Задание 1.

Вариант 1.

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.:

Район	Средний размер назначенных пенсий, тыс.руб., (у)	Прожиточный минимум на одного пенсионера, тыс. руб., (х)
1	2	3
Владимирская область	226	202
Ивановская область	221	197
Калужская область	226	201
Костромская область	220	189
г. Москва	250	302
Московская область	237	215
Смоленская область	220	180
Тверская область	222	181
Тульская область	231	186
Ярославская область	229	250

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4 Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 2.

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г.

Район	Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс.руб. (у)	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб. (х)
1	2	3
Республика Марий Эл	302	554
Республика Мордовия	360	560
Чувашская республика	310	545
Кировская республика	415	672
Нижегородская область	452	796
Белгородская область	502	777
Воронежская область	355	632
Курская область	416	688
Липецкая область	501	833
Тамбовская область	403	577
Республика Татарстан	462	949
Астраханская область	368	888
Волгоградская область	399	831
Пензенская область	342	562
Саратовская область	354	665

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 3.

По территориям Северного, Северо-западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., (y)	Денежные доходы на душу населения, тыс, руб.,(х)
1	2	3
Северный
Республика Карелия	596	913
Республика Коми	608	1095
Архангельская область	354	606
Вологодская область	526	876
Мурманская область	934	1314
Северо - Западный
Ленинградская область	412	593
Новгородская область	525	754
Псковская область	367	528
Центральный
Брянская область	364	520
Владимирская область	336	539
Ивановская область	409	540
Калужская область	452	682
Костромская область	367	537
Московская область	328	589
Орловская область	460	626
Рязанская область	380	521
Смоленская область	439	626
Тверская область	344	521
Тульская область	401	658
Ярославская область	514	746

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 4% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Вариант 4.

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

Район	Потребительские расхо­ды на душу населения, тыс.руб., (у)	Денежные расходы на душу населения, тыс. руб.,(х)
1	2	3
Восточно-Сибирский
Республика Бурятия	408	524
Республика Тыва	249	371
Республика Хакасия	253	453
Красноярский край	580	1006
Иркутская область	651	997
Усть-Ордынский Бурятский автономный округ	139	217
Читинская область	322	486
Дальневосточный
Республик Саха (Якутия)	899	1989
Еврейская авт. обл.	330	595
Приморский край	642	937
Хабаровский край	542	761
Амурская область	504	767
Камчатская область	861	1720
Магаданская область	707	1735
Сахалинская область	557	1052

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05

Вариант 5.

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г.:

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., (у)	Денежные расходы на душу населения, тыс. руб.,(х)
1	2	3
Уральский
Респ. Башкортостан	461	632
Удмуртская область	524	738
Курганская область	298	515
Оренбургская область	351	640
Пермская область	624	942
Свердловская область	584	888
Челябинская область	425	704
Западно-Сибирский
Республика Алтай	277	603
Алтайский край	321	439
Кемеровская область	573	985
Новосибирская область	576	735
Омская область	588	760
Томская область	497	830
Тюменская область	863	2093

1. Рассчитайте параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. С помощью средних коэффициентов эластичности дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надеж­ность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное зна­чение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05

Второе заданиепредполагает изучение многофакторного корреляционно-регрессионного анализа и расчет характеристик уравнения множественной регрессии с целью получения достоверных статистических выводов о наличии зависимости между результативным и факторными признаками.

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

(16)

где у -зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы);

- параметры;

- случайная величина (ошибка).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

(17)

Параметры этой системы могут быть найдены, например, методом К. Гаусса.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

(18)

где ,- стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК.

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентамиописывается соотношением

(19)

Параметр аопределяется как

(20)

Средние частные коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по следующей формуле:

(21)

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

(22)

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для стандартизованном масштабе можно записать в виде

(23)

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на уфактораопределяются по следующим формулам:

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками и упри исключении влияния признакавычисляют по формуле:

; (24)

то же - зависимость уотпри исключении влияния:

(25)

Взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

, (26)

где r- парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по следующим формулам:

; (27)

; (28)

(29)

Среднеквадратические отклонения вычисляются по формулам:

(30)

(31)

(32)

На основе парных коэффициентов корреляции и средних квадратических отклонений можно рассчитать параметры уравнения двухфакторной связи по формулам:

; (33)

; (34)

(35)

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

(36)

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

(37)

где n- число наблюдений;

m- число факторов (независимых переменных в уравнении).

Решение типового примера 2.

По 20 предприятиям региона (табл. 1) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у(тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов(% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих(%).

Таблица 1

Номер предприятия	у
1	7.0	3,9	10,0
2	7.0	3.9	14,0
3	7,0	3.7	15.0
4	7,0	4,0	16.0
5	7,0	3,8	17,0
6	7,0	4,8	19,0
7	8,0	5,4	19,0
8	8,0	4,4	20,0
9	8,0	5,3	20,0
10	10,0	6,8	20,0
11	9,0	6,0	21,0
12	11,0	6,4	22,0
13	9,0	6,8	22,0
14	11,0	7,2	25,0
15	12,0	8,0	28,0
16	12,0	8,2	29,0
17	12,0	8,1	30,0
18	12,0	8,5	31,0
19	14,0	9,6	32,0
20	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности.

