Расчет стержней и стержневых систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА – КАИ

Аристова Н.С., Булашов Д.А., Одиноков А.Ю., Просвиряков Е.Ю., Савинов В.И.

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Учебное пособие

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим КНИТУ-КАИ им. А.Н.Туполева

Казань 2013

2

УДК 620.10(077)

Аристова Н.С., Булашов Д.А., Одиноков А.Ю., Просвиряков Е.Ю., Савинов В.И. Расчет стержней и стержневых систем. Учебное пособие. КНИТУ им. А.Н. Туполева – КАИ, 2011. 191 с.

Предназначено для студентов, выполняющих расчетно-графические работы по сопротивлению материалов в техническом университете, и должно свести к минимуму необходимость обращение к другим источникам. В нем содержатся краткие теоретические сведения, помогающие вспомнить материал лекционного курса, примеры решения типовых задач, сборники заданий и необходимые справочные материалы.

Рассмотрены задачи построения эпюр для стержней и плоских рам, задачи расчета на прочность и жесткость стержней при растяжении-сжатии и плоском поперечном изгибе, задачи вычисления геометрических характеристик поперечных сечений, задачи расчета статически неопределимых стержневых конструкций методом сил, а также задачи расчета стержней на сложные деформации: внецентренное растяжение-сжатие, косой изгиб и изгиб с кручением.

Для проведения сложных расчетов приведены примеры использования свободно распространяемой системы компьютерной алгебры Maxima.

Рецензенты: кафедра теоретической механики (Казанского Приволжский) федеральный университет);

докт. физ.-мат. наук, проф. Р.А. Каюмов (Казан. гос. архитектурно-строительный университет)

3

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов является одной из первых инженерных дисциплин, изучаемой студентами в технических университетах, и одной из дисциплин, представляющих собой основу подготовки инженера-механика. Этот факт подчеркивает важность овладения теоретическими и практическими умениями и навыками в этой науке, формирующими профессиональные компетенции. Одна из основных задач образования состоит в том, чтобы студенты могли переносить и использовать, на первый взгляд, совершенно ясные им теоретические сведения в более многогранные, а потому менее понятные практические задачи. Это обстоятельство связано с неизбежным разрывом между теорией и практикой, который должен быть ликвидирован аудиторной и самостоятельной работой студентов. Данное учебное пособие предназначено для того, чтобы помочь студентам понять материал аудиторных занятий и выполнить домашние задания, представленные в виде расчетно-графических работ.

Пособие состоит из четырех разделов Первый посвящен построению эпюр внутренних силовых факторов для простейших стержней и стержневых систем.

Во втором разделе рассмотрены основные задачи, связанные с расчетом на прочность статически определимых стержневых элементов конструкций: расчет стержней на растяжение и сжатие; изучение геометрических характеристик плоских сечений, начала прочностного анализа балок.

Втретьем разделе продемонстрированы простейшие способы расчета статически неопределимых стержневых конструкций. Для анализа статически неопределимых рам используется метод сил.

Взаключительном, четвертом, разделе проиллюстрированы методики расчета и прочностного анализа стержневых систем, испытывающих сложные деформации: косой изгиб, внецентренное растяжение и сжатие, а также изгиб с кручением.

При составлении учебного пособия был использован опыт применения свободно распространяемой системы компьютерной алгебры Maxima для проведения трудоемких и однообразных расчетов. Приведены решения задач в этой среде для второго и третьего разделов. Отметим, что материал второго раздела (плоский изгиб балок) и последующих разделов опирается на навыки, приобретенные при решении задач из первого раздела, поэтому указания для построения диалога с интерпретатором Maxima можно использовать и для построения эпюр внутренних силовых факторов. Иными словами, построение эпюр для задач из первой части можно провести, изучив компьютерный способ построения эпюр для изгиба балок из второго раздела.

4

1.ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

1.1.Общие теоретические положения построения эпюр внутренних сило-

вых факторов в стержнях

В настоящем учебном пособии рассматривается построение эпюр внутренних силовых факторов (ВСФ) в стержнях (брусьях), для которых действующие на них внешние силы лежат в одной плоскости (плоскости чертежа), а внешние моменты вращают стержень относительно оси, перпендикулярной этой плоскости.

