Сопротивление материалов (Лекция 3)

Лекция №3

Продольные и поперечные деформации бруса

При растяжении брус удлиняется в направлении растяжения и сужается в поперечных направлениях (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Деформация бруса при растяжении

Величина l l1 l0 , гдеl1 , l0 – длины стержня в деформированном и не деформированном состоянии, называется полным или абсолютным удлинением. А отношение l к первоначальной длине бруса l0

xx l1 l0 l0 l0l ,

называется относительным удлинением или линейной деформацией в направлении оси x . xx – величина безразмерная.

Величина a a1 a0 , гдеa1 , a0	– ширина стержня в	деформированном
и не деформированном состоянии,	называется полным	или абсолютным

сжатием. А отношение a к первоначальной ширине бруса a0

yy a1 a0 a , a0 a0

называется относительным сжатием или линейной деформацией в направлении оси y . Аналогично можно определить и zz .

В данном случае деформация xx – продольная, а yy и zz поперечные

деформации.

Для изотропного материала, у которого свойства во всех направлениях

19

одинаковы (сталь, каучук), одинаковы и поперечные деформации.

yy zz .

Коэффициент Пуассона
Отношение поперечной деформации к продольной взятое по
абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона
		yy					zz		.
		xx				xx

Итак, коэффициент Пуассона характеризует при одноосном растяжении материала его деформацию в поперечном направлении. С учетом знака деформаций

yy zz xx .

для изотропных материалов лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук). Для стали 0,25 0,33. Коэффициент не может быть отрицательной величиной, так как при 0 поперечные размеры бруса в случае растяжения должны увеличиваться, что противоречит опыту.

Напряжения при соосном растяжении и сжатии

Как говорилось выше, при растяжении в поперечном сечении возникает лишь внутренняя продольная сила N , которая равна

N xx dS .

S

Опыт на растяжение показывает, что все точки бруса, которые до деформации находились в одной плоскости, и после деформации находятся в одной плоскости, или, иначе, сечение плоское до деформации остается плоским и после деформации. Поэтому можно считать, что все точки сечения переместились на одинаковую величину и распределение внутренних нормальных сил по сечению равномерное. Тогда напряжение в каждой точке сечения величина постоянная (рис. 3.2).

20

Рис. 3.2. Распределение напряжений по сечению при растяжении бруса Поэтому, принимая в уравнении xx const и проинтегрировав по

сечению, получим, что при растяжении

NS .

Из формулы видно, что напряжения не зависят от материала, а зависят лишь от нагрузки на брус и размеров его сечения.

Те же рассуждения можно провести и для случая сжатия, получив формулу для напряжения, но знак внутренний силы измениться на отрицательный. При сжатии считается, что напряжения отрицательны.

Напряжения на наклонной плоскости при соосном растяжении и сжатии

Определим нормальные и касательные напряжения в сечении, нормаль к которому составляет с осью бруса угол (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Распределение напряжений по наклонному сечению при растяжении бруса

Площадь этого прямоугольного сечения

S cosa b cosS ,

где a , b и S – высота, ширина и площадь поперечного сечения

21

соответственно.

При растяжении бруса наклонные сечения, как и поперечные, остаются плоскими и параллельными. Поэтому полное напряжение в наклонном сечении

	K	N		N cos cos ,
		S
				S

где – нормальное напряжение в поперечном сечении, проходящем через ту же точку оси бруса, что и рассматриваемое наклонное.

Нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении

K cos cos2 ,

K sin sin cos 2 sin 2 .

Максимальных значений нормальные напряжения достигают при

0 ( cos2 1), а касательные напряжения максимальны при 45

(sin 2 1)

max ,

max 2 .

Впродольном сечении ( 90 ) при растяжении и сжатии напряжения отсутствуют (равны нулю).

Закон Гука при растяжении и сжатии. Модуль упругости первого

рода

Английский ученый Р. Гук в 1660 г. экспериментально установил, что для большинства материалов до определенного значения растягивающих и сжимающих брус сил напряжения прямо пропорциональны деформациям:

E .

Эта зависимость называется законом Гука при одноосном растяжении. Коэффициент пропорциональности E материала называется модулем

упругости первого рода или модулем упругости при растяжении. Зависит

22

лишь от свойств материала детали (характеристика материала). Размерность в системе СИ, как и у напряжения паскаль (Па = Н/м2).

