- •Кафедра высшей математики
- •Операции над матрицами
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.Что такое матрица?
- •Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное следующей сумме:
- •Минором элементаквадратной матрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.
- •Алгебраическим дополнением элементаквадратной матрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
- •Свойства определителей
- •Лекция № 5 - 7
- •Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра
- •Векторы и операции над ними
- •Разность векторов и- это сумма вектораи вектора
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство Скалярным произведением двух векторов иназывается число:
- •Линейные операторы
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Лекция № 10 - 12 Аналитическая геометрия
- •Уравнение прямой
- •Примерные тесты
- •VII. Учебно - методическое обеспечение дисциплины
«Институт экономики, управления и права (г. Казань)»
Кафедра высшей математики
ЛЕКЦИИ
ПО
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Преподаватель: Платонова Татьяна Евгеньевна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики
Зеленодольск - 2014
СОДЕРЖАНИЕ
I. Матрицы и операции над ними……………………………………………… 3
II. Определители и их свойства………………………………………………. 10
III. Системы линейных алгебраических
уравнений…………………………………………………………………...15
IV. Элементы векторной алгебры………………………………… ………….22
V. Аналитическая геометрия…………………………………………………..33
VI. Примерные тесты и практические задания ………………………………37
VII. Учебно-методическое обеспечение ………………………………………43
Лекция №1-2
Матрицы. Основные сведения о матрицах.
План:
Основные понятия и определения
Операции над матрицами
Обратная матрица
Ранг матрицы
Значительную часть математических моделей в экономике можно записать в компактной матричной форме.
Матрица размера mn – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов . Сами числа называются элементами матрицы.
Обозначаются матрицы прописными буквами латинского алфавита: А,В,С,… ,
элементы –соответствующими строчными буквами с индексами-,…, гдеi- номер строки, j-номер столбца:
, или
Например,
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность ( т.е. количество строк и количество столбцов) и одинаковые соответствующие элементы: для любых;.( в дальнейшем вместо слова “любой” будем записывать значок).
Рассмотрим частные виды матриц:
матрица-строка состоит из одной строки, т.е. имеет размерность ;
матрица-столбец состоит из одного столбца, т.е. имеет размерность ;
квадратная матрица n-го порядка имеет одинаковое количество строк и столбцов,т.е. размерность ;
диагональная матрица- это квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, а диагональные элементы не равны нулю,т.е. =0 , если;все элементы,образуютглавную диагональ;
единичная матрица n-го порядка - частный случай диагональной, в которой все диагональные элементы равны единице; обычно единичная матрица обозначается Е или I;
нулевая матрица (нуль-матрица) – это матрица, у которой все элементы равны нулю; такая матрица может быть любого размера.
Операции над матрицами
Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А и числа равно матрице В той же размерности, что и А, каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы А на, т.е.;.
Например,
Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы:
При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.
Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности, для матриц разных размерностей операция не определена.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В размера, элементы которой,;
,т.е. матрицы складываются поэлементно.
Пример:
Вычитание матриц: Определяется через предыдущие операции:
А-В=А+(-1)В
Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено , когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которойравен сумме произведений элементовой строки матрицы А на соответствующие элементыго столбца матрицы В:
;
( Здесь означает суммирование по всем значениям номеровs, изменяющихся от 1 до к включительно).
Пример: вычислить произведение матриц АВ, где
Прежде всего убедимся, что такая операция возможна: и, число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; далее, размерность результирующей матрицы
Вычислим элементы матрицы- произведения:
Свойства операции над матрицами:
А+В = В+А
(А+В)+С= А+(В+С)
(А+В)=
А (В+С)=АВ+АС
(А+В)С=АС+ВС
А(BC)=(AB)C
Эти свойства аналогичны свойствам операций над числами. Однако некоторые свойства отличаются:
если произведение АВ существует, то ВА может не существовать, например, матрица и
если даже АВ и ВА существую, то они могут быть матрицами разных размеров;
Например: ,
таким образом, АВВА
даже если АВ и ВА существуют и являются матрицами одинакового размера , то , вообще говоря, АВВА ( произведение матриц не коммутативно); например:
Частный случай: произведение любой квадратной матрицы А на единичную Е того же порядка коммутативно, т.е. АЕ=ЕА=А;
произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице:
Возведение в степень. Операция определена только для квадратных матриц:
( m сомножителей);
здесь m-целое.
По определению полагают, что ;
;
Транспонирование матрицы. Это переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица- транспонированная относительно А.
Например:
;
Свойства операции транспонирования:
1) ; 2)3)4)