книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

	§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ		211
.... ЛГ*(0	), ср(£)],	определенных на вероятностном	пространстве
(И, Г , Р)	с потоком	(£Г,),&0, таких, что

(I)X(t) — D-значный непрерывный (@~,)-согласованный про­

цесс;

(II)cp(t)— непрерывный (^“^-согласованный возрастающий

Процесс такой, что ф(0 ) = 0 и t

		j	Ion {X (.?)) d(p (s) =			fp (t),	f > 0 ,	n .	H .;
		о
(III)		{B(l),	M(t)i — система			элементов		из	~#р,ос таких, что
<В\ BJ> (t)= 8 hjl,				<Я\ M'>(t) =	0 и <М‘,		Ж"‘>(0 = б„„ф(0;
(IV)		с BepoHTiiocTJ>i() единица
			г	I				I
х : (t) =		X l (0 ) +	S	f (ft (X (* ))/. (X (s)) dB" (s) +lb\X (s))Ij,{X(s))ds +
				0	D			0
+	2	f r l ( X ( , - ) ) I o v ( X ( s ) ) d M l ( s ) + f					HX(s))r»n		( X ( * ) ) d q > ( * ) t
	I_t D					*'
	/=J
								1 ,2 ,	— 1
X'1=	Xd(0) +								(7.8)'
	(					l

+ 2	\а)! (X (S)) I . (X («)) dDh (S) +
b_i1	n	U

( Ь" (X («)) 7 о (X («)) ds + cp (t),
•	JJ
n
(
f p ( X	( s))d cp (,).
0

О п р е д е л е н и е 7.4. Скажем, что выполняется условие единст­ венности решений для уравнения (7.8), если для любых двух ре­ шений I и I ' с одинаковыми начальными распределениями совпа­ дают вероятностные законы процессов*) X —(X(t)) и X ' = (X'(t))

на (W (D ), 3S(W(D))).

Следующую теорему можно доказать почти таким же путем, как

итеорему 6 .1 .

Те о р е м а 7.1. Пусть, так же как и выше, заданы дифференци­ альный оператор А и граничный оператор Р с дополнительным ус­ ловием р ( х ) = 1 , и выберем непрерывные а и т, удовлетворяющие условиям (7.6) и (7.7). Тогда (Л, L)-диффузия {Рх, х е .!)} сущест­ вует и единственна в том и только в том случае, если для всякой вероятности р на (D, 38(D)) существует решение уравнения (7.8)

такое, что вероятностный закон величины Х(0) совпадает с р и

*) Иногда сам процесс X = (X (t)) будем называть решением уравне­ ния (7.8).

212	ГЛ. XV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
выполняется условие единственности решений для уравнения			(7.8).
Рх — вероятностный закон на		(W (I)), 3t(\V (О))) решения	X (t)
уравнения (7.8) с Х ( 0 ) = х .
Т е о р е м а	7.2. Предположим относительно коэффициентов урав­
нения (7.8),	что о, 6 , т, (1, р	удовлетворяют следующим условиям:

о и Ь ограничены и липшицевы па D, ти § ограничены и литипцевы на дО, а р ограничена и непрерывна на дD. Кроме того, пред­ положим, что а удовлетворяет условию

a,hl (.г) = 2	И Oh(г) > с, r e дО,	(7.9)
л=1

для некоторой положительной постоянной с. Тогда для любой веро­ ятности р на (/), 38(D)) существует такое решение Х(1), что за­ кон распределения случайной величины Х(0) совпадает с р. Более

того,	выполняется условие единственности решений	для	уравне­
ния	(7.8).	L) с	р (х) = {
С л е д с т в и е . Для заданной пары операторов (Л,

предположим, что можно выбрать а и т для некоторых г и s та­ ких, что выполняются условия (7.6) и (7.7), а а, b, т, р удовлет­ воряют предположениям теоремы 7.2. Тогда существует единствен­ ная (Л, Ь)-диффузия.

