Тема 3 Граничные условия на поверхностях раздела реальных сред

Неоднородная среда в общем случае имеет диэлектрическую и магнитную проницаемости и проводимость, являющиеся функциями координат. Но на поверхности раздела двух разных сред эти функции испытывают разрыв (скачок). Например, на поверхности раздела металл-воздух проводимость и диэлектрическая проницаемость меняются скачком. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме описывают ЭМ поле в обыкновенной точке пространства, поэтому на поверхности раздела сред, где нарушается непрерывность параметров среды, они теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определяющими поведение векторов поля в точках скачка параметров сред. Эти условия устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.

Пусть некоторый объем Vзаполнен веществом с параметрами,,и ограничен поверхностью S(рис. 2).

а б

Рис.2 К выводу граничных условий

Векторы ЭМ поля внутри тела обозначим через ,,,. Тело находится в среде с параметрами,,. Векторы поля в среде обозначим через,,,. ПоверхностьSесть поверхность раздела сред.

Выделим у поверхности Sнекоторый элементарный объемцилиндрической формы с длиной образующейи контурс длиной боковой стороны , такие, что часть и частьнаходятся в среде, а другие их части — в объеме V. Считаем, что и— точки наблюдения ЭМ поля расположены соответственно в объемеи в среде. Тогда с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме можно связать векторы поля в точках и в точках. Если затем положить , то точкиистремятся на поверхность S раздела сред, т.е. и , где .

1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля

Установим условия, определяющие поведение нормальных к границе раздела сред составляющих векторов поля. Для этого рассмотрим объем (рис. 2а). Обозначим через поверхность, образованную пересечением с границей раздела сред, а через , — орты нормалей к торцам цилиндра. Считаем, что в каждой точке существует орт нормали .

Применим третье уравнение Максвелла в интегральной форме к объему , ограниченному поверхностями торцов , и боковой поверхностью цилиндра :

(1)

так как при имееми поэтому интеграл постремится к нулю. Учтем, что при ,,.

Поскольку мало, то применяя теорему о среднем, можно вынести , | и из-под знака интеграла. Таким образом, сокращая на , получаем при

(2)

На границе раздела S реальных сред заряды не скапливаются, поэтому они не имеют особенности, они не являются поверхностными, т.е. при . Значит,

(3)

Применим к объему четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме:

,

где - фиктивные сторонние магнитные заряды

При имеем

AS'+AS'+AS₆ (4)

Считаем, что на границе раздела реальных сред фиктивный магнитный заряд, как и электрический, не может быть чисто поверхностным, поэтому при . Значит,

(5)

Если — некоторый вектор, то — нормальная к S составляющая вектора. Поэтому имеем:

(6)

Это математическая формулировка граничных условий для нормальных составляющих векторов индукций: нормальные составляющие векторов индукций при переходе через поверхность раздела реальных сред непрерывны.

Для линейных изотропных сред: ,,,

Поэтому в соответствии с (6) нормальные составляющие векторов напряженностей поля имеют скачок на S:

(7)