Физика_Л_5-6

Семестр 4. Лекции 5-6.

Лекции 5 - 6. Стационарные задачи квантовой механики.

Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Частица в трёхмерном прямоугольном потенциальном ящике. Понятие о вырождении энергетических уровней. Одномерный потенциальный порог и барьер. Туннельный эффект. Сканирующий туннельный микроскоп. Гармонический осциллятор.

Задача о бесконечно глубокой потенциальной яме.

Частица массы m находится в ограниченной одномерной области, за пределы которой она проникнуть не может. Внутри области нет потенциальной энергии: (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила. (Говорят, что стенки ямы непроницаемые для частицы).

				Математическая постановка задачи:
U		U		Область x		0 x a .	0, x
				Потенциальная энергия:			U x
							,	x
				Т.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функция
				частицы вне ямы равна нулю: x 0				при x .
			x	Следовательно, на границе ямы				волновая функция
0	a			должна обращаться в нуль:
						0 0	и a 0 .

Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в нуль в граничных точках:

0 0 и

a 0 .

Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со-

стояния: 2m2 E U 0 , которое в одномерном случае для области внутри ямы примет

вид:

d 2

2m

E 0 .

dx2

2

Если ввести обозначение: k 2

2m

E , то уравнение

d 2

k 2

0

имеет решение в виде:

2

dx2

A sin kx .

Для поиска значений постоянных k и в решение подставляем граничные условия:

0 A sin 0 , откуда следует,			что можно принять 0 ,
a A sin ka 0 . Это значит, что			ka n , где n 1,2,3,... , т.е.	k	n	.
					a
n
Поэтому решение примет вид: A sin		x .
a

a

Для поиска значения А используем условие нормировки: P 0 x a 2 dx 1 .

0

Но

2n

a

a

n

a

1 cos

x

A

2

2n

a

A

2

2

dx

2

2

2

a

a

A

sin

x dx

A

dx

x

sin

x

a .

2n

0

0

a

0

2

2

a

0

2

1

Семестр 4. Лекции 5-6.

Поэтому A 2 a2 . В данной задаче нет комплексных чисел, поэтому можно считать, что число

А является действительным и положительным, т.е. A

2

2

n

. Тогда n

sin

x .

a

a

a

2

2m

n 2

Значения энергии частицы определяются из соотношения:

k

E

, т.е.

2

a

E

2 2

n2 - энергия зависит от номера n. Целое число

n, определяющее значение энергии

2ma2

частицы, называется главным квантовым числом.

n

В итоге,

любому натуральному числу n соответствует решение n

2

и значе-

sin

x

a

a

2 2

i

En

t

ние энергии E

n2 .

Пси-функция:

e

.

2ma2

n

n

n

Энергия частицы в бесконечно глубокой яме принимает дискретные значения, или,

как говорят, квантуется.

Случай n = 0 не рассматриваем, т.к. при n = 0 получаем, что

0

0 , т.е. частицы нет в

яме.

Состояние частицы с минимальным значением энергии (n=1) называется основным

состоянием. Остальные состояния

(для n>1) называются возбуждёнными: n=2 – первое воз-

буждённое состояние, n=3 – второе возбуждённое состояние и т.д.

Разность

соседних

уровней

энергии

при

больших

значениях

n:

E E

E

2 2

n 1 2

2

2

n2

2 2

2n 1 2 2 n

2ma2

2ma2

2ma2

n 1

n

ma2

пропорциональна номеру n.

Для молекулы газа с массой

m 10 27 кг в области с размером

a 0,1 м

эта разность

равна E 10 38 n Дж или

E 10 19 n эВ. Учитывая, что при

Т=300 К энергия теплового

движения порядка

E 10 21 Дж, то дискретностью уровней энергии частицы можно прене-

T

бречь.

Но для электрона

m 9,1 10 31 кг

в

области

a

10 10 м

(порядок размера

атома)

E

10 17 n Дж, что уже соизмеримо со значением тепловой энергии.

Замечание. Найдём вектор плотности потока вероятности для частицы в яме:

j

i

grad * * grad .

2m

*

Т.к. задача одномерная, то

j

jx ,0,0 ,

где

jx

i

*

.

x

2m

x

i

En

t

*

n

ne

jx

i

n

n

* n

n

Из соотношения для пси-функция:

следует:

.

2m

x

x

n

*

2

Из вещественности решения:

n n

sin

x

следует, что

a

a

jx i

0 ,

n n

* n n

*

2m

x

x

т.е. вероятность нахождения частицы в яме не изменяется.

2

Семестр 4. Лекции 5-6.

Частица в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками.

Частица массы m находится в трёхмерной области, за пределы которой она проникнуть не может. Внутри области нет потенциальной энергии: (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила.

Математическая постановка задачи.

Область x, y,z		0 x a,0 y b,0 z c .
			0,		x, y,z
Потенциальная энергия:						.
			U x, y,z	,	x, y,z

Т.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулю:

x, y,z 0

при x, y,z .

Следовательно, ввиду непрерывности волновой функции, она должна обращаться в нуль на границе ямы:

0, y,z 0 и		a, y,z 0 ;
x,0,z 0	и	x,b,z 0 ;
x, y,0 0	и	x, y,c 0 .

Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в нуль в граничных точках.

Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со-

стояния: 2m2 E U 0 , которое в трёхмерном случае для области внутри ямы примет вид:

	2		2		2		2m	E 0 .
	x2		y2		z2		2

Решение ищем в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от одной

из координат: A X x Y y Z z .

После подстановки

в уравнение, получаем:

2m

Y Z A

2 E A X Y Z 0 ,

A X xx

X Yyy Z A X

Y Zzz

теперь разделим на A X Y Z . Тогда в полученном уравнении видим:

X

Z

2m

Yyy

xx

zz

E 0 .

2

X

Y

Z

Первые три слагаемые зависят от трёх разных аргументов, но сумма является постоянным числом. Это возможно, если каждое из слагаемых – постоянное число. Например,

X							Z
	k 2		Yyy		k 2			k 2 .
xx		,				,	zz
X	1			Y	2		Z	3

Тогда исходное уравнение от трёх переменных распадается на три одномерных уравнения, и решения этих уравнений должны быть ограниченными. Решая их с учётом граничных условий как в предыдущем случае, получаем решения:

X		2
		a

k

n1

,

k

n2

,

k

n3

.

1

a

2

b

3

c

n

n

n

2

2

sin

1

x

,

Y

sin

2

y

,

Z

sin

3

a

b

b

c

c

n

n

n

8

sin

1

x

sin

2

y

sin

3

z

.

abc

a

b

c

z .

3

Семестр 4. Лекции 5-6.

Из равенства: k 2

k 2

k 2

2m

E 0

находим выражение для энергии:

1

2

3

2

k12

k22 k32

n12

n22

n32

E

.

2

2 2

2

2

2

2m

2m

a

b

c

Откуда видно, что и в этом случае энергия принимает дискретные значения.

Предположим, что яма является кубической, т.е. a b c . Тогда из выражения для энер-

гии

	E	2 2	n2	n2	n2
		2ma2
			1	2	3

видно, что возможны случаи, когда одному значению энергию соответствуют различные псифункции.

Определение. Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковое

значение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний (для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Если кратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень энергии не вырожден.

Пример. Найдём кратность вырождения уровней энергии (с 1-го по 6-й) в кубической потенциальной яме.

Вид пси-функции определяется набором трех натуральных чисел n1 ,n2 ,n3 :

8

n

n

n

sin

1

x

sin

2

y

sin

3

z

,

abc

a

b

c

а значение энергии зависит от «квадрата длины набора» n2

n2

n2

:

1

2

3

E

2 2

n2

n2

n2

.