Считаются справедливыми традиционные допущения, принятые в механике деформирования линейно-упругих тел [1-2], в том числе и гипотеза о малости перемещений и деформаций, которая позволяет при определении сил рассматривать равновесие деформируемой конструкции и ее частей в недеформированном состоянии. Кроме того, учет данной гипотезы позволяет, при соответствующем выборе системы координат, разделить задачи о растяжениисжатии и об изгибе стержней, а общее напряженно-деформированное состояние может быть найдено в соответствии с принципом суперпозиции простым сложением полученных решений.

Пока предполагается, что стержень имеет необходимое и достаточное число опор, обеспечивающих ее неподвижность в пространстве (плоскости чер- тежа), что позволяет определить ВСФ в любом сечении стержня с помощью только уравнений статики (уравнений равновесия). Такие стержни называются статически определимыми.

За ось стержня принимается линия, проходящая через центры тяжестей ее поперечных сечений.

Условимся относить стержень к правой системе декартовых координат xyz (рис. 1.1.а), начало которой совмещено с ее левым торцевым сечением, а ось x направлена вдоль оси стержня и проходит через центры тяжести поперечных сечений, которые считаются лежащими на одной прямой. Плоскость x0y совпадает с плоскостью чертежа. В дальнейшем рассматривается преимущественно задачи для плоскости x0y. Полагаем, что балка, изображенная на рис. 1.1.а нагружена сосредоточенной силой P, сосредоточенными моментами M1, M2 и

распределенной внешней нагрузкой q. Как известно, балками называются стержни, работающие на изгиб.

Отделим балку от опор, действие которых на нее заменим реактивными усилиями RA , H A и H A (рис. 1.1,б). В силу того, что исходное состояние балки

является равновесным, для определения опорных реакций используются урав-

5

нения плоского равновесия для абсолютно твердого (жесткого) тела (после вы-

числения опорных реакций необходимо выполнить проверку правильности их определения). Заметим, что при отсутствии активных горизонтальных сил опорная реакция H A =0.

Таким образом, действующая на балку система внешних сил и моментов является известной, а балка при этом находится в равновесии.

От внешней нагрузки между материальными точками внутри балки возникают дополнительные силы взаимодействия. Будут они и между точками двух сторон любого из поперечных сечений

Рис. 1.1

Рис. 1.2

торов Q

6

балки. Например, поперечного сечения, проведенного в точке оси X с координатой x, (рис. 1.1). Силы Si , возникающие в этом сечении, изображены на рис.1.2. Приводя систему сил Si методами теоретической механики к центру тяжести поперечного сечения (точке, через которую проходит ось стержня), получим главный вектор Q (Q ) и главный момент M (M ). Звездочкой обозначены величины, приложенные к правой стороне сечения. (Следует заметить, что для плоского изгиба балки, изображенной на рис. 1.1, главный момент M перпендикулярен плоскости x0y, а главный вектор Q лежит в ней, на рис. 1.2 представлен более общий случай, который рассмотрен в работе [1]). В соответствии с законом Ньютона о действии и противодействии усилия, приложенные к левой стороне сечения, численно равны усилиям, приложенным к правой стороне сечения, но противоположно направлены, т.е. в векторной форме справедливы равенства:

		= −		,		= −		* .	(1.1)
	Q		Q		M		M

Проекции (составляющие) главного вектора Q и главного момента M на оси x, y, z представляют собой c точностью до знака внутренние силовые факторы в поперечных сечениях балки. В плоской задаче только три проекции векторов Q и M отличны от нуля. Это две составляющие главного вектора Q силы по осям x и y, которые обозначим Qx (x) и Qy (x) и одна составляющая главного момента M z (x). В плоских задачах эти величины будем еще для краткости обозначать соответственно N(x), Q(x), M(x), опуская индексы, указывающие ось. Каждая из величин N(x), Q(x) и M(x) в общем случае может изменяться от сечения к сечению. Это подчеркивается тем, что в круглых скобках указывается функциональная зависимость от координаты x.

Аналогично самим векторам, составляющие векторов Q и M правой стороны сечения также численно равны соответствующим составляющим век-

и M , но противоположно им направлены (рис. 1.3).

