- •Оглавление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Основные понятия неопределенного интеграла
- •1.2. Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Замена переменной
- •Интегрирование по частям
- •1.3. Интегрирование рациональных дробей
- •1.4. Интегрирование тригонометрических функций
- •1.5. Интегрирование иррациональных функций
- •1.6. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции
- •1.7. Задания для самопроверки №1
- •§2. Определенный интеграл
- •2.1. Основные понятия и методы решения определенного интеграла
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2.2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •Формула прямоугольников
- •. Формула трапеций
- •Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)
- •2.3. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы первого рода
- •2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)
- •2.4. Задания для самопроверки №2
- •2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.6. Физические приложения определенного интеграла
- •2.7. Экономическое приложение определенного интеграла
- •2.8. Химические приложения определенного интеграла
- •2.9. Задания для самопроверки №3
- •2.10. Вопросы и предложения для самопроверки Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Применение определенного интеграла
- •Расчётно-графическая работа
- •Графики некоторых функций, заданных параметрически и в полярных координатах
- •Структура интегрального исчисления
§1. Неопределенный интеграл
1.1. Основные понятия неопределенного интеграла
Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C.
Записывается это так:
Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассматриваемом промежутке, то есть .
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Имеет место теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если 1) она определена на этом множестве; 2) непрерывна в каждой точке этого отрезка, то есть справедливо равенство, где.
Теорема (условие существования неопределенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.
Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):
где C-const.
.
.
где u, v, w – некоторые функции от х.
(Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и, где- произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.
Таблица 1.
Интеграл |
Значение |
Интеграл |
Значение | ||
1 |
11 | ||||
2 |
12 | ||||
3 |
13 | ||||
4 |
14 |
| |||
5 |
15 | ||||
6 |
16 | ||||
7 |
17 |
|
| ||
8 |
18 |
|
| ||
9 |
19 |
|
| ||
10 |
20 |
|
|
1.2. Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.
Примеры:
a)
b)
с) .
Замена переменной
Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где - функция имеющая непрерывную производную. Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры:
a)
b)
.
с).
Первый вариант замены: ==
Второй вариант замены:
==
d) . Первый вариант замены:
=
Второй вариант замены: =
=.
При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).