Образцы решения экзаменационных задач II
.docОбразцы решения экзаменационных задач II.
Двумерные задачи оптимизации портфелей в моделях Блека и Марковица
Задача 1.
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2.
m1 = |
1,0 |
|
2,0 |
|
0,8 |
m2 = |
3,0 |
|
3,0 |
|
|
Найти портфель с наименьшим риском в моделях Блека и Марковица.
Решение. Задача состоит в нахождении портфеля x=(x1; x2) с минимальным риском
V[x] = c11x12 + c22x22 + 2c12x1x2 min,
при условиях:
x1 + x2 = 1
в модели Блека и дополнительном условии неотрицательности x1, x2 0 в модели Марковица.
Найдем сначала матрицу ковариации активов:
c11 = 2 = 4; c22 =22 = 9; c12 = ∙2 ∙ = 4,8;
Тогда риск (вариация) портфеля имеет при заданных данных вид:
V[x] = 4x12 + 9x22 + 9,6x1x2
Используя замену x2 = 1 - x1 сведем исходную задачу к минимизации функции
V(x1) = 4x12 + 9(1-x1)2 + 9,6x1(1-x1) = 3,4x12 - 8,4x1 + 9 min
при условии 0 x1 1. Дифференцируя и приравнивая производную к нулю получим
V´(x1) = 6,8x1 – 8,4 = 0 или 1,7x1 = 2,1
Откуда получаем стационарную точку (нуль производной)
x1* = 2,1/1,7 = 1,2353;
и соответствующий портфель будет иметь вид
x1* = 1,2353; x2* = 1 - x1= -0,2353
Полученный портфель является портфелем с наименьшим риском в модели Блека, но не является портфелем с наименьшим риском в модели Марковица!
Он имеет параметры: ожидаемую доходность
E* = 2x1 + 3x2 =1∙(1,2353) + 3∙(-0,2353) = 0,53
и риск (вариацию) –
V* = c11(x1)2 + c22 (x2)2 +2c12 x1x2 =4∙(1,2353)2+9∙(-0,2353)2+9,6(1,2353)(-0,2353) = 3,81
Поскольку стационарная точка x1*=1,2353 не удовлетворяет условию 0 x1 1, то минимизируемая функция V(x1) не имеет стационарных точек (нулей производной V´(x1)) на отрезке [0, 1] и, следовательно она монотонная на этом отрезке и достигает наименьшее значение только на концах отрезка.
Так как V(0)=2 и V(1) = 4 , то ясно что V(x1) достигает наименьшего значения при
x1 = 0, так что портфелем с наименьшим риском будет портфель
x1 = 0, x2 = 1,
имеющий доходность Е[x] = 1 и риск (вариацию) V[x] = 4. █
Задача 2.
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2.
m1 = |
1,0 |
|
2,0 |
|
0,8 |
m2 = |
3,0 |
|
3,0 |
|
|
Найти портфель с максимальной доходностью, риск (стандартное отклонение) которого не
больше заданного 0 = 2,5 в модели Блека и Марковица.
Решение. Задача состоит в нахождении портфеля x=(x1; x2) c максимальной доходностью
Е[x] = m1x1 + m2x2= 1x1 + 3x2 max,
при условиях
x1 + x2 = 1
и
V[x] = c11x12 + c22x22 + 2c12x1x2 = 4x12 + 9x22 + 9,6x1x2 V0= 02 = 6,25
для модели Блека, где V0- максимально допустимый уровень риска и дополнительном условии 0 ≤ x1 ≤ 1 для модели Марковица.
Модель Блека. В предыдущей задаче мы нашли выражения для
Е[x] = m1x1 + m2x2= 1x1 + 3x2
и
V[x] = 4x12 + 9x22 + 9,6x1x2.
Замена x2 = 1 - x1 сводит задачу максимизации доходности
Е(x1) = x1 + 3x2= 3 - 2x1 max,
при условии
V(x1) = 3,4x12 - 8,4x1 + 9 6,25,
которое принимает вид
3,4x12 - 8,4x1 + 2,75 0.
Это неравенство имеет решением отрезок отрезок [x1-, x1+] , где
,
корни квадратного уравнения 3,4x12 - 8,4x1 + 2,75 = 0.
Поскольку линейная функция Е(x1)=3-2x1 убывает на этом отрезке, то максимальное значение она принимает на левом конце, т.е. в точке x1=0,3884. Соответствующее максимальное значение доходности будет равно Е(x1-) = 2,22.
Итак, оптимальный портфель в модели Блека будет портфель
x1=0,3884; x2=0,6116;
Модель Марковица. Поскольку оптимальный по Блеку портфель удовлетворяет условию Марковица (0 ≤ x1 ≤ 1), то этот портфель будет оптимальным и в модели Марковица.
Задача 3.
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2.
m1 = |
1,0 |
|
2,0 |
|
0,8 |
m2 = |
3,0 |
|
3,0 |
|
|
Найти портфель (u1, u2) с максимальной полезностью в модели Блека и Марковица, для инвестора с
коэффициентом неприятия риска равным = 10.
Решение. Задача состоит в максимизации
U[x] = E[x] – (/2)V[x]= m1x1 + m2x2 -(/2)(c11∙x12 + c22 ∙ x2 2 +2c12 x1x2) max,
при условии
x1 + x2 = 1,
где - заданный коэффициент неприятия риска.
В модели Марковица добавляется условие неотрицательности x1, x2 0 или, что то же самое условие 0 x1 1.
Модель Блека. Замена x2 = 1 - x1 в случае а) сводит задачу максимизации полезности
к максимизации функции
U(x1) = (3 - 2x1) - 5∙(3,4x12 - 8,4x1 + 9)
Дифференцируя U(x1) по x1 и приравнивая производную к нулю получим уравнение
U´(x1) = -2 - 5∙(6,8x1 – 8,4) = -34x1 + 40 = 0,
откуда
x1=40/34 =1,1765 и x2 = -0,1765
- оптимальный портфель в модели Блека с наибольшей полезностью Uмакс= -18,47.
Модель Марковица. Так как стационарная точка x1= -6/7 не лежит на единичном отрезке [0, 1] то оптимальное значение для модели Марковица нужно искать в граничных точках x1 = 0 и x1 = 1. Поскольку U(0) = -42 а U(1) = -19 то оптимальным будет портфель x1 = 1 и x2 = 0 с наибольшей полезностью Uмакс=-19. █
Задача 4.
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2.
m1 = |
1,0 |
|
2,0 |
|
0,8 |
m2 = |
3,0 |
|
3,0 |
|
|
Найти уравнение минимальной границы - параболы V=a2E2 + a1E + a0 на плоскости доходность-риск (E,V) как функцию параметра E, в модели Блека и Марковица.
Решение. Задача состоит в нахождении явного выражения зависимости риска (вариации) V портфелей с минимальным риском среди всех портфелей с заданной доходностью Е как функцию V(Е) этой доходности.
Ожидаемая доходность есть
E[x] = m1x1 + m2x2 = x1 + 3x2
а ожидаемый риск есть
V[x] = c11 (x1)2 + 2c12 x1x2 + c22 (x2)2= 4x12 + 9x22 + 9,6x1x2
Замена x2 = 1 - x1 приводит к выражениям
E = 3 - 2x1
и
V = 3,4x12 - 8,4x1 + 9
Выражая из первого равенства x1= (3-Е)/2 и подставляя в выражение для V получим
V = 3,4[(3-Е)/2]2 - 8,4(3-Е)/2 + 9 = 0,85E2 -0,9E + 4,05
В модели Блека Е принимает любые значения, т.е. это уравнение полной параболы на плоскости (E,V). В модели Марковица доходность удовлетворяет неравенствам m1 E m2
Поэтому решением будет уравнение куска параболы
V = 0,85E2 - 0,9E + 4,05; 1 E 3.