Д о к а з а т е л ь с т в о		т е о р е м ы	7.2. Мы	докажем	теорему в
три этапа.
(1°)	Случаи с пезадержииающей границей,			т. е. р (х) =	0, of (.г) =
=s 1 , at (х) = 0 , к = 2 , 3,		...,/• и й'(х )= 0 .		т. е. р(х) = 0.
(2°)	Случай с незадерживаюхцей границей,
(3°)	Общий случай.
(1°)	Случай с р(,г)=	0, o'! (.г) =	1, о'!, (х) =	0, к = 2, 3. ..., г, и

6 "(.г)= 0. Сначала покажем существование решений. Пусть р — заданная борелеяскан вероятность на D. На некотором вероятност­ ном пространстве построим независимые в совокупности следующие три объекта:

(I) ж(0 ) == (о: 1 (0

), ж2

(0 ),

...,

xd(0) ) — D-зпачная

случайная

вели­

чина с распределением

р;

...,

BT(t))-~ r-мерное

броуновское

дви­

(II) B(t) = (B'(l),

B2(t),

жение с В (0) — 0:

(III) B(t) = (B'(l),

B2(t), ...,

В’ (t)) — s-мерное

броуновское дви­

жение с В(0 ) = 0 .

посредством равенств

Определим ф(£) и X*(t)

0,

t ^ о0: =

m(f; i Bx(t)n

+

xd(0) =

0

} ,

(7.10)

ф (0 =

—

r

a i

n

хл(( 0 й ) )

г1 ,> (

s )

а +

в

,

O0<S4t

и

Х * (* ) = * * ( 0 ) + Я ' ( 0 + ф ( 0 -

(7.11)

§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРЛ1ШЧНЫЛШ УСЛОВИЯМИ

213

К « к мы видели в главе

III,

н. 4.2,

X '(t)— отраженное

броуновское

ДНИЖение па [0,

°°),

а ф(/) — локальное время

процесса X'(t)

в

точке 0, т. с. <f (t) = Jim

1 /[„,«> (Х 'г (s)) ds. Далее

определим

M(l) =

e l °

i

равенством M(t)= B(tp(t)).

Положим

•-(ЛГ (t), M2(t), . .

M* (t))

= n

i i/i,,

где

— о-ноле,

порожденное

x(0)

и

{В(и).

М (и)}u<i.

Ясно,

что

{B(t),

M{t)} — система элементов

из Л\' 0 «

удовлетворяющая условию

(III)

из определения 7.3.

Рассмотрим

следующее

стохастическое

дифференциальное

уравнение

для

X(t) = (X'(t), X*(t),...,

r - ' ( t ) ) :

Г

dXl (0 = 2

Oft (А (0. A" (0) dB" (t) +

b' {X (l), Xd(0) dt +

h =

l

2

T! (x (t), o) cm1(t) + p‘ (x (t), o) d<r (t),

(7.12)

+ 2

M I

X* (0)

=

(0

),

i -

1, 2, . . . , d -

1 .

Согласно теореме Ш-2.1 существует единственное решение X(t).

Процесс	X(t) = (X (t),			X'l(l) ) — непрерывный			Л-значнын		процесс,
				/		t
удовлетворяющий условиям f I UD (X (s))ds — J 7{0t (Х 'г (s)) ds =										0 для
				о		•
			t			i
всякого	t >	Он. H. и j		h,D(X (*))	(s) = j 7(0) (Xd (s)) dtp(s) =				cp (t) для
всякого	t >	0 п. и.	e	В частности,		«		dlih(l),		к =
						7^(X (t))dBh (l) =
= 1, 2, ...,		г, и IX	(X(t))dt = dt.		Следовательно, £ = [X(£),					5 (f),
M(t), Ф(0] — решение уравнения					(7.8).
Покажем единственность решения. Из уравнения (7.8) следует,
что				dXJ{t)= dB'{t)+ dip(t),
и согласно теореме Ш-4.2 Х"{1)					и	ср(г) однозначно		определяются
через Xd(0)		и Bl{t)	но формулам		(7.10) н (7.11). Согласно теореме
11-7.3 {B(t),		B(t) =	M{(p-'(l) ) } — (г + s)-мерное				броуновское движе­

