ГД 2004 Пограничный слой 23

Основные понятия теории пограничного слоя

При движении реальной жидкости или газа действие сил вязкости в разных областях течения проявляется неодинаково. Оно наиболее интенсивно там, где изменение скорости по нормали к линиям тока, иначе называемое поперечным градиентом скорости, достаточно велико, и касательные напряжения имеют значительную величину. Такие области существуют вблизи границ обтекаемых твердых поверхностей или границ двух потоков жидкости, движущихся с разными скоростями. Они называются пограничными слоями.

Если поперечные градиенты скорости равны нулю и, к тому же, вторые частные производные от проекций скорости по одноименным координатам также равны нулю ¹, то исчезают «вязкостные члены» νΔw_x, νΔw_y, νΔw_z, ν(1/3)∂(divW)/∂x, ν(1/3)∂(divW)/∂y, ν(1/3)∂(divW)/∂z в уравнениях Навье—Стокса (6.15)², и последние вырожда­ются в уравнения Эйлера (1.27)³.

Уравнения Эйлера описывают движение идеальной жид­кости, следовательно, в той области, где выполняются отмеченные выше условия, течение происходит в соответствии с законом движения идеальной жидкости, несмотря на то, что ν≠0. При отсутствии поперечных градиентов скорости поток является безвихревым (см. формулу (1.6))⁴ или потенциальным. Поэтому данную область называют областью потенциального течения.

Таким образом, при расчете того или иного течения можно всю область разбить на две: пограничный слойипотенциальный поток.Пограничный слойрассчитывается методами теории движения вязкой жидкости, апотенциальное течение—известными методами теории потенциального потока. Это дает значительное упрощение задачи.

На рисунке 115показана схема образования пограничного слоя при обтеканииплоской стенки. Здесь цифрой1обозначена областьпограничного слоя, цифрой2 — областьвнешнегопотенциального потока,3—внешняя граница пограничного слоя(внутренней границей является сама твердая стенка). Многочисленные опыты показывают, чтоскорость частиц жидкости относительно обтекаемого твердого телана самой стенкеравна нулю⁵, а по мере удаления от последней очень быстро нарастает, приближаясь кскорости внешнего потока w₀ . Толщина пограничного слояв носовой точке тела равна нулю и по длине обтекаемой поверхностипостепеннонарастает.

В условиях внутренней задачи, например, в трубах или каналах, формирование пограничного слоя имеет некоторыеособенности. Схема такого течения приведена нарисунке 116. Пограничные слои, образующиеся на противоположных стенках, утолщаясь по длине трубы, в конце концов, смыкаются. Таким образом, структура потока по длине трубы получается различной. На начальном или разгонном участкеℓ_рпоток состоит из пограничного слоя1и ядра2.В пограничном слое скорость меняется nо нормали к стенке, в ядре — она постоянна (см. эпюру скорости на рисунке 116). После смыкания пограничных слоев ядро исчезает, и эпюра скорости приобретает параболическую форму. Длина разгонного участка в трубах составляет150—300диаметров приламинарном течениии30—50 диаметров — притурбулентном.

Пограничный слой возникает также на границах струи, вытекающей из насадка в неподвижную жидкость, при слиянии двух струй, движущихся с разными скоростями, а также за точками разветвления разветвленных скачков уплотнения, например, при маховском отражении или при взаимном пересечении косых скачков, за которыми в идеальном газе должны были бы получиться линии тангенциального разрыва.

