10623

- 190 -

rjj

rij

а)

r

ii

б)

θii=1

rji

δjj=1

2 состояние

1 состояние

Рис. 3.8

Работа первой группы сил на перемещениях второго состояния системы будет равна:

A12 = rii × qij + rji × δjj = rii × 0 + rji × 1 = rji.

Аналогично находим работу второй группы сил на перемещениях первого состояния:

A21 = rij × qii + rjj × δji = rij × 1 + rjj × 0 = rij.

Подставляя полученные выражения в (3.8), получим:

rij = rji .

(3.11)

Таким образом, теорема Релея утверждает, что реакция i-й связи от

единичного смещения j-й связи равна реакции j-й связи от единичного смещения i-й связи.

Примечания

1. Если вместо единичной силы в точке i приложить единичный момент, зависимость (3.10) примет вид:

δij = θij .

Как видим, удельные перемещения dij могут иметь различную размерность. Проще всего ее найти из (3.9), принимая в этом выражении ij за обобщенное перемещение, а Pj - за

обобщенную силу. Тогда [δij] = [			ij ] / [ Pj ] и мы получим:
а) для силы, приложенной в точке j:
–	[δij] = м/Н, если	ij	- линейное перемещение;
–	[δij] = 1/Н, если	ij	- угловое перемещение.
б) для момента, приложенного в точке j:
–	[δij] = м/(Нм) = 1/Н, если ij - линейное перемещение;
–	[δij] = 1/(Нм), если		ij - угловое перемещение.

2. Приведенное доказательство теоремы Релея может показаться неубедительным. В самом деле, мы ссылаемся в нем на теорему Бетти, в которой рассматриваются два состояния одной и той же системы, загруженной различной нагрузкой. Можно ли это утверждать в отношении двух балок, изображенных на рис. 3.8, а и 3.8, б? Ответ на этот вопрос будет положительным, если учесть следующее:

а) принцип освобождаемости от связей справедлив в отношении как СОС, так и СНС;

- 191 -

б) если реакции связей СОС вторичны, то есть появляются только в ответ на действие активных сил и образуют с ними уравновешенную систему, то реакции связей СНС, вызванные кинематическими воздействиями, образуют самоуравновешенную систему сил;

в) напряженно-деформированное состояние заданной СНС, вызванное смещением i-й связи, тождественно НДС в эквивалентной упругой системе, полученной из заданной путем устранения этой i-й связи и загруженной активной силой, равной ее реакции.

Поскольку в нашем примере на рис. 3.8 речь идет о двух связях, для получения одной и той же системы нужно удалить обе. Если при этом число лишних связей заданной СНС будет меньше или равно двум, полученная система будет, очевидно, статически определимой или даже подвижной.

а)									rjj
	rii
							rij
					б)					δ =1
			θ =1

rji

Рис. 3.9

Итак, действительно две балки на рис. 3.8, а и 3.8, б можно рассматривать как два состояния одной и той же системы (рис. 3.9, а, б).

3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы

Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, представленной рамой.

Обозначим через M1, Q1, N1 внутренние силы первого, а через M2, Q2, N2 – внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ2, γ2, ε2 и перемещения u2, v2, θ2 , связанные зависимостями из §1.3:

dN2/dx = – qx;				(1.10′)
dQ2/dx =		qy;
dM2/dx =		Q2 .
κ 2 = dθ2/dx;
γ2	= θ2 –	dv2/dx;		(1.11′)
ε2	= du2/dx .
κ 2	= M2/EJ;
γ2	= μQ2/GF;			(1.12′)
ε2	= N2/EF.

Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).

Вычислим работу внутренних сил M1, Q1, N1 на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):

- 192 -

dA12 = − N1u2 + (N1 + dN1)(u2 + du2) + Q1v2 – ( Q1 + dQ1)(v2 + dv2) − M1θ2 +

+ (M1+ dM1)( θ2+dθ2) +qxdx(u2 + du2/2) + qydx(v2 + dv2/2) = − N1u2 + N1u2 + N1du2 + +{dN1u2}+ dN1du2 + Q1v2 − Q1v2 − Q1dv2 − {dQ1v2} − dQ1dv2 − M1θ2 +M1θ2 + M1dθ2 +

+ {dM1θ2} + dM1

dθ

2 + qxdx(u2+du2/2) + qydx(v2+dv2/2).

(3.12)

а)

qy·dx

б)

θ2+dθ2

qx·dx

θ2

Q1

M1

+ dM1

N1

v2+dv2

v2

N1

+ dN

1

M1

u2+du2

u2

dx

dx

Q1 + dQ1

Рис. 3.10

Пренебрегая в (3.12) подчеркнутыми слагаемыми как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись соотношением (1.10) для членов в фигурных скобках, получим:

dA12 = N1du2 – { Q1dv2} + M1dθ2 – { qx dxu2}+ qx dxu2 + qxdxdu2/2 – { qy dxv2} +

+ qy dxv2 + qydxdu2/2 + Q1dxθ2.

(3.13)

Снова, отбрасывая в последнем выражении подчеркнутые слагаемые как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11′) для второго члена, заключенного в фигурные скобки, будем иметь:

dA12 = N1ε2dx + M1κ2dx – Q1(θ2 – γ2)dx + Q1dxθ2 =
= (M1κ 2 + Q1γ2 + N1ε2)dx.	(3.14)

Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12′), найдем для элемента рамы длиной ds:

dA12 = ( M1M2/EJ + μQ1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.

Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:

W12 = − A12 = − Σ∫ ( M1M2/EJ + μQ1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.

(3.15)

-193 -

3.5.Интеграл Мора-Максвелла

Спомощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i-й точки упругой системы от приложенной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а

второе – возможным или виртуальным.