2ma2

1

2

3

Значения энергии в приведённой ниже таблице упорядочиваем по величине. Кратность вырождения равна числу наборов «одной длины».

№	Наборы чисел n1 ,n2 ,n3	Значение энергии									Кратность вырождения
1	1,1,1	E	3				2				1
			2
		1
				2ma2
2	2,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2			3	2		2				3
		E
				ma2
		2
3	2,2,1 , 1,2,2 , 2,1,2			9	2		2				3
		E
				2ma2
		3
4	3,1,1 , 1,3,1 , 1,1,3		11			2	2				3
		E
				2ma2
		4
5	2,2,2			6	2		2				1
		E
				ma2
		5
6	1,2,3 , 2,1,3 , 1,3,2 ,			7	2		2				6
		E
	3,1,2 , 3,2,1 , 2,3,1	6		ma2

4

Семестр 4. Лекции 5-6.

Падение частицы на потенциальный порог.

I		II	1. Частица массы m с энергией Е движется вдоль оси Х,
			сначала в области I, где потенциальная энергия меньше
	U0
			энергии частицы, и налетает на область II (на порог), в
E			которой потенциальная энергия больше энергии части-
			цы: U0>E	(высокий потенциальный порог). Пусть
			для области	I x < 0, а для области II – x > 0.Примем за-
	0	x	висимость потенциальной энергии в виде:
				x 0
			0,
			U x	x 0	.
			U0 ,

Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:

d 2

I

2m

E

0 .

dx2

2

I

Соответственно, решение этого уравнения:

C eik1x C e ik1x , где

k 2

2m

E .

I

2

1

2

1

В области I решение является суперпозицией падающей на порог и

отражённой от порога

волн:

I

ПАД

ОТР .

I

I

Т.к. уравнение падающей (распространяющейся в положительном направлении оси Х) на порог волны де Бройля должно иметь вид:

	En					E
ПАД C e	i		t k1x	C eik1x e	i	n	t
								,
1				1

то в решении для области I падающей волне соответствует координатная часть: IПАД C1eik1x . Соответственно, отражённую волну де Бройля описывает пси-функция, координатная часть которой имеет вид: ОТРI C2e ik1x .

Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния области II:

d 2 II

2m

U

E

0 ,

2

0

II

dx

2

его решение имеет вид:

C e k2 x C ek2 x ,

где

k

2m

U

E .

II

2

2

0

3

4

Оставляем только решение, убывающее при x + . (Этому соответствует условие того, что вероятность нахождения частицы внутри барьера убывает с глубиной.) Поэтому прошедшая

волна: ПРОШ C e k2 x .
II	3
Граничными условиями являются непрерывность функции и её первой производ-
ной x на границе порога при x 0 :
	I 0 II 0 ,								d I		0		d II		0 ,
													dx
										dx
												C C C
откуда получаем систему для определения коэффициентов:												1				2		3	.
												ik1C1 ik1C2 k2C3
Решение этой системы имеет вид: C				k2	ik1			C	,	C			2ik1				C .
				ik k								ik k
		2				2		1		3				2				1
				1								1

5

Семестр 4. Лекции 5-6.

Эффективной глубиной L проникновения частицы в область порога называется расстояние от границы порога, на котором плотности вероятности обнаружения частицы уменьшается в е раз.

Найдём L. По определению:

IIПРОШ 0

2

C

2

e ,

3

ПРОШ L

2

C

e k

2 L

2

II

3

1

1

2

откуда: e2k2 L e ,

2k

L 1 ,

L

.

2

2k2

2 2m U0 E

Замечание. Из последней формулы следует, что при увеличении «высоты» порога: U0

эффективная глубина проникновения уменьшается:

L 0 .

