DKR-LA-E-1_-_varianty

Стр. 121 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

9. Даны вектора a = (2; −1;2), b = (−3;4; −1), c = (2;4; −1). Вычислите

Φ = −	2	2
	a	− b	−(a,b) (b,c). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
			3		−2	−3
10. Разложите вектор v =				по базису e1 =	, e2 =	.
			22		−6	4

11. Является ли базис e1 = (3; −4), e2 = (4;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1; −5) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 116

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

	10	−1	x			−56
			1	=			.
−9		5 x2				34

2. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

7 −5 −7 x1 −7−7 2 6 x2 = 25 .

6 −8 −7 x3 17

3. Определите, при каких значениях параметра η система уравнений имеет единственное решение

ηx1 −9x2 +8x3 = −17,

3x1 + x2 −2x3 = 3,

−6x1 +3x2 − x3 = 4.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 −18x2 +3x3 = −15,

x1 +10x2 − x3 = −7.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (0;6;3),

e2 = (−4; −4;1), e3 = (2;3;0) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;1;2), e2 = (2;2;5),e3 = (4;3; −1), e4 = (5;0; −5).

7. Найдите арифметический вектор если

v = −2a+3b, a = (4; −4;5; − 3),

b = (−2; −5;3; − 1).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = (−2; −3;3; −2) и

w = (2; −5; −4;2). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

Стр. 122 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

9. Даны вектора a = (1; −2; −3), b = (3;1;4), c = (−3;2; −3). Вычислите

2	2
Φ = a	− b	+(b,c) (a,c). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.

10.Разложите вектор v = (−42; −60) по базисуe1 = (−6; −8), e2 = (1;2).

11.Является ли базис e1 = (−2; −3), e2 = (3;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (3; −1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 117

1. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

2x1 − x2 +6x3 = 41,

−x2 + x3 = 4,

2x1 +3x2 = 15.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

−2	7	6	x1	−25
7	−2	8	x2	= −25 .
−6	4	−4	x3	10

3. Определите, при	каких значениях параметра μ система уравнений имеет
единственное решение
		12x +20x	−20x	= 2,
		9x11+15x22−15x33= 4,

−3x1 −9x2 +3x3 = μ.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 +32x2 − x3 = −19,

x1 +14x2 − x3 = −1.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −1;0;2),

e2 = (−5; −3; −8), e3 = (15;5;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−1;2; −2),e2 = (3; −3;5).

7. Найдите арифметический вектор v = a −2b, если a = ( −5;6;2; −2),

b = (−3; −5;2; − 5).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 7, w = 12 и угол между векторами vи w равен 120 .

9. Найдите вектор x, если a = (1;3), b = (1; −3) и известно, что (x,a) = −4,

Стр. 123 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

(x,b) = 5. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10.Разложите вектор v = (−20;43) по базису e1 = ( −5;4), e2 = (−3; −3).

11.Является ли базис e1 = (3;2), e2 = (−2;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1; −3) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 118

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

−4

4

25

x1

55

0

2

−5 x2

= −23 .

−2

5

0

x3

−22

2. Решите систему

линейных уравнений методом Гаусса

−2y−z+4t = −12,

−x−z +t = 4,

x

y−x+2z y =t 7,

3. Определите, при каких

4

−

+2 +4 = −37.

значениях параметра λ система уравнений совместнa

17x

+ λx

−3x

= 7,

5x11+3x22−5x33

= 4,

x1 +5x2 +6x3 = −2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−x1 +5x2 − x3 = − 2,

−2x1 +18x2 +2x3 = −32.

5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов

e1 = (−12;20; −8), e2 = (−1; −3;4), e3 = (8; −4; −4). Найдите какую-либо

равную линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя

0

бы один коэффициент не равен нулю.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−4;5;1),e2 = (1;3; −1).

7. Найдите арифметический вектор v = 2a +b +3c, если a = (−5; −2;6),

b = (6;1;5), c = ( −5;4;1).

8. Найдите длинувектора v = 3a −2b, если a = e1 +3e2 +2e3 +e4 +3e5,

b = 2e1 +e2 +3e3 −2e4 +4e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (−4;1;1) и такой, что

Стр. 124 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

(x,b) = −3, где b = (2;3; −1). Координаты векторов даны в ортонормированном

базисе.

10.Разложите вектор v = (21; −8) по базисуe1 = ( −6; −1), e2 = (1;4).