Рис. 1.3

7

Внутренние силовые факторы N(x), Q(x) и M(x) могут быть найдены из условия равновесия левой части стержня, а равные им величины N (x), Q (x) и M (x) – из условия равновесия правой части. Действительно, на плоскости имеем три независимых условия равновесия и по три неизвестных величины входят в нагрузку каждой из частей. В рассматриваемом случае, когда отсутствуют внешние силы, действующие вдоль оси балки (рис. 1.1), N (x) ≡ 0 , что следует из уравнения равновесия для проекций всех внешних сил на ось x:

k

åPxi = 0 = N(x), откуда N(x) ≡ 0 .

i=1

Нетрудно видеть, что в сумму проекций всех сил на ось y войдет для каждой из частей балки только одна неизвестная сила в сечении – Q(x) (или Q (x), если рассматривается равновесие правой части балки), которая может быть легко найдена из этого уравнения

n		n-1
åPyi	= 0	= åYi − Q(x) .
i=1		i=1
n-1
Расписав сумму сил åYi ,		приложенных к левой	части балки
i =1
(см. рис. 1.3), получим
RA + P + q(x − b) − Q(x) = 0			(1.2)

откуда следует, что

Q(x) = RA + P + q(x − b) .

Составим далее для левой части балки уравнение равновесия для моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку X (рис. 1.3), в которой ось балки пересекает рассматриваемое сечение. Учитывая силовые факторы, приложенные к балке слева от сечения, получим

уравнение, содержащее лишь одну неизвестную величину M(x) (или M (x), если рассматривается правая часть)

m	m-1
åM X j = 0	= åM X j + M (x) .
j =1	j =1

Положительным, как и в курсе теоретической механики, при составлении уравнений равновесия в плоской задаче считаем момент, вращающий выделенную часть балки против часовой стрелки. Тогда, расписав для левой части балки, изображенной на рис. 1.3, сумму моментов внешних сил, получим уравнение

8

− R		x − P(x − a) - M1			− q(x - b)	x - b	+ M (x) = 0,				(1.3)
	A
					2
из которого следует, что
		M (x) = R		x + P(x − a) + M1				+ q	(x - b)2	.
			A						2

Заметим еще, что для отыскания внутренних силовых факторов использованы именно эти три уравнения равновесия (т.е. сумма проекций сил на ось стержня, на перпендикуляр к оси и сумма моментов относительно точки X оси), поскольку в каждое из них вошла только одна неизвестная величина внутреннего силового фактора в

		сечении.
	Рис. 1.4	Нетрудно видеть, что оп-
		ределение внутренних силовых фак-

торов в сечениях в принципе ничем не отличается от нахождения опорных реакций для той же балки, но имеющей защемление в рассматриваемом сечении (рис. 1.4). Это и понятно. Ведь любая часть балки является, по сути, опорой, аналогичной защемлению, для остальной ее части.

Но все же задача определения внутренних силовых факторов в поперечном сечении несколько сложнее задачи определения опорных реакций.

Одна из сложностей заключается в том, что из равновесия левой части стержня определяются силовые факторы N(x), Q(x) и M(x), а из равновесия правой части – противоположно им направленные N*(x) , Q*(x) и M (рис. 1.3). Таким образом, в задаче в данном случае существуют три пары величин, отличающихся только знаком (направлением). Для того чтобы сделать задачу определения внутренних силовых факторов однозначной, в качестве искомых величин принимают только силы и моменты, действующие с правой части стержня на левую: N(x), Q(x), M(x), которые называют внутренними силовыми факто-

рами в сечении. Выбирают именно эти величины, а не парные им, поскольку они действуют на площадке, из которой ось x исходит. Это положительная площадка.

Величина N(x) носит название внутренней осевой силы, Q(x) – внутрен-

ней перерезывающей силы, M(x) – внутреннего изгибающего момента (назва-

ние факторов соответствует воздействию, которое оказывает каждый из них на балку). Положительное направление N(x), Q(x), M(x), действующих с правой отсеченной части стержня на левую, может быть, вообще говоря, выбрано произвольно. В сопротивлении материалов их положительные направления принято

Рис. 1.6

Рис. 1.5

9

брать такими, как они показаны для левой части рис. 1.3.