Модули упругости углеродистых и легированных сталей

(2...2,2)·105 МПа, а марок дюралюминия (0,7...0,8 )·105 МПа.

Из формулы видно, что чем больше модуль, тем меньше деформации, то есть тем жестче материал.

Получим уравнение для абсолютного удлинения стержня при заданной нагрузке и материале. Предположим, что внутренние усилия N в детали и ее размеры постоянны по длине и перепишем закон Гука

N .

E ES

С учетом того, что

l l

l ENlS .

Для стержня переменного (ступенчатого) сечения удлинение определяется по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:

l n Nili .

i 1 ESi

Произведение ES называется жесткостью на растяжение и сжатие.

Диаграмма деформирования

При расчетах на прочность необходимо знать допускаемые напряжения, которые способна выдержать деталь. Допускаемые напряжения получают в результате лабораторных испытаний материалов. Для этого строят диаграмму деформирования в осях напряжений и относительных деформаций – график зависимости между напряжениями и относительными деформациями . Например на рис. 3.4 приведена диаграмма деформирования малоуглеродистой стали (диаграмма удлинения

23

при растяжении). Образец – деталь с круглым сечением. Такую деталь нагружают растягивающей силой.

Рис. 3.4. Диаграмма деформирования малоуглеродистой стали У этой диаграммы есть характерные точки и участки.

На участке OA материал деформируется по линейной зависимости (выполняется закон Гука) и ведет себя упруго, т.е. если убрать нагрузку, то образец вернется в исходное состояние. Точка A называется пределом пропорциональности пц – наибольшее напряжение, до которого деформации пропорциональны напряжениям.

Модуль упругости E можно определить с помощью участка OA из закона Гука

E tg .

На участке AB материал деформируется уже не по линейной зависимости, но ведет себя упруго. Точка B называется пределом упругостиу – напряжение, до которого материал не получает остаточных

(необратимых) деформаций.

За точкой B появляются остаточные деформации, а по участку CC' материал течет. Точка C называется пределом текучести т – напряжение, при котором деформации растут без заметного увеличения нагрузки.

За пределом текучести на участке C' D у образца появляется шейка (утонение), и дальнейшее деформирование (за участком C' D) приводит к

24

разрушению (разрыву) образца в точке E диаграммы. Точка D называется пределом прочности (временным сопротивлением разрыву) в – максимальное напряжение, выдерживаемое материалом при растяжении.

Предел текучести т и предел прочности в – это предельные (опасные) с точки зрения работоспособности детали, напряжения. Именно эти напряжения и можно использовать в расчетах на прочность.

Рассмотренная диаграмма характерна для всех пластичных материалов, но в технике применяются и хрупкие материалы, у которых отсутствует участок BC' и нет площадки текучести. Изучить диаграмму хрупких материалов самостоятельно.

Стоит также отметить, что легированные стали и сплавы алюминия обладают пластическими свойствами, но площадки текучести CC' не имеют.

Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Запас прочности

Чтобы оценить прочность детали, надо сравнить наибольшие напряжения max , возникающие в ней при заданной нагрузке, с

предельными напряжениями пред , например, в , т для материала, из которого эта деталь сделана.

Если максимальные напряжения max окажутся меньше предельных

пред , то деталь выдержит приложенную нагрузку. В противном деталь

разрушится, или в ней начнется недопустимый физический процесс, например течение материала. То есть при растяжении необходимо проверить условие (если принять предельные напряжения за допускаемые пред )

р р ,

где р – допускаемое напряжение растяжения. Для стальных деталей его принимают равным т .

Запас прочности n детали – количественная оценка резерва прочности. Это число, показывающее, во сколько раз предельные

25

напряжения для материала пред, больше максимальных напряжений max

возникающих в детали при заданной нагрузке. Если принять пред .

n .

max

Очевидно, запас прочности должен быть больше единицы и будет уменьшаться по мере возрастания нагрузки.

Величины запасов прочности колеблются в широких пределах и назначаются самостоятельно для учета возможных перегрузок деталей, некачественного материала и не точностей в расчете. В машиностроении их принимают 2 ... 4 для пластичных материалов и 4 ... 6 для хрупких. Запас прочности не должен быть слишком большим иначе конструкция получится тяжелой и неэкономичной. В авиационной технике, где важна наименьшая масса деталей, запас прочности 1,8 ... 2.

26