Для нашей одномерной задачи вектор плотности потока вероятности имеет только одну составляющую вдоль оси X. Найдём её для падающей волны:

j ПАД i

ПАД

ПАД *

i

C eik1x

C1e

ПАД

*

ПАД

ik1x

*

x

2m

x

x

2m 1

x

i

C1C1* eik1x ik1 e ik1x C1*C1e ik1x ik1 eik1x

2ik1

i

C1

2

2m

2m

Плотность потока вероятности отражённой волны:

	* C1eik1x
	C1eik1x
		x
			.

i

ОТР *

* ОТР

i

C2e ik1x *

jОТР

ОТР

ОТР

C

e ik1x

x

x

x

x

2m

2m 2

i

C2C2* e ik1xik1eik1x C2*C2eik1x ik1 e ik1x 2ik1

i

C2

2

2m

2m

Коэффициент отражения от порога равен:

	* C2e ik1x
	C2e ik1x
		x
			.

j ОТР

2ik1

i

C2

2

C2

2

k2 ik1

2

2m

R

1,

j ПАД

2ik1

i

C1

2

C1

ik1 k2

2m

т.е. частица отражается от порога полностью.

2. Теперь рассмотрим случай, когда энергия частицы больше высоты порога: E>U0 (низкий

I

II

потенциальный порог). Пусть опять

0,

x 0

U x

x 0

.

E

U0

U0 ,

Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в

области I:

0

x

d 2 I

2m

E

0 .

dx2

2

I

Соответственно, его решение:

C eik1x C e ik1x

,

где

k

2

2m

E .

I

1

2

1

2

В области

I решение является суперпозицией падающей на порог и отражённой от порога

волн:

I

ПАД ОТР ,

I

I

6

Семестр 4. Лекции 5-6.

где, как и в случае высокого потенциального порога, для области I падающей волне соответствует координатная часть IПАД C1eik1x , а отражённой - координатная часть ОТРI C2e ik1x .

Для области II:

d 2 II

2m

E U

0 ,

2

0

II

dx

2

решение имеет вид:

C e ik2 x C eik2 x ,

где

k

2m

E U

.

II

2

2

0

3

4

Оставляем только прошедшую волну ПРОШ C eik2 x .

II

3

Граничными условиями являются непрерывность функции и её первой производ-

ной x на границе порога x 0 :

I 0 II 0 ,

d I

0

d II

0 ,

dx

dx

откуда получаем систему уравнений для определения коэффициентов:

C1 C2 C3 .

k1C1 k1C2 k2C3

Решение этой системы имеет вид: C2

k1 k2

, C3

k

2k

k k

C1

k C1 .

1

1

2

2

1

Плотность потока вероятности падающей волны:

j ПАД

2ik

i

C

2 .

x

1 2m

1

Плотность потока вероятности отраженной волны:

jОТР 2ik

i

C

2 .

x

1 2m

2

Плотность потока вероятности прошедшей волны:

j ПРОШ 2ik

i

C

2 .

x

1 2m

3

j ОТР

C2

2

k1

k2

2

Коэффициент отражения от порога

R

не равен нулю!

ПАД

k2

j

C1

k1

Это означает, что в отличие от классического случая, когда при E > U0 частица обязательно преодолеет «горку», в квантовой механике существует ненулевая вероятность того, что частица отразится от «горки» при E > U0.

Коэффициент прохождения (прозрачности) порога определяется по аналогии:

j ПРОШ

C3

2

2k1

2

D

.

j ПАД

C1

k1 k2

k2

2

2k1

2

В частности, получаем что

R D

k1

1.

k1 k2

k1 k2

Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Из результатов п.1 предыдущей задачи следует, что вероятность обнаружения частицы внутри порога при E < U0 на некотором расстоянии от «ступеньки» не равна нулю. Поэтому возможна ситуация, при которой частица преодолеет конечную область с потенциальной энер-

						гией U0, хотя энергия частицы Е и меньше U0.
I		II			III	Пусть частица массы m с энергией Е движется
						вдоль оси Х, сначала в области I ( x < 0 ) , где потенци-
U0
						альная энергия меньше энергии частицы, и налетает на
E						область II, в которой потенциальная энергия больше
						энергии частицы: U0 > E. В отличие от предыдущей за-
0			a		x	дачи, будем предполагать, что протяжённость области II

7

Семестр 4. Лекции 5-6.

