Образцы базовых задач по ЛА

Стр. 11 из 15

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

114. Найдите точку пересечения прямой x− 20 = y+ 9 = z + 9 и плоскости

30 −25 −20

x +7y+6z − 62 = 0.

115. Найдите точку пересечения прямой x− 2	= y+ 5	= z +3	и плоскости
8	4	−12
5x − 7y+ z − 42 = 0.

Выпуклые множества

Построение выпуклой оболочки системы точек

116. Перечислите по порядку все угловые точки выпуклой оболочки набора точек

A(− 2,10), B(1,5), C(3,7), D(0,9) и E(1,8).

Кривые второго порядка

Упражнения

x2 y2

117.Найдите координаты фокусов эллипса 42 + 72 = 1.

x2 y2

118.Найдите эксцентриситет эллипса 52 + 72 = 1.

119.Напишите каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом 3 √5 и c

7

расстоянием между фокусами 6√5.

y2 x2

120. Найдите коодинаты фокусов гиперболы 22 − 72 = 1.

y2 x2

121. Найдите эксцентриситет гиперболы 42 − 52 = 1.

x2 y2

122.Найдите уравнение асимптот гиперболы 52 − 72 = 1.

123.Напишите каноническое уравнение гиперболы с эксцентриситетом 1√145 и c

9

расстоянием между фокусами 2√145.

2

124.Напишите каноническое уравнение гиперболы с асимптотами y = ± 3 x и с расстоянием между фокусами 2√13.

125.Найдите коодинаты фокуса параболы y2 = 16x.

126.Найдите уравнение директрисы параболы x2 = 4y.

127.Найдите эксцентриситет параболы x2 = 12y.

128.Напишите каноническое уравнение параболы, у которой расстояние между фокусом

идиректрисой равно 2.

Виды кривых второго порядка

Стр. 12 из 15

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

129.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

9x2 +18x +150y+ 25y2 +9 = 0.

130.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

4x2 − 8x +16y+4y2 +4 = 0.

131.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

x2 − 2x − 8y+4y2 + 9 = 0.

132.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

9x2 +18x +96y− 16y2 +9 = 0.

133.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

−6x2 +2y− 48x − 1 = 0.

134.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

4x2 − 24x +2y+ y2 +37 = 0.

135.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

5x2 − 10x − 6y− 3y2 +2 = 0.

136.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 4x2 − 12x +5 = 0.

137.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 4y2 + 20y+27 = 0.

138.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 25y2 +10y+1 = 0.

Ответы

1. x = 2, y = 6. 2. x1 = 2, x2 = 6, x3 = 5. 3. x = − 5, y = − 2, z = 1. 4. x = 7, y = 5. 5. x1 = − 3, x2 = 5, x3 = − 1. 6. x = − 2, y = − 6, z = 7. 7. Если в качестве базисных

переменных выбрать x1,x2 то общее решение: x1 = − 20+ 72 x3, x2 = − 2+ 12 x3, x3 ;

базисное решение: x1 = − 20, x2 = − 2, x3 = 0. Если в качестве базисных переменных выбрать x1,x3 то общее решение: x1 = − 6+ 7x2, x3 = 4+ 2x2, x2 ; базисное решение:

x1 = − 6, x3 = 4, x2 = 0

. Если в качестве базисных переменных выбрать x2,x3

то общее

6

1

40

2

6

40

решение: x1 , x2 =

7

+

7 x1

, x3

=

7

+

7 x1

; базисное решение: x1

= 0, x2 =

7, x3

=

7 .

8. В качестве базиса данной системы векторов можно взять e1, e2 или e2, e3 или e1, e3 .

