10623

- 70 -

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

i =6	i =6	i =6	i =6
xc = (∑ Li xi ) /(∑ Li ) ; yc = (∑ Li yi ) /(∑ Li ) ,
i =1	i =1	i =1	i =1

где - Li длина i-го стержня фермы, а xi, yi - координаты его центра тяжести. Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних

стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L1 = 4 м, x1 = 0 м, y1= 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L2 = 20 м, x2= 3

м, y2= 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

xc = ( L1 x1 + L2 x2)/( L1+ L2) = (4×0 + 20×3)/24 = 5/2 м;

yc = ( L1 y1 + L2 y2)/( L1+ L2) = (4×2 + 20×2)/24 = 2 м.

Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С1 и С2 и делит от-

резок С1 С2 в отношении: С1С/СС2 = (xc - x1)/(x2 - xc) = L2 / L1 = 2,5/0,5 . ·

8.3. Центры тяжести простейших фигур

-71 -

1.Центр тяжести треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в

плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: Ai (xi,yi) , (i = 1,2,3) . Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А1А2 , при-

дем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане

А3 М3 (Рис.8.3).

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А2А3, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А1М1. Таким образом, центр тя-

жести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как из-

вестно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А1М1 получим, учитывая, что координаты точки М1 - это среднее арифметическое координат вершин А2 и А3 :

xc = x1 + (2/3)×(xМ1 - x1) = x1 + (2/3)× [(x2 + x3) /2 - x1] = (x1+ x2 +x3)/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

xc = (1/3)Sxi ; yc = (1/3)Syi .

2. Центр тяжести кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса

R с центральным углом 2a, расположенный симметрично относительно оси Ox

(Рис.8.4) .

Очевидно, что yc = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле (8.2¢):

xc =	1	∫ xdF .	(8.5)
	F
		F

- 72 -

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dj. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R×dj и высотой R. Площадь такого треугольника dF = (1/2) R 2×dj, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3 R от вершины, поэтому в (8.5) положим x

= (2/3)R×cosj. Подставляя в (8.5) F = a R 2, получим:

	1	α	2		1 2			R	α	R sinϕ
xc =		∫		R cosϕ		R	dϕ =		∫ cos ϕdϕ =
	αR2		3		2			3α		3α
		−α							−α

= 2R sinα . 3α

+α

−α

	=	R	[sinα − sin(−α )] =
		3α
			(8.6)

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга.

Подставляя в (8.6) a = p/2, получим: xc = (4R)/ (3p) @ 0,4 R .

- 73 -

Раздел II. Статика деформируемого тела

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Предмет сопротивления материалов и его задачи

- 74 -

Раздел механики под названием «Статика деформируемого тела» большинство студентов изучает в курсе сопротивления материалов, поэтому мы сохраним за этим разделом такое название.

Как уже отмечалось, сопротивление материалов (СМ) является составной частью прикладной, технической или строительной механики.

В отличие от теоретической механики (ТМ), изучающей абсолютно твердое тело, СМ применяет модель деформируемого тела, которая в большей степени соответствует реальным объектам.

Замена модели вызывает отказ и от прежнего метода исследования. Если в ТМ, построенной на системе аксиом, применяется математический или ак- сиоматико-дедуктивный метод, то методом СМ является характерный для физики гипотетико-дедуктивный.

Напомним, что прикладная механика, в целом, служит решению задач проектирования, строительства и эксплуатации сооружений.

Основной задачей СМ является проектирование конструкций или их элементов, находящихся в определенных условиях, с учетом требований: прочности, жесткости, устойчивости, надежности, экономичности и эстетики.

Первые три требования являются необходимыми, поэтому при нарушении любого из них поиск проектного решения теряет смысл.

Прочность – способность конструкции не разрушаться под действием приложенной нагрузки или в результате какого-либо иного воздействия.

Жесткость – способность сохранять форму и размеры в заданных допустимых пределах.

Устойчивость – способность сохранять первоначальную форму равновесия при нагружении.

Отметим, что основная задача статики сооружений (СС) отличается от задачи СМ только масштабом – вместо конструкции или её элементов выступает сооружение.