ние, которое не зависит от Х(0). Следовательно, вероятностный за­

кон набора	[Х (0), (B(t)),	(A/(f))] единственным образом		опреде­
ляется по распределению р		(случайного вектора Х(0)). Так		как ре­
шение X(t) уравпеиия (7.12) единственно и строится,			как в теоре­
ме Ш-2.1, то. очевидно, что		распределение набора X = [X(t), B(t),
M(t), ср(0 ]	единственным	образом определяется	но распреде­
лению р.

(2°) Общий случай с незадерживающей границей (с мгновен­ ным отражением): р(.г)==0 .

214	ГЛ. IV. ОТО.ХЛСТНЧКСКПН УРАШ1КН1Ш
Исследуем сначала некоторые преобразования решений,										Ж=[X(t),
а)	Преобразование			броуновского		движения.		Пусть
Б(1),	M(t), cp(0J — решение на пространство						(Q,	Р)	с	р(х) =
соответствующее		коэффициентам			[о, Ь,	т,	р, 0].	Пусть
- ( Р ? (х)): D->-0(r) — нснрерывная					функция,		определенная			на D,
со значениями в r-мерыой				ортогональной		группе О(г). Положим
		Г	\
	в" (0 =	s	\p'j (X (и)) dlV (и),			& =	1, 2.........	г.
Тогда	У?(£) = (У?',(£)) — r-мерное (i£“() -броуновское движение									(при­
мер II-6.1) и Ж=		|Х(/), B(t), M(t), ф(<)] — решение на							(Q, 3~, Р)

сt), соответствующее коэффициентам [о, Ъ, т, ,3, 0], где о = ар~1.

Преобразование

Ж

Ж называется

преобразованием

броуновского

(">

~

движения, определенного функцией р, и обозначается через Ж

Ж.

Ясно, что Ж, со своей стороны, получается

через Ж преобразованием

того же типа, определенного функцией р~': Ж— *■ Ж.

Ь)

Замена

»• 1

времени. Пусть Ж= [Х(£), B(t), M(t), ф(У)] — реше­

ние на пространстве

(Q,

, Р)

с ((Ft),

соответствующее коэффици­

ентам

[о, Ъ, т, [3, 0]. Пусть

с(х)— непрерывная

функция на D та­

кая, что c i ^ c ( x ) ^ c 2

для

некоторых

положительных постоянных

Положи.м

t

и

обозначим

через

/1-1(н)

с,,

с-,.

A (t )=

\c(X(u))du

обратное

отображение

о

X (t)= Х(А~'(1)),

Ji(t) =

к t ■— A (t). Пусть

t

_______

=

(Bk (t) ),

где

Bk (t) =

j

] / с (X («)) dBh(A" 1(«)), M (0 = M {A~1(0)

и ф(£) = ф ( Л -1 ( t ) ) . Положим 2 F t

—■ & ~ л ~ 1ц у Тогда мы непосредствен­

но убеждаемся (см. главу III, § 1

или п. 4.2), что Ж= |Х(<), В(1),

M(t),

ф(0] — решение на

(Q,

Р) с (&~t), соответствующее ко­

эффициентам [с-,/2а, с~‘Ь, т,

0].

Преобразование Ж-*■ Ж называет­

ся

преобразованием

броуновского

движения с

помощью

замены

времени, определенного (функцией с, и обозначается через

(Ь)

~

Ж-*■ Ж.

Ясно, что Ж, со своей стороны, получается через Ж преобразованием

того же типа, определенного функцией с- ’ : Ж— ->Ж.