3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.

В пп. 2. и 3. на основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.

4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.

5. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Решение.

1. Для построения линейного уравнения множественной регрессии необходимо рассчитать параметры уравнения по формулам (33), (34), (35).

Среднеквадратические отклонения определяются по формулам (30), (31), (32); расчет средних величин осуществляется по формулам, приведенным в решении типового примера 1 задания 1 настоящего пособия ((14), (15)).

Представим полученные результаты в расчетной таблице 2:

Таблица 2

	y
1	7	3,9	10	27,3	70	39	49	15,21	100
2	7	3,9	14	27,3	98	54,6	49	15,21	196
3	7	3,7	15	25,9	105	55,5	49	13,89	225
4	7	4	18	28	112	64	49	16	256
5	7	3,8	17	26,6	119	64,6	49	14,44	289
6	7	4,8	19	33,6	133	91,2	49	23,04	361
7	8	5,4	19	43,2	152	102,6	64	29,16	361
8	8	4,4	20	35,2	160	88	64	19,36	400
9	8	5,3	20	42,4	160	106	64	28,09	400
10	10	6,8	20	68	200	136	100	46,24	400
11	9	6	21	54	189	126	81	36	441
12	11	6,4	22	70,4	242	140,8	121	40,96	484
13	9	6,8	22	61,2	198	149,6	81	48,24	484
14	11	7,2	25	79,2	275	180	121	51,84	625
15	12	8	28	96	336	224	144	64	784
16	12	8,2	29	98,4	348	237,8	144	67,24	841
17	12	8,1	30	97,2	360	243	144	65.61	900
18	12	8,5	31	102	372	263,5	144	72.25	961
19	14	9,6	32	134,4	448	307,2	196	92,16	1024
20	14	9	36	126	504	324	196	81	1296
Итого	192	123,8	446	1276,3	4581	2997,4	1958	837,74	10828
ср.значен..	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	97,9	41,887	541,4
	5,74	3,5709	44,11
	2,39583	1,889683	6,641536

Парные линейные коэффициенты ()рассчитываются соответственно по формулам (27), (28), (29).

Подставляя соответствующие расчетные значения в исходные формулы, имеем:

Таким образом, линейное уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость выработки продукции на одного работника уот ввода в действие новых основных фондови удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих примет вид:

Анализ коэффициентов уравнения множественной регрессии позволяет сделать вывод о степени влияния каждого их факторов на показатель выработки продукции на одного работника. Параметр свидетельствует о том, что с увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1 процентный пункт следует ожидать увеличения выработки продукции на одного работника на 0,9459 тыс. руб. (или 945,9 руб.). Увеличение же удельного веса рабочих высокой квалификации на 1 процентный пункт может привести к увеличению выработки на 0,0857. руб. (или на 85,7 руб.). Отсюда можно сделать соответствующие практические выводы и осуществить мероприятия, направленные на повышение выработки.

2. Средние частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей среднейизменяется результат при изменении факторана 1% от своей среднейи при фиксированном воздействии навсех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии.

Средние коэффициенты эластичности для каждого фактора рассчитаем по формуле (21):

С увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1% от его среднего уровня выработка на одного работника возрастает на 0,61% от своего среднего уровня; при повышении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% выработкау увеличивается только на 0,19% от своего среднего уровня. По значениям частных коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результатупризнака фактора,чем признака фактора: 0,6% против 0,19%.

3. Связь стандартизованных коэффициентов с коэффициентами множественной регрессииописывается формулой (19), из которой следует:

Анализ показывает, что на выработку продукции на одного работника наибольшее влияние из двух исследуемых факторов с учетом уровня их вариации способен оказать фактор- ввод в действие основных фондов, так как ему соответствует наибольшее (по абсолютной величине) значение-коэффициента.

4. Расчет линейных коэффициентов парной корреляции определяет тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Парные коэффициенты определены нами ранее (см. п. 1. типового примера):

Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии. Расчет частных коэффициентов корреляции проведем по формулам (24), (25), (26):

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки укак с коэффициентом обновления основных фондов, так и с долей рабочих высокой квалификации (и).Но в то же время межфакторная связьвесьма тесная и превышает тесноту связи су. В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее факторкак малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Наиболее тесно связаны уи:связьуигораздо слабее:а межфакторная зависимостьи выше, чем парнаяуи:. Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор -доля высококвалифицированных рабочих - из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

;;;.

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной зависимости.

Индекс множественной корреляции может быть рассчитан по формуле (22) или через стандартизованные коэффициенты по формуле (23). Определим его, например, по формуле (23):

Индекс множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный.

5. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается по формуле (36) как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, другими словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера, определяемый по формуле (37):

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений F-критерия Фишера.

>

Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения множественной регрессии и показателя тесноты связи .