Помимо основной задачи – проектирования – в СМ встречается задача расчета уже построенной конструкции: на допускаемую нагрузку, прочность, жесткость и т.д.

1.2. Расчетная схема и классификация систем

Для решения задачи СМ или СС нужно построить модель конструкции или сооружения, выделив основные несущие элементы и определив действующие на них нагрузки.

- 75 -

- 76 -

Такая модель в виде совокупности деформируемых тел, соединенных друг с другом определенными связями, называется расчетной схемой или системой.

Взависимости от геометрических особенностей элементов системы их делят на три класса: стержневые, тонкостенные и массивы.

Стержень (брус) – тело, у которого один размер (длина) значительно больше двух других. Примеры конструкций, расчетная схема которых представляет собой брус или содержит такие элементы, приведены на рис 1.1.

Тонкостенные конструкции – это тела, у которых один размер (толщина) значительно меньше двух других (рис. 1.2.).

Массивами называются тела, у которых все три размера одного порядка.

Кним относятся подпорные стенки (рис. 1.3.), фундаменты под отдельно стоящие колонны и т.п.

Вобщем случае расчетная схема сооружения может включать все три вида элементов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Для кривых стержней, арок и оболочек речь при классификации систем идет не о габаритных, а о характерных размерах.

1.3.Нагрузки и воздействия

Все воздействия на конструкции и сооружения делятся на три группы: силовые, температурные и кинематические.

Два последних вида воздействий не оказывает влияния на опорные реакции и внутренние усилия статически определяемых систем, но могут вызвать появление реакций и усилий в статически неопределимых системах.

Например, при нагревании закрепленного на концах стержня может произойти либо потеря его устойчивости (рис. 1.4а), либо разрушение, а смещение фундамента опоры из-за просадки грунтового основания (рис. 1.4б) вызывает деформацию рамы и появление опорных реакций.

Что касается силовых воздействий или нагрузок, то мы уже встречались с ними в первом разделе курса ТМ и сейчас перейдем к уточнению этих понятий и их классификации.

Классификацию нагрузок можно проводить по различным признакам. По характеру приложения они делятся на сосредоточенные (силы P или

моменты M) и распределенные – по объему, по поверхности или вдоль длины балки – и определяемые интенсивностью.

Примером нагрузки, распределенной по объему тела, служит сила тяжести. Её интенсивность измеряется в кН/м3.

Интенсивность p поверхностной нагрузки (снег, ветер или давление грунта) имеет размерность давления и измеряется в кН/м2 или килопаскалях (1кПа = 1кН/м2).

Интенсивность q нагрузки, распределенной по длине балки – с ней мы уже встречались в ТМ – измеряется в кН/м.

- 77 -

Помимо рассмотренных единиц измерения p применяют и более круп-

ные: МПа = кПа×103 = Па×1 06 и ГПа = кПа 106.

По динамическим характеристикам нагрузки подразделяются на статические, динамические и повторно-переменные (циклические).

Статическими называются неподвижные или медлен но изменяющиеся

подвижные нагрузки.

Динамическими являются нагрузки, у которых величина, точка приложения или направление меняются столь быстро, что при расчете необходимо учитывать силы инерции. К их числу относятся: импульсные, ви брационные, сейсмические и другие нагрузки.

Циклическими называются нагрузки, которые многокр атно (сотни тысяч раз) меняют свою величину и знак и могут вызывать усталостное разрушение материала конструкции.

По продолжительности воздействия различают постоян ные и временные

нагрузки.

Первые действуют течение всего периода эксплуатац ии сооружения и представлены, например, с обственным весом конструкций.

Временные нагрузки действуют на протяжении огра ниченного промежутка времени. К ним относится нагрузка от веса людей и оборудования снего-

вая и др.

Подробнее о нагрузках можно узнать в СНиП 2.01.0 7–85 « Нагрузки и воздействия».

ПРИМЕЧАНИЯ:

1.Если в ТМ понятие «сосредоточенная сила» является строгим, то в механике деформируемого тела этот термин м ожет применяться только условно – для нагрузки, распределенной по сравнительно небольшой площади. Например, – по области к онтакта двух дефор-

мируемых тел.

