6.3. Изображение синусоидальных функций временив комплексной форме
При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам. Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:
где с - модуль комплексного числа; φ- аргумент; a - вещественная часть комплексного числа; b - мнимая часть; j - мнимая единица, j = √-1.
С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.
От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:
Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).
Рис.6.3
Умножим
комплексное число на множитель 
.
Радиус - вектор на комплексной
плоскости повернется на угол β.
Множитель 
называется
поворотным.
Если
,
то вектор, умноженный на
,
превратится во вращающийся со скоростьюω
радиус - вектор.
Выражение 
называется
комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению,
получим 
-
комплексную функцию времени для
напряжения.
- комплексная амплитуда напряжения
(исходное положение вектора в комплексной
плоскости). Определим, чему равна мнимая
часть комплексной функции времени для
напряжения.
Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.
Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку. Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.
Пример.
Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.
Амплитуда
результирующего тока 
,
начальная фаза -
.
Мгновенное значение результирующего тока
.
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:
-
закон Ома; (6.4)
- первый закон Кирхгофа;
(6.5)
- второй закон Кирхгофа. (6.6)
6.4. Сопротивление в цепи синусоидального тока
Если
напряжение 
подключить
к сопротивлению R, то через него протекает
ток
(6.7)
Анализ выражения (6.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе. Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид
(6.8)
где
и
- комплексные амплитуды тока и
напряжения.
Комплексному уравнению (6.8)
соответствует векторная диаграмма
(рис. 6.4).
Из
анализа диаграммы следует, что векторы
напряжения и тока совпадают по
направлению.
Сопротивление участка цепи
постоянному току называется омическим,
а сопротивление того же участка
переменному току - активным сопротивлением.
Рис.6.4 Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.