Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

Найти значение истинности следующих высказываний:

а) ; б);

в) .

Построить таблицы истинности для следующих формул:

а) .; б);

в) ; г);

д) ; е).

Найти среди указанных ниже формул тавтологии (тождественно истинные формулы):

а) ; б); в);

г) ; д).

Используя таблицы истинности, доказать эквивалентность следующих пар формул:

а) и; б)и;

в) и.

С помощью метода резолюций доказать, что из формул логически следуют формулы

а) ; б); в); г).

Верно ли, что из логически следует а); б); в)? Доказать с помощью метода резолюций или опровергнуть с помощью таблицы истинности.

Верно ли, что из логически следует а); б); в)? Доказать с помощью метода резолюций или опровергнуть с помощью таблицы истинности.

§1.5. Логика предикатов

Будем говорить, что на множестве задан-местныйпредикат от переменных , если каждому набору этих переменных из множествапоставлено в соответствие значение истинности. Высказывания можно трактовать какнульместные предикаты, то есть постоянные предикаты, не зависящие от переменных.

Переменные в предикатах называются предметными.Областью истинности предикатаназывается множество тех наборов предметных переменных, для которых этот предикат истинен.

Предикат на множественазывается:

а) тождественно истинным (ложным), если(соотв.);

б) выполнимым (опровержимым),если(соотв.).

Квантор существования () превращает одноместный предикатв высказывание, принимающее значение «истина», если в множественайдется хотя бы один элемент, для которогоистинно. Обобщение: превращает-местный предикат в-местный.

Квантор общности () превращает одноместный предикатв высказывание, принимающее значение «истина», если. Обобщение: превращает-местный предикат в-местный.

Примеры

1. Найти области истинности предикатов,,, где

, .

Решение.Область истинности предиката— это круг (с границей) радиуса 5 с центром в начале координат; предиката— область вне круга (с границей) радиуса 2 с центром в начале координат; предиката— внешность круга (без границы) радиуса 5 с центром в начале координат; предиката— внутренность круга (без границы) радиуса 2 с центром в начале координат.

Предикат — это система двух неравенств:

Областью истинности в данном случае будет кольцо (с границами) между окружностями радиусов 2 и 5 с центром в начале координат.

Значение предиката равно единице, когда выполнено одно из двух неравенств:

Областью истинности в данном случае будет вся плоскость.

Предикат ложен только в случае, когда, а, т.е. на множестве. Следовательно, область истинности в данном случае — это область вне круга (с границей) радиуса 2 с центром в начале координат.

2. Найти значение истинности высказываний,,,, где предикат, определен на множестве натуральных чисел и означает: «имеет нетривиальный общий делитель с».

Решение.Формула— это высказывание, утверждающее, что любые два натуральных числа имеют нетривиальный общий делитель. Это высказывание ложно, т.е..

Формула — это высказывание, утверждающее, что существуют два натуральных числа, имеющие нетривиальный общий делитель. Оно истинно, т.е..

Формула — это высказывание, утверждающее, что для любого числанайдется число, имеющее нетривиальный общий делитель с. Оно истинно (например, подойдет число), значит,.

Формула — это высказывание, утверждающее, что для некоторого числалюбое другое числоимеет с ним нетривиальный общий делитель. Оно ложно, т.е..

3.Определить истинность, ложность либо выполнимость следующих формул:

а) ; б);

в) ; г).

Решение.а)— выполнимая формула. Например, рассмотрим предикат, заданный на множестве натуральных чисел с нулем. Существует подстановка, при которой эта формула становится истинной:. Таким образом, существует область, в которой эта формула выполнима, а значит, она просто выполнима.

б) — выполнимая формула. Пусть, например,на множестве. Тогда приформулаистинна, а при других значенияхложна. Значит, она выполнима.

в) — тождественно истинная формула. Действительно, при подстановке любой константылюбой областипредикатлибо истинен, т.е., тогдаи(истинно), либо ложен, т.е., тогдаи(истинно).

г) — тождественно ложная формула, поскольку она ложна в любой области. Доказательство аналогично предыдущему.