с)	Преобразование	сноса. Пусть Ж= |Х(г), B(t), М(1), ф(£)] —
решение на*) (Q, 3~, Р)		с (&~,),	соответствующее коэффициентам
[о,6,т,^,0]. Пусть d(x) = (dl(x),			d2(x), ..., dr(x) — ограниченная

*) Без потери общности можно предположит)., что (Q, 9~, Р) — стандарт­ ное вероятностное пространство.

g 7. УРАВШШИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

215

Н'-значная непрерывная функция ua D. Положим

Г / г \

р ( 0 =

охр

2

\dh(X(,))dB'‘ ( s ) - . 1 2

f d*(X(s))*ds .

i

s

-

i

;;

Тогда

p.(J)— положительный

-мартингал и

Р = р •Р задается

посредством

определения 4.1.

Положим

X(t) =[Х(1),

Л(1),

M{t),

<||(0]>

где

в ’!(() =

В1(I) — )

dk (X (.S-)) ds,

к =

1,

2,

...,

г.

Легко

видеть,

что

по

теореме 4.1

Л

па

(Q,

SF,

Р)

с

X(t) — решение

соответствующее

козффициептам [о, 5 =

6 + ad,

т, р, 0]. Преобра-

вовапие X

$

называется

преобразованием

сноса,

определенного

функцией d, и

обозначается

далее

через

(с) ~

Ясно,

что

£, со

Ж

3t.

своей стороны, получается через $ преобразованием того же тина,

определенного функцией •— d\ X ^ X.

Завершив оти приготовления, мы теперь покажем существова­ ние и единственность решения в случае р = 0. Пусть а, 6 , т и (} удовлетворяют предположениям теоремы 7.2. Тогда существует

функция р(х)

:!)->-О(г)

такая,

что

каждая

компонента

матрицы

р(х) лишшщева и

I

*

*

*

. .

.

*

\

*

*

*

•

•

•

*

}

,

|а''(*)\,

0

,

0

,

....

0

/

где аг(х) =

(о],

—

г-я строка матрицы а(х)

и

1=

1, 2 ,.

'(-г)11°г

= 1

г/

г

/{—I~ —2

;—

d.

Действительно,

р, (х) =

аЛ{х)/\аЛ{х) I : О

Sr_1 =

{.r е Rr; |х| =

1} —

линшнцевая

функция.

Выберем

отобра/кение

ph(x):I) ^

Sr~\

к —2 ,

3, ...,

г,

так,

что

рп(х)— линшнцевая

функция,

а

набор

|р,(х), рг{х), ..., р,\х)\ является ортонормированньтм в Rr для

всякого х е О . Такой

выбор рк(х) всегда возможен. Искомой функ­

цией тогда будет матрица р ( х ) : D -*■ О(г), к-я строка которой есть

рк(х),

к =

1 , 2 , .. ., г.

\а‘! (х) I2

и

определим

(х),

Далее

положим

с ( х ) =

d (х) = (cl

йг ( х) ,

...,dr( x ) )

равенствами

i = 2 ,

d ' { x ) = -

b " ( x ) / c ( x )

и

dl( x ) = 0 ,

3,

...,

г.

Пусть

X — решение,

соответствующее

козффициептам

[о,

6

,

т,

Р, 0]. Если мы

произведем

над

X последовательно

преобразования

216	1'Л. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
то Ж3 будет решением,		соответствующим		коэффициентам [о,			ft, т,
р, 0 1 , где	а = (ар~1 /Ус,	b = c~lb + ad,	т =	т	и	? =
Ясно,	что orf (.г) =з 1,	(х) == 0, к =	2, 3,	.	.	г, и Ъ'1(х) = 0.	Сог­
ласно результату случая		(1°) распределение решения Ж3 единствен­

ным образом определяется через распределение р, случайного век­ тора X (0). Так как

Ж3 ( с ) ж.