Pi =1

i'

Рис. 3.11

Обозначим через Dip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.

Пусть Mp, Qp, Np – внутренние усилия первого состояния, а`Mi, `Qi, `Ni – внутренние силы второго состояния.

Воспользовавшись теоремой Бетти:

A12 = A21,

где

A21 = Pi×Dip = 1×Dip = Dip,

а

A12 = – W12,

получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений,

которая называется интегралом Мора-Максвелла:

Dip = S∫ ( Mp`Mi /EJ + mQp`Qi /GF + Np`Ni /EF )ds.

(3.16)

Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:

– построить эпюры Mp, Qp, Np в заданной системе от заданной нагруз-

ки;

-194 -

–построить эпюры `Mi, `Qi, `Ni от единичной силы (единичного мо-

мента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;

– вычислить интеграл (3.16).

Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:

Dip = S∫ ( Mp`Mi /EJ)ds .

(3.17)

Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:

Dip = ∫ (Np`Ni /EF ) ds=S(Npk `Nik /EFk)lk,

(3.18)

где lk и EFk – соответственно длина и продольная жесткость k-го стержня фермы.

Примечания

1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр Mp и`Mi и записывают это в виде: ip = (Mp ×`Mi).

2.При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.

3.При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.

3.6. Формула Верещагина

Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.

Учитывая, что эпюра`Mi от единичного силового фактора является ку- сочно-линейной, можно выбрать промежутки [a,b], где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: `Mi(x) = tga×x. При этом интеграл в (3.17) примет вид:

b	b
	( Mp`Mi /EJ)dx = (tga/EJ) ∫ x× Mp dx.
∫		(3.19)
a	a

- 195 -

Рис. 3.12

Обозначая через w площадь эпюры Mp:

b

w = ∫ dw = ∫ Mp dx ,

ωa

иучитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:

Sy = ∫ xdw = w×xc,

ω

представим (3.19) в виде:

b	x× Mp dx = (tga/EJ) ∫ xdw= (tga/EJ) xc×w = (wyc)/EJ,
(tga/EJ) ∫
a	ω

где yc = tga×xc.

Возвращаясь к формуле (3.17), получим:

Dip = S (wkyck)/(EJk).

(3.20)

Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры – w и умножить ее на ординату yc в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.

Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестан-

- 196 -

дартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.

Рис. 3.13

Примечания

1.При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра Mp с площадью ω предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или большего числа стандартных эпюр.

2.Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегрирования, в том числе – формулу Симпсона:

b

∫ f (x)dx = [ (b – a)/6] {f(a) + 4f [ (a + b)/2] + f(b)},

a

которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до третьей степени включительно.

- 197 -

Таким образом, если на всем промежутке [a,b] эпюра `Mi линейна, а эпюра Mp является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:

Dip=S(lk/6EJk) {Mp(ak)× `Mi(ak) +4 Mp[ (ak +bk)/2]× `Mi[ (ak+bk)/2]+Mp(bk) × `Mi(bk) }. (3.21)

При этом однозначности эпюры Mp на промежутке [a,b] не требуется, а формулу можно, конечно, применять и для линейной функции Mp(x).

3.7. Примеры определения перемещений

Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их продольная жесткость – EF предполагаются известными.

Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).

Рис. 3.14

Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру Mp от заданной

нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру `Mi от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).

Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке [0,l] эпюра Mp является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней требованиям, а эпюра`Mi на всем промежутке [0,l] будет нелинейной. Поэтому область интегрирования делим на два участка: [0, l/2] и [l/2, l], на каждом из которых `Mi(x) будет линейной. С учетом симметрии получим:

vmax = Dip = 2 (w1× yc1)/EJ = 2 [(2/3)×( l/2)×(ql2/8)]×[(5/8)×(l/4)] = 5ql4/384EJ.

·

- 198 -

Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки нужно затратить примерно втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – q0.

Формально воспользовавшись для всего промежутка [0,l] формулой Симпсона (3.21) и учитывая, что значения Mp и`Mi на его концах равны нулю, получим:

vmax = (l/6EJ)×4(ql2/8)×(l/4) = ql4/48EJ.

Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке [0,l] подынтегральная функция f(x) = Mp(x) × `Mi (x) не отвечает требованиям, предъявляемым к ней этой формулой.

Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Г- образной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).

Pв=1

Pг=1	M =1

Рис. 3.15

Решение. Строим эпюру Mp от заданной нагрузки и эпюры`Mi от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б– д).

Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры Mp и`M в:

Dв = (Mp ´`M в) = (1/EJ) w1× y1 + (1/2EJ) w2× y2 = (1/EJ)[(1/3)×l× (ql2/2)]×(3/4)l + + (1/2EJ) [l×(ql2/2)]×l = (3/8)(ql4/EJ).

- 199 -

Находим горизонтальное перемещение точки А:

Dг = (Mp ´`M г) = (1/2EJ) [l×(ql2/2)]×(l/2) = (1/8)(ql4/EJ).

Полное перемещение точки А составит:

___________ __

DА = Ö (Dв)2 + (Dг)2 = (Ö10 ql4)/8EJ.

Угол поворота сечения в точке А будет равен:

qА = (Mp ´`M у) = (1/EJ) w1×1 + + (1/2EJ) w2×1 = (1/EJ)[(1/3)×l× (ql2/2)]×1 + + (1/2EJ) [l×(ql2/2)]×1 = (5ql3/12EJ ). ·

Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями: вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее сжатием.

Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).

Mi =1

Рис. 3.16

Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой Mp от заданной нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюру`Mi от единичного момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра Mp представлена тремя