2. То же самое справедливо в отношении сосредоточенного м омента М, приложенного к балке в сечении x=х М. В ТМ он определяется как система, полученная из пары сил

±P=M/2ε, приложенных в точках х=хМ±ε, при ε→0.

- 78 -

Вместе с тем применен ие термина «сосредоточенная нагрузка» допустимо в СМ в ходе построения расчетной схемы и на стадии предварительного расчета при определении внутренних усилий – в соответствии с принципом отвердевания из ТМ.

Например, расчетной схемой днища резервуара П-образного п оперечного сечения (рис. 1.5а) служит балка на уп ругом основании, загруженная распределенной нагрузкой – от веса воды, а также сосредоточенными моментами и силами на концах – от давления воды на стенки резервуара и их собственного веса (рис. 1.5б).

3. Некоторые авторы наряду с распределенной силовой расс матривают распределенную моментную нагрузку. В соответствии с приведенными выше замечаниями, мы ограничимся учетом только пе рвой из них.

1.4.Г ипотезы сопротивления материа лов

Для обоснования возможности применения аппарата математики и проведения теоретических исследований и расчетов в СМ вводят предпосылки, отражающие свойства дефор мируемых тел. Справедливость этих гипотез, в отличие от аксиом ТМ, проверяется экспериментально. Приведем только некоторые из них, т.к. другие удобнее рассматривать по мере необходимо сти.

1.Гипотеза однородности среды означает, что материал тела предполагается сплошным (без пустот), однородным и изотропным, т.е. свойства материала одинаковы во всех направлениях.

2.Гипотеза идеальной упругости – тело полностью восстанавливает свои размеры и форму после снятия приложенной нагрузки. При э том результат воздействия зависит от приложенной нагрузки, но не от истории загружения.

3.Гипотеза малости перемещений означает, что переме щения точек тела малы в сравнении с его р змерами. Для консольной балки (рис. 1.6а) это озна-

чает, что Δ(Ρ )<< l.

Следствием этой гип отезы является принцип начальных размеров, в соответствии с которым уравнения равновесия деформированного тела составляют без учета перемещений точек приложения нагрузки, т.е. ка к для абсолютно твердого. В рассмотренно м примере это означает, что для деформированной

- 79 -

балки по-прежнему MA(P)=Pl, т.е. при вычислении момент а силы P можно пренебречь горизонтальны м перемещением точки ее приложения.

4. Гипотеза лине йной упругости – перемещение точ ки упругого тела пропорционально приложенной нагрузке.

В рассматриваем ом примере (рис. 1.6а) это означает, что n-кратное увеличение силы P вы зывает n-кратное увеличение перемещения любой

фиксированной точки этой балки: D (nP) = n×D (Р).

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Следствием гипотез 3 и 4 является принцип суперпозиции, который справедлив для любых линейных систем и представляет собой обобщение соответствующего принципа из ТМ: опорные реакци и, усилия и перемещения от заданной нагрузки можно найти как сумму соответствующих величин от каждой нагрузки в отдельности.

В рассматриваемом п римере это означает (рис. 1.6б), что перемещение любой фиксированной точки балки от совместного воздействия сил P1 и P2 мо жно найти как сумму перемещений этой точки от каждой силы в отдельности:

(P1, P2) = (Ρ1) + (Ρ2).

2.Если какая-либо из приведенных гипотез или построенная на ее основе теория не подтверждаются опытом для определенного класса материалов и кон струкций, возникает необходимость в построении новой теории. Например, древесина и композиционные материалы обладают анизотропными свойствами, учет которых требует пересмотра форму-

лировки первой гипотезы.

3.Применение в СМ методов ТМ возможно только в соответствии с рассмотренной выше гипотезой 3 и принци пом отвердевания на предварительном этапе расчета при составлении уравнений равно весия.

Использование в СМ аксиом ТМ на последующих этапах расчета недопустимо. Нельзя, например, переноси ть силу, приложенную к деформируемом у телу, вдоль линии ее действия, поскольку при этом могут полностью измениться внутренние усилия и перемещения точек системы, нес мотря на постоянство опорных реакций ( рис. 1.7).