то распределение решения Ж единственным образом определяется через |х. Этим завершается доказательство единственности. Сущест­ вование решения также очевидно. Действительно, о существовании

решения Ж3, соответствующего коэффициентам [о, Ь, т, р, 0], мы знаем. Следовательно, требуемое решение Жполучается посредством

вышеприведенных преобразований.	р] удовлетворяют услови­
(3°) Общий случай. Пусть [о, Ь, т,

ям теоремы 7.2. Построил! решение Ж= '[Х(2), B(t), M{t), (p(0l lla

пространстве (Q,		Р)	с	(5*“,),	соответствующее коэффициентам
[о, 6 , т,	0]. Переходя,		при необходимости, к расширению прост­
ранства Q, можно предположить, что на Q существует /-мерное бро­
уновское	движение	В* = (В* (t)),			которое, не зависит	от Ж. Пусть
	t
А (t) — t + \р (X (s)) d(f (х)				и	Л- 1 (I) — обратная	функция к
функции	о	Положим
	t^ A ( t ) .
	X{t)= X(y\~l(t)),				]\1 (I) = М (Л- 1 (1 )),
ф ( 0 = ф С-4 " 1 ( 0 )			11	^ i =	&~а- чо V ^ { д * ( я);	« < * } •

Положим также

t

В (t) = в (Л-’ (*)) + j h o (X (*)) dB* (в).

6

Тогда Ж= {Х(/!), B(t), M(t), ф(0] — решение, соответствующее ко­ эффициентам [о, ft, т, ,3, р]. Это легко можно доказать, если заме­ тим справедливость следующих соотношений:

I	t	t
A~'(t)= \l*n (X(s))ds	и J Ion (X )v.(	Л?= jо {X (s)) d7p (s).
0	0	I)

Они являются следствиями соотношений

Л

о

§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

217

1

1

\IQL>(X (*)) dA,= f i >

( X

( s ) ) d <

p s .

о

о

Покажем единственность решения. Пусть £ = [Х(£), B(l), M(t),

(|.(Z)I— любое

решение,

соотнетстнующее

коэффициентам [о,

т»

' I

Р,

рJ. Положим

Л (t) = [/с (X (s)) ds.

Тогда t

A(t)

валяется п. н.

строго возрастающей

О

если

бы ото

было

функцией. Действительно,

не так, то нашлись бы 0

<

л < г2 такие,

что,

положив

=

{со;

А (гг) =

А (л,)},

имели

бы

Р

,) X ) . По

r'i

I IoD(X{s))ds

г$

f ()

] Г?

Hr.,г, с : \r., — r1—

=

(X(s))dip(s)| d M c?<р (я )> 0

п.н. |

r,

^

J п.н. ^

Qr

rod

1.1 о (X (s)) =

0

для

всех s <= [/-j, r2]} d

’ I I . II.

D

> II.H .

С

Ш

<y'l(X (S)) I с (X (*)) dB>‘ (s) =

о

и

1ba(X (*)) / . (X (*)) *

=

0 .

rui. \

h

=

i

I(

ы

D

J

Следовательно,

Hrvr2(

d

[X(l(r2

=

X,l(r1

+

ф(г2)—

(r 1)

> x

, , ( r 1)l d

[ Х ( г г) е О

| .

Но это, очевидно, является противоречием.

Таким

образом,

функция

/T- 1 (f),

обратная

к

t >-*■A(t),

явля­

ется

непрерывной.

J (оложим

£ =

X (0 =

X (Л-1 (0). Л (0 =

Л-1 (0

=

i

I o{X($))dB(s).

М (t)=Jl (Л- 1

(t)),

ц>(t) = q (7Г* (t)) .

о1)

'I oi-да нетрудно видеть, что £ — решение, соответствующее коэф­ фициентам [о, Ь. т, р, 0]. К тому же

I	t
t = \ I ^ { Х(,s)) d s +	j I o i ) ( X («)) d s	A(t) + J p (Х(я))«йр(в)

о

о

(>

218	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИ!'’ УРАВННПИЯ

и, следовательно,

1

Л-1 (t) = t + j р (X (*)) dtp(.s).

О

Отсюда следует, что £ получается из £, как и выше. Так как рас­

пределение £ единственно, то отсюда следует, что распределение £ также единственно.

