Кафедра естественно научных дисциплин и информационных технологий Альметьевского филиала ГОУ ВПО КГТУ им. А.Н.Туполева

Дифференциальные уравнения

Учебное пособие дл студентов очной и заочной форм обучения

Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстрирующие основные понятия по учебной дисциплине дифференциальные уравнения. Разработаны варианты контрольных (семестровых) работ.

Рассчитано на студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей и направлений.

ОГЛАВЛЕНИЕ

§1.	Обыкновенные дифференциальные уравнения
	1.1. Основные понятия дифференциальных уравнений	7
	1.2. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений	8
	1.3. Уравнения с разделяющимися переменными	10
	1.4. Однородные уравнения	11
	1.5. Уравнения, приводящиеся к однородным	12
	1.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения	14
	1.7. Уравнение Бернулли	17
	1.8. Уравнения в полных дифференциалах (тотальные)	17
	1.9. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной	19
§2.	Дифференциальные уравнения высших порядков
	2.1. Основные понятия дифференциальных уравнений высших порядков	21
	2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка	22
	2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков	25
	2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.	26
	2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами	28
	2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида	29
§3.	Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами	34
Семестровые работы Приложение (логическая схема: Дифференциальное уравнение первого порядка)		38
		62

§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. 1. Основные понятия дифференциальных уравнений

Соотношение вида , связывающее независимую переменнуюх, неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Интегралом (или решением) дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая уравнение в функциональное тождество при подстановке в него этой функции и ее производных взамен неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , или уравнение вида , разрешенное относительно производной, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную.

В простейшем случае дифференциальное уравнение имеет вид . Решение этого дифференциального уравнения определяется формулой:, где С – произвольная постоянная.

Начальным условием дифференциального уравнения первого порядка называют пару соответствующих друг другу значений независимой переменной (х₀) и функции (у₀). Записывается в виде: у₀=у(х₀).

Функция y = (x, C), где С – произвольная постоянная, называется общим решением дифференциального уравнения , если: она является решением дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной С; существует такое единственное значение С=С₀, что функция удовлетворяет начальному условиюу₀=у(х₀),каково бы оно ни было.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка). Если функция и ее частные производныеинепрерывна в некоторой области, содержащей точку, то существует, и притом единственное, решениеуравнения такое, чтоу обращается в у₀ при х=х₀.

1.2. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений

Геометрически общее решение y = (x, C) представляет собой множество интегральных кривых, то есть совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С. Если задать точку , через которую должна проходить интегральная кривая, то из бесконечного множества интегральных кривых выделяется некоторая определенная интегральная кривая, которая соответствует частному решению дифференциального уравнения.

В каждой точке области плоскостиОху, в которой справедлива теорема существования и единственности решения, уравнение определяет величину углового коэффициента касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Эту величину графически изображают линией, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент . Таким образом, уравнениеустанавливаетполе направлений на плоскости Оху.

Геометрическое место точек с одинаковым направлением поля () называетсяизоклиной дифференциального уравнения (линией равных наклонов). В всех точках одной изоклины, соответствующей одному С, касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление.

Геометрический метод решения дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к ним имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания.

Пример. Дано дифференциальное уравнение .Построить поле направлений. Методом изоклин построить приближенно графики интегральных кривых. Сравнить их с точными интегральными кривыми.

Имеем . При х=0 и любомимеем, то есть во всех точках оси Оу поле горизонтально. При х=1 и любомимеем, то есть поле образует угол 45⁰ с осью Ох. Так как данная функция , то поле симметрично относительно оси Оу, и через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, различные интегральные кривые не пересекаются, то получается рисунок 1.

Поле направлений             Интегральные кривые

Рис. 1

Точные интегральные кривые имеют вид: .