3

Можно заметить, что вектора системы удовлетворяют соотношнению e1 = 2 e2 +2e3 . 9. Это

линейно независимая система векторов, так что она сама и будет своим базисом. 10. Ранг системы арифметических векторов равен 1.11. Ранг системы арифметических векторов равен

2. 12. Ранг системы арифметических векторов равен 3. 13. v = 1(− 22;11;9) = (− 11;11;9). 8 4 8 8

14. Длина вектора v равна √34. 15. Первый вектор короче. Его длина равна √17. 16. Длина

вектора v равна √29. 17. −18. 18. −65√3. 19. cosα = 18					= 9 √161. 20. Угол тупой.
				√644	161
21. √11. 22. Φ = 18− 22+ (− 16) (9) = − 148. 23. v = − 3e1 − 5e2 . 24.
	5	14	. 25. Данный базис не является ортогональным. 26. e2 = (6; − 3),
v = −	17e1 +	17 e2
12	69		3	23
v = 20	e1 + 45	e2 =	5 e1 +	15e2 . 27. Размерность пространства решений равна 3. если в

Стр. 13 из 15

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

качестве базисной переменной взять x1, то ФНР будет иметь вид: v1 = 4;1;0;0 ,
v2 = 6;0;1;0 , v3											= − 7;0;0;1 . если в качестве базисной переменной взять x2, то ФНР
															1									3								7
будет иметь вид: v1 =														1;	4;0;0 , v2 = 0; − 2;1;0 , v3 =																	0;4;0;1 . если в качестве
																																		1				2
базисной переменной взять x3, то ФНР будет иметь вид: v1 =																																	1;0;6;0 , v2 = 0;1; − 3;0 ,
v =				0;0;7;1					. если в качестве базисной переменной взять x , то ФНР будет иметь вид:
3						6																										4
									1											4					6		. 28. Размерность пространства решений
v1 = 1;0;0; −									7 , v2					= 0;1;0;						7 , v3 = 0;0;1;7
равна 1. если в качестве базисных переменных взять x1, x2, то ФНР будет иметь вид:
v =				− 11; − 26;1									. если в качестве базисных переменных взять x , x , то ФНР будет
1																																		1	3
иметь вид: v1 =										11		;1; −				1			. если в качестве базисных переменных взять x2, x3, то ФНР
										26						26
будет иметь вид: v												=		1;26; −						1		. 29. Ранг матрицы равен 0.30. Ранг матрицы равен 1.31.
										1					11					11
																												−8				−1	−3			−5	0	6
																																				25		−30 .
Ранг матрицы равен 2.32. Ранг матрицы равен 3. 33.																												9				8	−4 . 34.				0
35.						. 36.	−3				4			−30							5		−33		9				. 37.							40	0	−48
					2				5		4			+			40			−24			=	45	−20
																													. 39. −11
−12						8			−22					−8					−34				0				2
	27					−14 +			−17					−4 =						10			−18 . 38. 12											−11		−4 . 40.
	−2					−6			2									12		0					7										1
12							−12 . 41.
						1										12				0 . 42. 4. 43. −90. 44. 475. 45. 8−3 =															512. 46. Имеет,
	−10					−10		10
поскольку количество неизвестных превышает число уравнений. 47. Имеет, поскольку
определитель матрицы, задающей эту систему, равен нулю.48. Не имеет, поскольку
определитель матрицы, задающей эту систему, не равен нулю.49.																																		= 35,		1 = 13,
									13								27					1	1	3		1				3
2 = − 27;x =																			. 50.							19			19			. 51.
										, y = −							35							=		19			19
									35												19 8			5
																										8				5
		−7				2	2						−1			2			2	. 52. X =
7																7			7								.								. 54. −2. 55.
				7		1 15				=				1		71			157											53. X =
1																2 23								3	−4							−7		5
			7 2 23																					6 −3								−3 6
			2								2			1		7			227		14			62	−		109			i. 58. z			= 4√2, arg(z) = −					3π
−4x					+ 4x+3+									. 56. −					17	−			i. 57. −				17											. 59.
										x− 1											17			17														4
z	=			43		64			arg(z)					13			π + 2πk =						1		= 26											5
				35		=	,							=									π. 60. z						38 = 419904, arg(z) = π. 61.
						243								6									6													3
z = 6 cos −							6	+ isin −								6	. 62. x1,2 = 7± 3i. 63. x											2		+ 14x +53 = 0. Таких уравнений
							π									π

существует бесконечное множество. Каждое из них может быть получено из этого уравнения