В рассмотренных примерах толщина пограничного слоя принималась как такое расстояние от стенки, на протяжении которого скорость меняется от нуля до скорости во внешнем потоке w₀ или в ядре потока. Наиболее просто толщина пограничного слоя определяется в трубе, в зоне4(см. рисунок 116). Здесь она равна радиусу трубы. Если рассмотреть эпюру скоростей, снятую при внешнем обтекании тела, то очень легко можно убедиться в том, что определить четко внешнюю границу пограничного слоя невозможно. Теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что процесс приближения скоростиw к скорости внешнего потокаw₀ является асимптотическим, т.е. равенствоw=w₀наступает лишь на бесконечном расстоянии от стенки. Однако уже на сравнительно малых расстояниях от стенки разностьw₀—wвесьма мала по сравнению сw₀ .Поэтому для четкого определения границы пограничного слоя вводят такую условность: границу проводят там, где местная скорость отличается от скоростиw₀ на 1 % (см.рисунок 117). Тогда толщиной пограничного слояδ следует назвать такое расстояние от стенки, отсчитанное по нормали, на котором скорость потока составляет 99% от скорости внешнего течения т.е.

(6.38)

Движение жидкости в пограничном слое являетсявихревым. В этом легко убедиться, применивтеорему Стоксаоциркуляции скорости⁶:

Г = 2_σ∫ ω_n dσ.

к произвольному замкнутому контуру, например 1234, выделенному внутри пограничного слоя (см.рисунок 117). Здесь циркуляция по выделенному контуру в целом не равна нулю:Г₁₂₃₄= Г₁₂ + Г₂₃ + Г₃₄ + Г₄₁ > 0, так какГ₁₂ = Г₃₄ = 0 (участки контуров1—2 и3—4перпендикулярны скорости),Г₄₁ = 0(скорость на стенке равна нулю), аГ₂₃ = w_23∙ℓ₂₃ > 0. Следовательно,ω_n>0.Заметим, что вращение частиц жидкости получилось в том же направлении, что и выбранное направление обхода контура, т.е. по направлению к стенке. Этим объясняется тот факт, что вращение в водоворотах, образующихся, например, при обтекании кормы катера, или в пылевых вихрях — при обтекании кузова автомобиля, всегда направлено внутрь — в сторону обтекаемого тела, но не наружу.

Линии тока в пограничном слое очень слабо наклонены относительно обтекаемой стенки, и составляющие скорости по нормали к стенке, а, следовательно, и количества движения в этом направлении, весьма малы. Поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что изменение давления поперек пограничного слоя ничтожно мало, т.е.∂p/∂y ≈0. Это условие хорошо подтверждается экспериментом.

Сопротивление, которое оказывает твердая стенка движению потока — сопротивление трения— определяетсяпотерей количества движенияжидкости. Потеря количества движения наблюдается в пограничном слое, где действие сил вязкости проявляется наиболее интенсивно. Поэтому в расчетах принимают, что все гидравлические потери сконцентрированы в пограничном слое. За его пределами потери отсутствуют, т.е. жидкость движется как идеальная. Поскольку статическое давление поперек пограничного слоя постоянно, а скорость по мере приближения к стенке уменьшается до нуля, то давление торможения переменно по сечению: у стенкир*=р, а на внешней границер*достигает тои величины, которую оно имеет во внешнем потоке.

Распределение температур в пограничном слое зависит от того, каковы направление и интенсивность теплообмена между стенкой и газом. Наиболее простым является случай, когда обтекаемая твердая поверхность теплоизолирована, т.е. теплообмен между стенкой и газом отсутствует. В этом случае тепло, выделяющееся внутри пограничного слоя вследствие вязкой диссипации(внутреннего трения), нагревает газ, следовательно, образуется градиент температуры, направленный от внешнего потока к стенке. Так как газ обладает теплопроводностью, то под действием разности температур возникает тепловой поток в пограничном слое, направленный от стенки к внешней границе. Процесс выделения тепла определяется вязкостью газа, процесс теплоотдачи во внешний поток — теплопроводностью. В зависимости от соотношения между этими величинами температура стенки может получиться либо ниже температуры торможения внешнего потока, либо равной ей, либо выше нее.

Нагревание обтекаемого тела в результате торможения газа в пограничном слое называется аэродинамическим нагревом ⁷.