конечная: 0 x a . Далее простирается область

III,

в которой x a , где энергия частицы

больше потенциальной энергии. Примем зависимость потенциальной энергии в виде:

0,

x 0

U x

U

, 0 x a .

0

x a

0,

Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:

d 2

I

2m

E

0 .

dx2

2

I

Соответственно, решение:

C eik1x C e ik1x ,

где

k 2

2m

E .

I

1

2

1

2

В области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отражённой от барьера

волн:

I

ПАД

ОТР .

I

I

Для области II:

d 2 II

2m

U

E

0 ,

0

II

dx

2

2

Решение имеет вид:

C e k2 x C ek2 x ,

где k

2m

U

E .

II

2

0

3

4

2

В области III:

d 2

III

2m

E

0 .

III

dx2

2

Общий вид решения:

III

C eik1x

C e ik1x . Отставляем только прошедшую волну:

III

C eik1x .

5

6

5

Граничными условиями являются непрерывность функции и её первой производной x на границе барьера:

I 0 II 0 ,	d I		0		d II		0 ,
	dx				dx
II a III a ,		d II		a		d III		a ,
						dx
		dx

откуда получаем систему для определения коэффициентов:

C	C			C		C
1			2	3				4
ik1C1 ik1C2						k2C3				k2C4		.
C e k2a				C	ek2a C eik1a
3				4					5
k C e k2a k							C		ek2a	ik C eik1a
	2	3				2		4		1	5

C3

k

2

ik

ek2aeik1a

k

2

ik e k2aeik1a

Решение этой системы имеет вид:

1

C5 , C4

1

C5 ,

2k2

2k2

2ik1C1 k2 ik1 C3 k2 ik1 C4 k2 ik1

k

2

ik

ek2aeik1a

k2 ik1

k

2

ik

e k2aeik1a

1

C5

1

C5 ,

2k2

2k2

4ik k

e ik1a

1

2

C5

C1 ,

k2 ik1 2 e k2a k2 ik1 2 ek2a

2ik1C2 k2 ik1 C3 k2 ik1 C4 k2 ik1

k ik ek2aeik1a

k2 ik1

k ik e k2aeik1a

2

1

C5

2

1

C5 ,

2ik1C2 e k2a ek2a k2 ik1 k2 ik1 eik1aC5 ,

2k2

2k2

2k2

8

Семестр 4. Лекции 5-6.

C2

ek2a e k2a k2 ik1 k2 ik1

C3

2ik

k

2

ik ek2a

C1 ,

1

1

C1 ,

k2 ik1 2 e k2a k2 ik1 2 ek2a

k2 ik1 2 e k2a k2 ik1 2 ek2a

2ik

k

2

ik e k2a

1

1

C4

C1 .

k2 ik1 2 e k2a k2 ik1 2 ek2a

Плотность потока вероятности падающей волны:

j ПАД

2ik

i

C

2 .

x

1 2m

1

Плотность потока вероятности прошедшей волны:

j ПРОШ 2ik

i

C

2 .

Коэффициент прозрачности барьера:

x

1 2m

5

j ПРОШ

C5

2

4ik1k2e ik1a

2

D

j ПАД

C1

k2

2

k12 e k2a ek2a 2ik1k2 e k2a ek2a

.

16k 2k 2

1

2

k22 k12 2 e k2a ek2a 2 4k12k22

e k2a ek2a 2

2

Приближённо можно считать, что

D e 2k2a

exp

2m U0 E a .

Для барьера произвольной формы, заданной в виде функции U(x):

			2	x2
	D exp				2m U E dx ,
				x1

где интеграл берётся по интервалу (x1, x2), на котором выполняется неравенство: U > E.