Стр. 14 из 15

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

															−8	−2			0	0	−1
																					0 . 66.
умножением на ненулевой множитель. 64. A = 6																−7 . 65. A = −5				0
	2	−4					−39												21 0	0	−6
A = −8		−1 .			67. f(v) =				19	= − 39e1 + 19e2 . 68. f(v) = 25 . 69.
Pef =	4		2															−1
	−1 −4				. 70. λ1 = − 1; λ2 = 1. 71. λ1 = 6, λ2 = − 9. 72. λ1,2 = − 6. 73.
λ1 = 7 3 = 343; λ2						= − 1 3 = − 1.														1
											74. λ1,2 = 2± 2i. 75. λ1 = − 3, v1 = α										, α ,
																				1
α ≠ 0; λ2 = − 1, v2 = β							3
							, β , β ≠ 0. 76. Характеристическое уравнение имеет вид:
							2
																3		−6	5
−λ3 +10λ2 − 31λ +30 = 0; λ1 = 2, λ2 = 5, λ3 = 3. 77. −6																		6	9 . 78.
																5		9	−7
Φ(x1,x2, x3) = − 4x12 + 16x1x2 − 2x1x3 − 9x22 − 6x2x3 − 6x32 . 79. Φ(y1,y2) = y12 + y22,
y1 = 3x1 +2x2, y2 = 4x2 . 80.									1 = 2,		2 = − 7. Эта квадратичная форма не
знакоопределённая. 81. Φ(y ,y ) = 50y2 − 75y2															. 82. x+ 4 = 0. 83. 2x+ y− 8 = 0. 84.
							1		2		1			2
x− 3 = y+ 3. 85.						x +3 = y+8 . 86.					x+4 = y+ 12 . 87. 7x+4y− 51 = 0. 88.
1		−5				7			1		4				−7
4x+5y− 4 = 0. 89. 8x− 3y− 92 = 090.												x +2			= y− 7 . 91.		x− 0		= y− 1. 92. Точка
													1		−2			−8	0
пересечения Q(3;4). 93. Точка пересечения Q(− 2;6). 94. Точка пересечения Q(− 3;3). 95.
ρ =	33	. 96. ρ =				35	. 97. arccos				61			= arccos 61				= arctg 7		. 98.
√74					√58					√65			58			√3770			61
arcsin		6			= arcsin			6		= arctg			6 . 99.
	√97 13						√1261					35
arccos		3			= arccos				3	= arccos				3	√34 = arctg 29 . 100.
	√25 34						√850						170					3
x+ 2 = y+ 4 = z − 1 = t − 2 = r − 4 . 101.														x− 3 = y− 1 = z − 12 = t . 102. ρ = √17. 103.
5		9			4		−5			−8				5		4		0	1
x+ 4	= y+ 2 = z + 7. 104.							x+ 8 = y			= z + 4. 105. −6x+6y+8z +18 = 0. 106. x− 2 = 0.
6		2			4				0	0			1
x		y	z
107. 3 −		6 +	5	− 1 = 0 или 10x− 5y+ 6z − 30 = 0. 108. 12x− 5y+9z − 13 = 0. 109.
arccos		48		= arccos					48	= arccos 4					√106 . 110.
	√72 53						√3816							53
arccos		10			= arccos				10	. 111.
	√33 37						√1221
arcsin		13			= arcsin			13		= arcsin 13					√29 . 112. ρ = √62. 113.
	√50 58						√2900						290
ρ =	99	= 11√2. 114. A(2;6;3). 115. Данная прямая лежит в данной плоскости.116.
√162			2
Угловыми точками выпуклой оболочки являются A(− 2,10),																		B(1,5), C(3,7),			D(0,9). 117.

Стр. 15 из 15

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2014/2015 уч. год

F1 0,√33 , F2 0, − √33 . 118.			2	√6. 119.				x2	y2	= 1. 120. F1 0,√53 , F2 0, − √53 .
			7					72 +	22
1	√41. 122. y = ±	7		x2	−	y2	= 1. 124.			x2	y2	= 1. 125. F 4,0 . 126.
121.		x. 123.		92		82				32	−
4		5									22
y+ 1 = 0. 127. 1. 128. y2 = 4x.			129. Эллипс. 130. Это окружность, частный случай эллипса.

131. Мнимый эллипс. 132. Гипербола. 133. Парабола. 134. Мнимые пересекающиеся прямые. 135. Пересекающиеся прямые. 136. Параллельные прямые. 137. Мнимые параллельные прямые. 138. Совпадающие прямые.