЙСТВО ПОД-0-ПОЛЕЙ		29
п если	£, s е [i/2v, (i +	1)/2V), то
|Y (£) -	Y (s) |< | У (*) -	Y (i/2v)| + \Y (£) — Y (t/2v)|< 2/ ( 2 ° - l)2va.

Так как DT плотно в [О,			Г],	то (4.11)'	выполняется для каждых s,
£ <= [О, Г] с	Is — £| «S 1/2*. Следовательно, Р | max					|Y (£) — Y (s)|>
					\ t ,sS[0»T]
> ej <1P (Qv) < б.		Так как		v = v(e, 6)	4<—e| «l/2v	от	n, то	полу­
					не зависит
чаем условие	(4.3).		{Х (£ ))|е=[0. <»> — совокупность				таких	d-мер­
С л е д с т в и е .		Пусть

ных случайных величин, что для некоторых положительных кон­

стант а, р, М4 в		i, s e [0, /с], k = 1,			2,	...,	выполняется следующее
условие:
	Е ( |X (£) — X (s) \а) <				Мк|£ -			s |1+р.		(4.12)
Тогда существует d-мерный непрерывный процесс									Х = (Х(£)) та­
кой, что для каждого £ е			[О, оо]	Р[ Х( £ ) =Х ( £ )] =1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Как и в приведенном выше доказатель­
стве,	(4.9) выполнено		для У(£) = Х(£), и поэтому, по лемме Ко­
роля — Коптелли,		для	почти	всех	to		имеем |Х((( +			1)/2т ) —
~ Х ( £ / 2 ' " ) | < 1 / 2 та, £ =			0, 1, 2,	..., 2"Т — 1, для всех m > v = v(to).
Это влечет за собой, как и в приведенном выше									доказательстве,
что	|X(£)-X(s)| ^ ( 1 + 2/(2°— l ) ) 2 mo,					если		только £,		s e D T,
U — s|«£l/2m и m > v .			Следовательно,			отображение			£ e D T^ X ( t )

почти папориоо равпомерно непрерывно. П устьХ (£ )— непрерывное

продолжение функции X(t)	Тогда X = (Х(£))	— непрерывный
процесс, и легко доказать,	что Р[Х(£)=*Х(£)] =	1 для каждого
< е [ 0 , оо).

I5. Случайные процессы, согласованные

свозрастающим семейством под-о-полей

Пусть (Q, ЗГ, Р) — вероятностное пространство и ( У — воз­ растающее семейство под-о-полей из ЗГ, т. е.

3Tt cz ЗГ„	если 0 < £ sS s.	(5.1)
Семейство (!Tt) называется	непрерывным справа,	если ЗГ(+0=

■я 11 :Г j+e =	t для каждого £<=[0, °°). В дальнейшем, если не ого-
¥ -О	.

корсно противное, будет предполагаться, что (&~t) непрерывно серпка, Такое семейство {ЗГг) называется потоком. Предположим, что айайны (Q, SF, Р) и {ЗГt) . Под й-мерпым случайным процес­

30			ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
сом *)	мы подразумеваем семейство d-мерных случайных векторов
X — (Xt). В этом параграфе d-мерпый случайный процесс							называ­
ется просто процессом.
О п р е д е л е н и е			5.1. Процесс Х = (Х ()(>0 называется				согласо-.
ванным с		() или	(^”() -согласованным,		если случайный вектор
(Xt) &г(-измерим при каждом t.						если отображение
Процесс X = (Xt)t>0 называется измеримым,
		(t, <й)е [0, ooJXQ— X (( o ) ) sR <i
является ^([0, °°))X&'/3!(Ri) -измеримым.						относительно ко­
Пусть ^ — наименьшее				о-поле на [0, °°)ХЯ,
торого	измеримы все		непрерывные слева (@~t) -согласованные про­
цессы	Y : [0, оо) х Я э (t, со) I-»- Гг (со) е Rd.				Если выше		заменим
непрерывные слева процессы Y непрерывными справа процессами,
то соответствующее о-поле обозначается через .
О п р е д е л е н и е			5.2. Процесс Х = Х(<)		называется предсказуе­
мым**), если		отображение		{t, to)-*- Xt(со) ST/SS^R) -измеримо. Про­
цесс X = X(t)		называется		вполне измеримым***) или опциональ­

ным, если соответствующее отображение ST/&!(R) -измеримо. Очевидно, что как предсказуемые, так и вполне измеримые про­

цессы являются измеримыми и согласованными с потоком

(&~i).

З а м е ч а н и е

5.1.

Любой предсказуемый процесс вполне из­

мерим.

Действительно,

если

X = X(t)

непрерывен

слева, т. е.

t *-*■Xi

непрерывно слева для каждого

о,

то

определенный посред­

ством

равенства

Х[п

=

Хн/2п

для

t е

[к/2п,

(к + 1)/2")

процесс

Хп =

(Х (/° )

непрерывен справа и

Х/п) (о>) ->• Xt(со) при п -*-<*>. Та­

ким

образом,

процесс X

^"-измерим. Отсюда

вытекает, что & <= W.

П р е д л о ж е н и е

5.1****). Пусть

Ф — линейное

пространство

действительных и ограниченных*****)

измеримых процессов, удов­

летворяющих следующим двум условиям:

(I)

Ф

содержит все ограниченные непрерывные слева (соответ­

ственно справа)

(&~t)-согласованные процессы-,

(И)

если

{Ф„) — монотонно возрастающая последовательность

процессов из

Ф,

для

которой Ф =

supФ„

ограничен,

то ф е ф .

П

Тогда Ф содержит все ограниченные предсказуемые (соответ­

ственно вполне измеримые) процессы.

предсказуемый

процесс,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ограниченный

т. е. ограниченная ^-измеримая функция, является пределом моно­

*)

Здесь мы рассматриваем d-мерный случай (т. е. пространство состоя­

ний R'1) , но обобщение па произвольные пространства состояний очевидно.

**) Точпее, предсказуемым относительно {У (). Будем также говорить

(ST()-предсказуемым.

***) Точпее (9~г)-вполпе измеримым.

1.

***•)

В атом предложении мы предполагаем d =

X Q в R.

****»)

То есть процесс ограничен как функция из [0, » )