Для того чтобы из равновесия правой части стержня получить те же значения внутренних силовых факторов, что и найденные из равновесия ее левой части, следует, очевидно, в качестве положительных величин для правой части принять величины, направленные противоположно N(x), Q(x), M(x). Получается, что положительные направления при рассмотрении равновесия правой части следует принимать такими, как N*(x) , Q*(x) и M на рис. 1.3. Это позволяет автоматически учесть знак минус в формулах (1, стр. 6).

Таким образом, составляя уравнения равновесия для отыскания ВСФ,

следует эти неизвестные силовые факторы изображать в положительном направлении, причем эти направления для левой и правой части стержня про- тивоположны (рис. 1.5). Рис. 1.5 представляет собой правило знаков сопротив- ления материалов для ВСФ плоской задачи.

Словами это правило формулируется следующим образом: осевые силы положительны, если они вызывают растяжение стержня (направлены от се- чения), перерезывающие силы положительны, если они направлены по часовой стрелке относительно рассматриваемой части стержня, а изгибающие мо- менты положительны, если они сжимают ее верхние волокна, т.е. часть, рас- положенную в первой полуплоскости (положительной четверти) системы ко- ординат (рис. 1.5).

Вполне очевидно, что использованные нами понятия: левая и правая часть стержня, верхние и нижние волокна имеют смысл только после задания для стержня соответствующей системы координат. Напомним, что начало правой системы координат по умолчанию расположено на левом торце стержня, ось x направлена слева направо,

направление второй оси y в правой системе координат получается поворотом на 90° против часовой стрелки

Если стержень отнести к правой системе координат с началом в правом торцевом сечении (рис. 1.6), то, конечно, "верхние волокна" стержня будут располагаться снизу и тогда положительными будут моменты, изображенные на рис. 1.6. Но для балки такое расположение системы координат принимается редко.

Приведенные рассуждения, позволяющие определить внутренние силовые факторы в произ-

10

вольном сечении стержня, называют методом сечений. Кратко эти рассуждения можно сформулировать в виде следующего алгоритма.

1.Разрезаем мысленно стержень поперечным сечением в точке оси, где хотим определить внутренние силовые факторы.

2.Отбрасываем одну из частей стержня. Лучше отбрасывать ту ее часть, к которой приложено больше силовых факторов. Важно, однако, чтобы все внешние силовые факторы, в том числе и опорные реакции, действующие на остающуюся часть стержня, были известными.

3.Заменяем действие отброшенной части стержня на остающуюся неизвестными внутренними силовыми факторами (силами и моментами), которые прикладываем в выбранном сечении в положительном направлении в соответствии с принятым для ВСФ правилом знаков сопротивления материалов.

4.Записываем для выделенной части стержня уравнения равновесия, из которых находим внутренние силовые факторы в сечении.

Для облегчения запоминания пунктов метода сечений его называют мето-

дом РОЗУ по первым буквам слов: разрезаем, отбрасываем, заменяем, уравне-

ния. Говорят: "Применим РОЗУ".

Заметим, что силы и моменты между поперечными сечениями рассчитываемого стержня (или балки) в сопротивлении материалов всегда называем внутренними, хотя, конечно, для рассматриваемой части стержня они с точки зрения теоретической механики являются внешними. Кроме того, укажем, что при нахождении ВСФ применяются, таким образом, два правила знаков. Одно обязательное правило знаков сопротивления материалов для ВСФ. Второе необязательное в данном случае правило знаков теоретической механики, согласно которому при записи уравнений равновесия (например, уравнений (1.2) и (1.3)) составляющие в сторону соответствующей оси берутся со знаком плюс, а противоположно оси – со знаком минус, момент против часовой стрелки принимается со знаком плюс, по часовой – со знаком минус.

В практических расчетах часто бывает необходимо знать ВСФ во всех сечениях, в этом заключается еще одна сложность определения ВСФ. Казалось бы, что эта трудность легко преодолевается введением в уравнение переменного параметра – координаты x, что дает возможность записать искомые величины как функции координаты x. Но оказывается, что при наличии сосредоточенных сил затруднительно представить соответствующие функции N(x), Q(x) и M(x) в виде одного выражения сразу для всего стержня. Это приходится делать для отдельных его участков.

Эти функциональные зависимости принято изображать в виде графиков, построенных непосредственно на оси стержня и называемых эпюрами. Эпюры