11.Является ли базис e1 = (3; −1), e2 = (−1;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2; −3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 119

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

7x−2y = 25,

8x +7y = 75.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−5x1 + x2 +5x3 = 13,

−10x1 +8x2 +6x3 = 90,

−4x1 −2x2 +6x3 = −20.

3.Определите, при каких значениях параметра ψ система уравнений имеет бесконечное число решений

−6x1 +2x2 +3x3 = −3,

5x1 −7x2 −2x3 = 5,

−9x1 +ψx2 +6x3 = 3.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 −17x2 + x3 = 1,

3x1 +3x2 +3x3 = 21.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (4;15;9),

e2 = (0; −1; −3), e3 = (− 1; −3;0) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−9;0; −6),e2 = (12;4;17), e3 = (0;5;10).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

3b +4c+5x = −3a +2b +2x,		если a = (3;1;5), b = (−6;5; −5), c = (5; −6;1).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

2πv = 2, w = 7 и угол междувекторами v и w равен 3 .

9. Найдите значение параметра λ, для которого вектора v и w +λv перпендикулярны, если v = (−3;5;5; −1) и w = (1; −3;1; −5). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

Стр. 125 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

10. Разложите вектор v =	−10	4			2
	по базисуe1 =	8	, e2 =			.
	−25			−1

11. Является ли базис e1 = (1;3), e2 = (4;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1; −4) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 120

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−7x+3y = −5,

7x −4y = 9.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−2x+3z −3t = 2,

−3x −4y+4z = 9,

	y−t = −2,

−3x+ y+4z +4t = −10.

3.Определите, при каких значениях параметра ψ система уравнений совместнa

x1 +6x2 −2x3 = 4,

ψx1 +18x2 −19x3 = 26,

−6x1 +2x2 −5x3 = 6.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−17x1 + x2 + x3 = 13,

−2x1 +2x2 −2x3 = 6.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (1; −2;0), e2 = (1;0;0),e3 = (1;1;1) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (2;2;3),

e2 = (−4;4; −3).

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−3a−4c+ x = 4a+b +2x,	если a = (−5; −5;4), b = (−1;4; −2),
c = (−3;4; −5).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = (−5; −2;3) иw = (2;3; −1). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите вектор x, если a = (2; −5), b = (1; −1) и известно, что (x,a) = 5,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 3.

10. Разложите вектор v = (−46;19) по базису e1 = ( −6;3), e2 = (4;2).

Стр. 126 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

	3		1
11. Является ли базис e1 =		, e2 =	3	, ортогональным? Если да, то
	−1

2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

−1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 121

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−4x2 +5x3 = 8,

5x1 +3x2 = 4,

−15x1 + x2 −10x3 = −22.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−9x−9y+3z = −102,

4x−5y−2z = 21,

−4x −8y+ z = −56.

3.Определите, при каких значениях параметра γ система уравнений совместнa

−2x1 +3x2 −7x3 = −2,

18x1 + x2 +γx3 = 0,

6x1 +5x2 −3x3 = −2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 −2x2 −2x3 = 6,

−x1 +15x2 +3x3 = 9,

x1 −8x2 −2x3 = −3.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (0;2;3), e2 = (−2;0;4),e3 = (−3; −2;0) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−5;0;10),e2 = (0;2;4), e3 = (1;1;2).

7. Найдите арифметический вектор v = −a +2b, если a = (6;1;6;1),

b = (−6;1;2; −6).

8. Вычислите

7a+4b,

угол междувекторами a и

4

если известно, что a = 4, b = 6, cosα = − 5, где α —

b.

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (2;2; −3) и такой, что

(x,b) = −2,	где b = (3;5; −2). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.

Стр. 127 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

10.Разложите вектор v = (−12; −47) по базисуe1 = (7; −3), e2 = (8;7).

11.Является ли базис e1 = (3;4), e2 = (−4;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2; −1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 122

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

7x − y = 49,

8x −7y = 15.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−x+2y−2t = 9,

y−3z −t = 0,

5x − y+5z+2t = − 17,

x+3z = 0.

3.Определите, при каких значениях параметра τ система уравнений имеет бесконечное число решений

7x1 + x2 +7x3 = 5,

−5x1 −3x2 +4x3 = 6,

x1 −9x2 +τx3 = 39.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 −35x2 − x3 = −3,

−x1 +25x2 +2x3 = 11,

2x1 −2x2 +2x3 = 14.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (4; −2;2),

e2 = (−1;0; −2), e3 = (− 9;6;0) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−2; −3; −2),e2 = (0;0;1), e3 = (0; −2; −2).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−b −c−2x = 5a −4b +3x,		если a = (3; −3;1), b = ( −4;1; −4),

c = (2; −2; −1).