Таким образом, мы построили общин класс (Л, /^-диффузион­ ных процессов посредством стохастических дифференциальных уравнении. Мы предполагали, что р.(сг)>0 всюду на 91), и норма­ лизовали (нормировали) ату функцию, чтобы иметь р(а:)= 1 . С ве­ роятностной точки зрения зто предположение, однако, очень огра­ ничительно, и следовало бы ослабить его, заменив условием ц(л:)+р(д:)> 0 всюду па 9.D. Грубо говори, р,(а:)>0 означает, что

в точке х происходит отражение, а р(д:) >	0 означает, что в х	про­
исходит поглощение. Ноатому интуитивно	ясно, что случай р(д:) =
= р(ж)= 0 является невозможным, по допустимо выполнение		усло­

вий р (.г)= 0 и р(сг)>0. Можно привести другой метод конструиро­ вания (А, /Д-диффузиоиных процессов, который охватывает общий случай с р,(ж) + р (я) > 0. Этот метод, который подобен методу, при­ веденному в главе III, н. 4.3, состоит в склеивании друг с другом экскурсий от границы до границы. Как мы увидим, вероятностная структура диффузии хорошо проясняется при атом способе построе­ ния решения ([14] и [18]).

Для простоты рассмотрим случай с А = А/2, отсылая за общим

случаем к [18)'. Итак, положим 1) =

R+, А =

А/2

(т.

о. а‘}(х)=8ц,

Ь'(х) =

0),

и пусть L определяется

равенством

(7.2).

Мы

предпо­

лагаем, что

inf

|р (.г) +

и (.г)) >

0.

(7.13)

x~dD

Предположим, кроме того, что существует функция т(т) =

(т[(ж)):

9D ->■

® R"

такая,

что

ос б (х) =

S

i,j = 1,2,

. .. ,

d — 1,

(7.14)

2] т/ (Z) TI(X), x^dD,

/--i

и предположим,

что

все

функции т](х) $‘(х),

р(.г)

линшице-

вы на 91).

Ж0(1)) — совокупность

всех

непрерывных

функций

Пусть

w : [0, оо)-*-/) с

w(0 )=

0 таких, что

существует

а (ге)> 0

со

свойст­

вом: если 0 < t < o ( w ) ,

то

w(t)el),

и

если

l ^ a (w ),

то

w(l) =

= ш(о( ш))е 91). Пусть 1$(Жо(1)))— о-ноле,

порожденное

борелев-

скими цилиндрическими множествами, и пусть

п — о конечная ме­

ра на

(Ж0(1)),

ИВ(Жо(1)))), определенная

следующим

образом.

В н. 4.3 главы

III мы

определили

нрострапство

траекторий Ж+ и

§ 7. УРАВНЕНИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

219

вжоисчную мору п+ па ( Ж +, $ ( Ж +)). Пусть Р0— винеровская ме­ ри па Wo-1, соответствующая начальному распределению, сосредо­

точенному в точке 0, и определим п как		меру-образ меры Р # Х » +
При отображении
	W J-' х З Г ' э (ш, w) ~	U-) €= Ж 0(О),
где	определяется равенством wn ( „ ) ( 0	= м(/ Д сг(го)).
	Если положим

V ^ 1 "М|,(-тг) для *>0’

.г = (ж1, х2, . . . , д:1') <= D,

и

'■

' /^

\

ТТ

1

Ц

/

(жг—У1)4\

1

/

(

(zrf— /)-\

) -

y

S1

3T

ехр- J

Гу

я -1

- - -Р-в1- —

ехр ( — k

'2

/

^ ))

для * > ° »

то тогда

п — единственная мера

на

(Ж„(0),

&(Ж„(/?)))

такая,

что

н {ir; w (fi) е

Л,. ir ( fa)

• • •, «’ (О

е

Л,,}) =

=

|

К (tj ,

д.’] )

1

\ р [Iо

£ I ) л?1< ^ 2 )

Л г 2 •

• •

Ai

л 2

j Р

* . .

(^ 7 1

^77— 1 7 ^77 — 17

для 0 <

U <

£ 2

<

.. . <

tu и Л,- е

<М(0). Пусть Ж (D) — совокупность

непрерывных

траекторий

w : [0,

«>)->-П

таких,

что

w(0)<=dD

и

и-(t) =

ir ( t /\ a(ir)),

где

o(ir) =

inf U >

0:

w(t)^dD).

Пусть

О

обозначает постоянную траекторию 0(() = 0 s D ,

Определим отобра­

жение

Тс : Ж0(и)-* 7P0(D)U {Q}

для

всякого

с 3* 0 равенством

( 7 » ( 0

av{t!:c2).

с >

0

,

(7.15)

[0 ,

с =

0

,

ЗГ(О)

и определим также отображение

Ф: 3D X

Ж0(О) =э (х, гг) -

(I) (.г, гг) е

р н в е н с т в о м

w)(t) = д +

Ф ( д ,

( 7 V w rr)(J),

£ > 0 .

( 7 Л 6 )

Очевидно, что Ф ( .г ,

г г ) ( 0 ) = . г

и

а [ Ф ( ;г .

гг)

| =

р ( д :) 2а ( г г ) .

О п р е д е ­

лим <р: dD X Ж\ (D) э

(.г,

и?)

ф (.г, гг) s

dD

р а в е н с т в о м

ф (.г,

и>)— Ф(х,

щ ) ( о [ Ф ( д :, г г ) ] ) —

д: =

р ( . г ) г г ( а ( г г ) ) .

( 7 Л 7 )

2 2 0	ГЛ. IV. СТОХЛСТПЧКПЫШ Vl’ AHIIKIIJUI

Нетрудно видеть, что для всяких*)			х, у <= дГ)
f	I ф (-г. «’) — Ф (.У, "') I2 я (dw) =
ЖУ»)П<0(»’)<!>
=	Iр (х) — и (у) I2	j	I W(ст (ю)) |2 п (dw) =
		>5Р0(Г>)Г.(а(н;)<1}

= (d - 1) V	i i-11и ~ .u (у) i* < K i * -	уi2•	(7-18)
На подходящем вероятностном пространстве! (Q,		P)	с пото­
ком (£?",) построим следующие объекты:
(I) &t cr ^"0 — возрастающее	семейство под-о-нолеи ^~0 и d-мер­

ное (,?,)~броуиовское движение Ji(l) = (B‘(t)) c # ( 0 ) = 0 ;

(П)s-мерное (@~t) -броуновское движение B*(t) = (Bl(t)*);

(III)(@~t) -стационарный пуассоновские точечный процесс р па (7fn(D), $(Жа(0))) с характеристическое мерой п.

Теперь построим траектории (Л, /.)-диффузионного процесса.

Пусть i s / ) задана в качестве начальной точки. Во-первых по­ ложим

Xx( t ) = x + B(t) для t < a 0,

(7.19)

где а0 = inf {t > 0; х + B(l) е ОТ)}. Пусть |0 = Х*(о„). Тогда |0 — (@~«)-измеримы!! д/Узначпыи случайный злемент. Во-вторых, ре­ шим следующее стохастическое дифференциальное уравнение скач­

кообразного тина относительно процесса Z.(t) = (|l(i))-L1 на 0D:

%d( t ) ^ О,

				t
			«)* +	I' P'(s(*))rf« +
	'■	1 о		О
	f-1-
+	\	(	Ф* (I (S—), ir)	+ (7.20)
	о	ЗГ0(П)
	t-
+	i	(	Ф* (б (.•?-), w) /(„(*)>,).Vf,(dsdia),

о7/yO)

i = 1, 2, . .. , d — 1.

Уравнение (7.20)— стохастическое дифференциальное уравнение скачкообразного тина, которое будет обсуждаться и § Я. Учитывая

			оо
липшицевость	т и [3, (7.18) и то, что п ({ю : гт(/е;> I}) = [(2лt*)~l,2dt <С
________________			1
*) Заметим,	что	п ({ш\ a {w) е	ill, >г (я (w)) е dx)) — (2я /3) -1,2 X
X	ехр ^	rte, О 0, .т е	д!).