- •Численные методы (Методические указания и задания)
- •Численное интегрирование
- •1. 1. Метод прямоугольников
- •1. 2. Метод трапеций
- •1. 3. Метод парабол (метод Симпсона)
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •2. 1. Уточнение корней методом половинного деления
- •2. 2. Метод итераций
- •2. 3. Метод хорд
- •2. 4. Метод касательных (Метод Ньютона)
- •2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных
- •Аппроксимация функций
- •3. 1. Математическая постановка задачи интерполирования
- •3. 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •3. 3. Линейная интерполяция
- •3. 4. Метод наименьших квадратов
- •3. 5. Нахождение параметров линейной функции
- •3. 6. Нахождение параметров квадратичной функции
- •Решение систем линейных уравнений
- •Содержание
501
Численные методы (Методические указания и задания)
Составители С.И. Смуров
В.А. Таланова
С.П. Бобков
Иваново 2003
В методических указаниях рассматриваются методы приближенного вычисления определенного интеграла, численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, вопросы математической обработки экспериментальных данных.
Даны примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.
Указания составлены в соответствии с программой и одобрены решением цикловой методической комиссией по физико-математическим дисциплинам.
Численное интегрирование
Вычислить определенный интеграл , где– непрерывная функцияx в интервале , можно с помощью аналитической формулы, если использовать прием формального интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница (I. I.)
, (I. I.)
где – первообразная функция для заданной функции.
Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы в виду невозможности определения .
В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования.
Основной принцип построения всех приближенных формул численного интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы от которых можно вычислить, используя ординаты на концах отрезков.
1. 1. Метод прямоугольников
Вычисление интеграла равносильно вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с параллельными «основаниями»x=a, x=b и «боковыми сторонами» y=0, y=f(x), рис. I. I.
y y=f(x)
y2
y1
y0
yn-1
h h h h
x
a
x1
x2
x3
xn-1 b
Рис. 1. 1.
Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n.
Приближенное значение интеграла получается в виде сумм площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала, т.е. формула численного интегрирования имеет вид (I. 2.):
или (I. 2.)
и называется формулой «левых» прямоугольников.
Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала, то формула численного интегрирования будет иметь вид (I. 3.):
(I. 3.)
и называется формулой «правых» прямоугольников.
1. 2. Метод трапеций
В соответствии с полученными ранее формулами «левых» и «правых» прямоугольников истинное значение интеграла лежит между приближенными значениями, определяемыми по этим формулам (рис. I. 2), т.е. лучшую формулу численного интегрирования можно получить, взяв среднее арифметическое этих значений:
y y=f(x)
yi+1
yi
h
x
xi
xi+1
Рис. 1. 2
. (I. 4)
Эта формула (I. 4) описывает метод трапеций для численного интегрирования, т.е. приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей «n» трапеций.