Teoria_veroyatnostey_15-19
.rtf15. Дисперсия ДСВ и ее св-ва (с выводом). Примеры.
Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: или, где |
Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-гоожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать:
В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания , ибо согласно свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины.
Выбор дисперсии, определяемой по формуле, в качестве характеристики рассеяния значений случайной величины Х оправдывается также тем, что, как можно показать, математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от постоянной величины С минимально именно тогда, когда эта постоянная С равна математическому ожиданию , т.е. .
Если случайная величина Х - дискретная с конечным числом значений, то (3.11).
Если случайная величина Х - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то (если ряд в правой части равенства сходится).
Дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:
|
Свойства дисперсии случайной величины.
-
Дисперсия постоянной величины равна нулю:.
□ . ■
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: .
□ Учитывая свойство 2 математического ожидания, получим . ■
3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: (3.16) или где .
□ Пусть М(Х) = а. Тогда D(Х) = М(Х - а)2 = М(Х2 - 2аХ + а2). Учитывая, что а - величина постоянная, неслучайная, найдем
D(Х) = М(Х)2 - 2аМ(Х) + а2 = М(Х2) - 2а·а + а2 = M(X2) - a2.
Это свойство часто используют при вычислении дисперсии. Вычисление по формуле (3.16) дает, например, упрощение расчетов по сравнению с основной формулой (3.11), если значения xi случайной величины - целые, а математическое ожидание, а значит, и разности (xi - а) - нецелые числа.
4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .
□ По свойству 3: . Обозначая , и учитывая, что для независимых случайных величин М(ХУ)=М(Х)М(У), получим
.■
Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин Х и У равна сумме их дисперсий, т.е. .
3амечание. Обратим внимание на интерпретацию математического ожидания и дисперсии в финансовом анализе. Пусть, например, известно распределение доходности Х некоторого актива (например, акции), т.е. известны значения доходности xi и соответствующие их вероятности pi за рассматриваемый промежуток времени. Тогда, очевидно, математическое ожидание М(Х) выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия D(X) или среднее квадратическое отклонение - меру отклонения, колеблемости доходности от ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
Обращаем внимание на то, что сама величина Х - случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.
16. Мат. ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в повторных независимых испытаниях (с выводом).
Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. а ее дисперсия .
□ Частость события есть , т.е. , где Х - случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому
. ■
Теорема. Сл\в Х=m, распределённую по биномиальному закону, можно интерпретировать как число m объектов, обладающих данным св-м, из общего числа n объектов, случайно извлечённых из некоторой воображаемой бесконечной совокупности, доля p объектов которой обладает этим св-м. Поэтому рапределение можно расм-ть как модификацию биномиального распр-я для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из кот обладают этим св-м.
17. СВ, распределенная по биномиальному закону. Ее мат. ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями
,
где 0<р<l, q=1-p.
Как видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли, следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
Очевидно, что определение биномиального закона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону,
а ее дисперсия
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
,
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда .
На рис. 4.1 показан многоугольник (полигон) распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона Р(Х=m)=Рm(λ) с параметрами λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.
Теорема. Математическое oжидaниe и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.
и
18. Функция распределения СВ, ее определение, свойства и график.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: . |
Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.
Общие свойства функции распределения.
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .
Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность.
-
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
Пусть и - точки числовой оси, причем >. Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .
Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения:
или откуда .
Так как вероятность, то , т.е. - неубывающая функция. ☻
-
На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.
.
как вероятность невозможного события .
как вероятность достоверного события .
-
Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:
.
Формула следует непосредственно из формулы .
19. Непрерывная СВ. вероятность отдельно взятого значения НСВ. Мат. ожидание и дисперсия НСВ.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (точки излома). |
На рис. 3.7 показана Функция распределения непрерывной случайной величины Х, дифференцируемая во всех точках, кроме трех точек излома.
Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.
☺ Покажем, что для любого значения случайной величины Х вероятность . Представим в виде .
Применяя свойство функции распределения случайной величины Х и учитывая непрерывность F(x), получим:
. ☻
Из приведенной выше теоремы следует, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события, так как событие, состоящее в том, что случайная величина Х приняла конкретное значение , является возможным.
Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.
.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величиныХ, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:. При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .