Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона
Спектр дискретного сигнала представляет собой сумму сдвинутых копий спектров аналогового сигнала с шагом сдвига, равным частоте дискретизации. Если спектры не перекрываются, то по центральной копии можно точно восстановить исходный сигнал. Покажем это. Имеем фуры обратной дискретной функции:
Умножим на :
Получим непрерывный спектр в пределах, равный в пределах главного частотного диапазона.
Обратное преобразование Ф такого спектра должно давать конечный и непрерывный сигнал: имеем произведение функций.
Заметим, что:
Тогда:
Следовательно, получен интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Из формулы следует, что если наибольшая частота в спектре аналогового сигнала не превышает частоты его дискретизации, то он без потери точности может быть восстановлен посредством ряда Котельникова-Шеннона.
По сути, система образует ортогональный базис пространства . Ряд числовых значений интегрального синуса для дискретных значений при суммировании по дает гребневую функцию.
Однако, в отличие от , в интервалах между отсчетами, имеет не нулевые, а осциллирующие значения, суперпозиция которых дает восстановленное значение сигнала.
Запись ряда Котельникова-Шеннона относительно , где спектр сигнала :
Другие записи ряда К-Ф:
Представление рядом Котельникова-Шеннона является частным случаем разложения
где роль выполняют отсчеты , а функции отсчетов:
Вывод: Сигнал с ограниченным спектром с шириной полосы полностью определяется точками отсчета, отстоящими во времени на интервале:
Если сигнал известен на и спектр , то по ряду Котельникова-Шеннона определить весь сигнал нельзя, хотя в точках отсчета ошибки не будет.
Аналогично, может быть рассмотрена задача дискретизации спектра заданного на финитного сигнала.
При дискретизации спектра с шагом
динамические представления сигнала становятся периодическими с периодом . Для восстановленного сигнала (точного) в пределах главного периода частотный шаг должен удовлетворять условию:
Дискретные преобразования сигналов
Дискретное преобразование Ф
Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретно преобразованными сигналами и реализует дискретные алгоритмы. Математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов, но имеет существенные отличия, не учет которых может приводить к значительным ошибкам.
Дискретное преобразование Ф может быть получено непосредственно из интегральных преобразований Ф заменой интеграла на интегральные суммы.
приводит к периодизации ее спектра.
приводит к периодизации функции времени.
Надо иметь в виду, что
есть дискретизация непрерывного спектра дискретной функции ,
- дискретизация непрерывной функции .
И при восстановлении непрерывных функций и по дискретным значениям (отсчетам) соответствия и гарантированы только при выполнении условий теоремы Котельникова-Шеннона.
Для дискретных преобразований
и функция и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах (на ) и (на ), где – количество отсчетов, при этом:
Выше приведенные условия являются условиями информационной равноценности динамических и частотных форм представления дискретных сигналов.
Другими словами, число отсчетов функции и спектра функции этой должны быть одинаковыми.
При реализации обработки массивов отсчетов часто принимают , а преобразование Ф выполняют по (номер шага по частоте) на главных периодах.
Для четных :
Для нечетных границы главного периода по частоте ( ) устанавливаются равными 1. и – ДПФ - дискретные преобразования Ф.
В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов ( ) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Ф, главный период спектра принимается в интервале , т.е. ( ), а суммируется производная от 0 до .
Для ДПФ справедливы все свойства интегральных преобразований Ф, но следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Так произведению дискретных спектров будет соответствовать свертка периодезированых функций во времени и наоборот. Такая свертка называется циклической.
БПФ. При вычислении ПФ среди множителей (sin и cos) есть много периодически повторяющихся значений. Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, что значит уменьшение числа операций.
Пример 2.
Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ)
Дискретное преобразование Лапласа получается из интегрального преобразования путем дискретизации аргументов
где – комплексная частота,
При преобразование Лапласа превращается в односторонне преобразование Ф, а для каузальных сигналов – в полное преобразование Ф.
За счет выбора сигнал всегда можно сделать затухающим, конечным по энергии, что и требуется для существования его Ф-образа.
Z-преобразование сигналов
Z - преобразование сигналов играет для дискретных сигналов ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных сигналов.
Смысл:
отсчеты ставится в соответствие степенной полином:
где - произвольная комплексная переменная. – -образ или изображение .
Преобразование имеет смысл для тех значений , для которых ряд сходится, т.е. сума не имеет полюсов и особых точек.
Пример:
Возможна запись , что тоже самое??? пределы . Смысл величины в полиноме в том, что она является оператором сдвига (единичной задержки) по координатам функции.
Умножение Z-образа на означает задержку сигнала на интервалов.
-образы с положительными степенями соответствуют каузальным сигналам. Однако при обработке массива значений сигналов на ЭВМ каузальность не есть ограничение, т.к. возможно использование отрицательных степеней , что будет означать использование будущих значений в массиве.
Примеры Z-преобразований.
Импульсы Кронекера
В нулевой точке ( ) .
Функция Хевисайда (единичный скачок)
Связь Z-преобразований с преобразованиями Ф и Л
Запишем дискретный сигнал в виде:
Определим спектр по теореме запаздывания:
Выполним замену переменных:
тогда:
Т.е. ДПФ есть частный случай Z-преобразования при . Аналогично, подстановкой:
может осуществляться переход к ДП Лапласа. Т.е. имеем пары.
Прямое преобразование:
при
при
Обратное преобразование:
при
при
Свойства Z-преобразований
Все свойства ДПФ действительны для Z-преобразований.
Линейность
Если , то
Задержка на n тактов:
Действительны (для Z-преобразований) все теоремы о свертках.