Из уравнения энергии (2.6)⁸, которое с учетом формулы (2.27), может быть записано как

с_p dT* = dQ_e – dL, (6.39)

следует, что изменение температуры торможения в потоке зависит от внешнего теплообмена dQ_е и внешней механической работы dL. Если внутри пограничного слоя выделить элементарный объем (см. рисунок 115), то нетрудно установить, что при своем движении он совершает работу против сил от вязких напряжений τ и τ'. По отношению к элементарному объему эта работа является внешней. В единицу времени она равна

⁹

Отнеся ее к единице массы, т.е. поделив на ρdxdy ·1, получим

(6.40)

Тепло, подведенное к элементарному объему в единицу времени, определится как разность тепловых потоков: входящего снизу qdх и выходящего сверху q'dх ¹⁰

Подведенное тепло, отнесенное к единице массы, будет

(6.41)

Из уравнения (6.39) следует, что если dQ_е=dL, то температура торможения будет постоянная во всем потоке. В противном случае она будет меняться. Рассмотрим условия, при которых Т*=соnst во всем потоке. Приравнивая правые части формул (6.40) и (6.41), получим

или τω – q = const.

Постоянная интегрирования легко определяется из граничных условий: на стенке w=0 и q=0, т.е. Cоnst=0. Выразив здесь касательное напряжение τ по закону трения Ньютона, а удельный тепловой поток по закону теплопроводности Фурье

(6.42)

где λ — коэффициент теплопроводности газа, получим

что можно записать, как

или, приняв C_р=соnst, в таком виде:

или

(6.43)

Из Уравнения (6.43) очевидно, что постоянство температуры торможения поперек пограничного слоя, иначе говоря, ∂Т*/∂у = 0, будет соблюдаться при Pr=1.

Таким образом, при отсутствии теплового потока через стенку и при Pr=1 темпера­тура торможения постоянна во всем потоке: Т*=Т₀*=Т_с*=Т_с=соnst.

Так как Т=Т*– w²/2C_p, то изменение термодинамической температуры Т в пограничном слое связано только с изменением скорости. Следовательно, толщина температурного пограничного слоя равна толщине динамического пограничного слоя.

При Pr<1 температура торможения падает по направлению к стенке, т.е. Т_с<Т₀*, и динамический пограничный слой тоньше температурного. При Pr>1 температура торможения возрастает от внешнего потока к стенке, т.е. Т_с>Т₀*, и динамический пограничный слой тоньше температурного ¹¹.

Если рассмотреть энергоизолированное течение в канале при Pr<1 или Pr>1, то можно установить, что температура торможения в различных сечениях потока неодинакова. Однако, согласно закону сохранения энергии для одномерного потока, она должна оставаться постоянной во всем потоке. Это кажущееся противоречие разрешается просто. Действительно, средняя по сечению температура торможения в энергоизолированном течении остается постоянной по длине всего потока, но внутри каждого поперечного сечения она распределена неравномерно, так как происходит перераспределение энергии между слоями: полный запас энергии одних слоев газа увеличивается за счет других, но в сумме по всему поперечному сечению остается одним и тем же.

Число Pr зависит от физических констант рабочего тела. Для многоатомных газов Pr≈1, для жидких металлов Pr<<1, для масел Pr>>1. Для воздуха, например, среднее значение Pr=0,72. В приближенных расчетах принимают Pr=1, но в тех случаях, когда требуется значительная точность, например при измерении температур потока, следует Pr определять точно.

В разделе «Параметры изоэнтропийного торможения»¹² при рассмотрении метода измерения температур в газовом потоке был введен коэффициент восстановления температуры

(здесь Т_Т=Т_с — температура стенки термометра). Очевидно, что так как для воздуха Pr<1, то и коэффициент восстановления температуры должен получиться меньше единицы. Подробные исследования показывают, что для ламинарного пограничного слоя на стенке

для турбулентного пограничного слоя

В заключение нужно отметить, что большие поперечные градиенты температур наблюдаются только внутри температурного пограничного слоя. За его пределами поток вполне допустимо считать изоэнтропным.