Определение. Туннельный эффект или туннелирование - это явление преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект - явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике.

Замечание. В классической механике энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий: E EK U . В случае если E U формально получаем, что EK 0 .

Следовательно, в квантовой механике нельзя определить энергию частицы как сумму потенциальной и кинетической энергий. Это выражение справедливо только для средних значений.

Квантовый гармонический осциллятор.

Квантовый гармонический осциллятор – это квантовый аналог классической задачи об одномерных колебаниях материальной частицы под действием квазиупругой силы вблизи положения равновесия. В этом случае потенциальную энергию можно выразить через смещение

от положения равновесия в виде U	kx2	. Круговая частота колебаний частицы равна		k		,
				m
2

поэтому выражение для энергии примет вид: U m 2 x2 . 2

Квантовый гармонический осциллятор – это одномерная модель колебаний микрочастиц. Эти колебания могут быть вызваны тепловыми движениями или колебаниями под действием внешних электромагнитных волн. В классической механике при колебаниях механическая энергия сохраняется, поэтому в квантовой механике эту задачу рассматриваем как стационарную.

9

Семестр 4. Лекции 5-6.

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния), описывающее квантовый

гармонический осциллятор, имеет вид:

d 2

2m

m 2 x2

E

0 .

dx

2

2

2

Оказывается, что данное уравнение имеет непрерывные решения

U

только в случае, если энергия частицы выражается в виде:

1

E n

.

2

Следовательно, уровни энергии отстоят от друга на одинаковую

величину

(эквидистантные), поэтому энергия осциллятора

может изменяться только порциями, кратными . Число n

определяет уровни энергии, поэтому называется главным кван-

0

x

товым числом.

Для квантового осциллятора существует правило отбора –

энергия

меняется так, чтобы главное квантовое число изменя-

лось на единицу n 1.

Существует минимальное значение энергии: E 2 . Меньше этого значения энергия

осциллятора принимать не может.

Таким образом, можно сказать, что модель квантового гармонического осциллятора не противоречит гипотезе Планка о дискретности уровней энергии системы и о существовании квантов.

Наличие минимального значения энергии колебаний системы говорит о том, что всю энергию у системы «отобрать» невозможно. Что в свою очередь, не противоречит теореме Нернста о недостижимости абсолютного нуля температур (как состояния с нулевой энергией колебаний).

Сканирующий туннельный микроскоп

Рассматривать отдельные атомы можно с помощью устройства, использующего квантовый эффект туннелирования – сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). Точнее, сканирующий туннельный микроскоп не рассматривает, а как бы «ощупывает» исследуемую поверхность. Очень тонкая игла-зонд с острием толщиной в один атом перемещается над поверхностью объекта на расстоянии порядка одного нанометра. При этом согласно законам квантовой механики, электроны преодолевают вакуумный барьер между объектом и иглой – туннелируют, и между зондом и образцом начинает течь ток. Величина этого тока очень

сильно зависит от расстояния между концом иглы и поверхностью образца – при изменении зазора на десятые доли нанометра ток может возрасти или уменьшиться на порядок. Так что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлементов и отслеживая изменение тока, можно исследовать её рельеф практически «на ощупь». Создание СТМ стало значительным шагом в освоении наномира. В 1986 году сотрудникам Исследовательского центра компании IBM в Цюрихе Герду Биннигу и Генриху Рореру за это достижение была присуждена Нобелевская премия. СТМ позволяет увидеть детали поверхности с разрешением в сотые и даже тысячные доли нанометра. На самом деле, это графическое изображение того, как меняется зазор между зондом и поверхностью для поддержания постоянного значения тока. Взаимодействие зонда СТМ с электронными оболочками атомов даёт возможность изучить самые мельчайшие подробности, доступные на сегодняшний день.

10