8.Найдите длинувектора v = 2e1 +e2 +2e3 +3e4, где e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис.

9.Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (−2;3;2),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (2;1; −2).

10. Разложите вектор v = (−10; −15) по базисуe1 = (4;3), e2 = (7;9).

Стр. 128 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

11. Является ли базис e1 = (−3;2), e2 = (2; −3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1; −2) по этомубазису. Координаты векторов даны в

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 123

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

−2	−5	8	x	−4
1	0	−4 y = −13 .
4	5	0 z 26

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

10x1 + x2 +4x3 = 49,

−2x1 +8x2 +4x3 = −20,

8x1 −8x2 −2x3 = 50.

3.Определите, при каких значениях параметра α система уравнений имеет единственное решение

12x1 −8x2 +16x3 = 16,

x1 +4x2 + x3 = α,

−9x1 +6x2 −12x3 = −12.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 −4x2 −10x3 −9x4 = −24,

4x1 +3x2 +17x3 +21x4 = 37,

−x1 + x2 + x3 = 3.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0; −4; −8),e2 = (12;9;2), e3 = (3;2;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−2; −4;3),e2 = (2; −5;2).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−a −3b +2x = −2a + x,	если a = (3;4; −1;1), b = (2;5; − 1;1).

8.Выясните, угол междувекторами v = 5e1 −e2 −6e3 +4e4 +e5 +4e6 иw = −3e1 +5e2 −4e3 +2e4 −2e5 −e6 острый, прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Тут e1, e2, e3, e4, e5, e6 — ортонормированный базис.

9.Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (4; −1; −4),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−4;1;3).

10. Разложите вектор v = (27;16) по базисуe1 = (7;2), e2 = (−8;6).

Стр. 129 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

1		−3
11. Является ли базис e1 =	, e2 =		, ортогональным? Если да, то
3			3

2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 124

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

7x −8y = 20,

−x+6y = 2.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−x+3y+2z−3t = −12,

−3x−z +t = 14,

4x−3y = −14,

4y+2z −3t = −12.

3.Определите, при каких значениях параметра ξ система уравнений имеет единственное решение

−3x1 + x2 +5x3 = ξ,

4x1 −2x2 +5x3 = 4,

x1 −2x2 −2x3 = 2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

17x1 −2x2 + x3 = 19,

11x1 − x2 + x3 = 13,

4x1 + x2 +2x3 = 8.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (1;1; −3),

e2 = (−3; −3;9), e3 = (4;2; −8) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0; −8;12),e2 = (−3; −9;0), e3 = (− 2;4; −15).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

4a +c− x = −5a +4b −3c+3x,	если a = (− 5;1; −6), b = (−4;2; −1),
c = (−3;6;5).

8.Найдите длинувектора v = (6; −5; −5;1;1;4), координаты которого заданы

внекотором ортонормированном базисе.

9. Найдите вектор x, если a = (3; −2), b = (3; −1) и известно, что (x,a) = −5,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 2.

Стр. 130 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

36			8	2
10. Разложите вектор v =		по базису e1 = , e2 =		.
36			5	−1
−2			−3
11. Является ли базис e1 =		, e2 =	, ортогональным? Если да, то
	3		−2

−3

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

−1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 125

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

2x +3y = 2,

3x−2y = −23.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−x1 +2x2 +2x3 = 0,

−x1 +2x3 + x4 = 1,

3x1 − x2 −3x3 +2x4 = −19,

x2 − x4 = 2.

3.Определите, при каких значениях параметра ε система уравнений имеет бесконечное число решений

−6x1 +6x2 +9x3 = 3,

−12x1 − 3x2 +εx3 = −24,

10x1 −10x2 −15x3 = −5.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

12x1 −17x2 +2x3 +5x4 = 31,

8x1 −11x2 + x3 +3x4 = 17,

−16x1 +17x2 +3x3 − x4 = 21.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (−1;6; −4), e2 = (0;1; −1),e3 = (1;0; −2) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−5; −10;0),

e2 = (−2; −5; −3), e3 = (0; −2; −6).

7. Найдите арифметический вектор v = −2a+b, если a = (−4;1;2; −3),

b = (−5;4; −5; − 5).

8. Выясните, какой из векторов v = 2e1 −4e2 +3e3 −3e4 и

w = 5e1 −4e2 −2e3 +2e4 короче? Тут e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис.