diskr_matem
.pdfФедеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Факультет «Прикладная математика и информационные технологии» Кафедра «Математика»
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института заочного обучения
_________ Н.В. Зверева
__ ___________ 2015 г.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по
заочной форме по направлению 38.03.05 «Бизнес-информатика»
Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера
Рекомендовано кафедрой «Математика», протокол № 12 от 14 мая 2015 г.
Москва – 2015
Материал подготовили:
содержание дисциплины и методические указания ‒ предисловие,
темы 1–3 – проф. Кремер Н.Ш., тема 4 – доц. Эйсымонт И.М., тема 5 – доц. Потемкин А.В.;
варианты контрольной работы подготовлены авторами совместно.
Учебно-методическое пособие рекомендовано кафедрой «Математика».
Зав. кафедрой «Математика» профессор В.Б.Гисин
Дискретная математика. Учебно-методическое пособие для студентов второго курса бакалавриата, обучающихся по направлению 38.03.05 «Бизнесинформатика» / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Финуниверситет, 2015.
В учебно-методическом пособии приведен обзор основных понятий и положений дисциплины «Дискретная математика», даны методические рекомендации по их изучению, выделены типовые задачи с решениями, представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки по данной дисциплине, приведены варианты контрольной работы для студентов первого курса бакалавриата направления «Бизнесинформатика», а также методические указания по ее выполнению.
ББК 22.3
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дискретная математика – одна из важнейших составляющих современной математики. В отличие от других математических дисциплин учебного плана направления бакалавриата «Бизнес-информатика», таких как математический анализ, линейная алгебра и др., дискретная математика имеет дело с объектами нечисловой природы, что позволяет, в частности, использовать ее методы для моделирования социальных и экономических процессов. Понятия и методы дискретной математики необходимы для постановки различных прикладных задач, для усвоения и разработки современных информационных технологий, лежат в основе теории и практики программирования.
Целью изучения дисциплины «Дискретная математика» является освоение соответствующего математического аппарата, позволяющего анализировать, моделировать и решать прикладные (в том числе экономические) задачи.
Задачи изучения вытекают из требований к результатам освоения программы бакалавриата компетенций, установленных Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (ФГОС-3+) по направлению 38.03.05 «Бизнес-информатика».
Входе изучения дисциплины ставятся задачи:
‒освоение методов дискретной математики для решения прикладных
задач;
‒выработка умения моделировать реальные объекты и процессы с использованием математического аппарата дискретной математики;
‒развитие логического и алгоритмического мышления студентов, повышение уровня их математической культуры;
‒развитие навыков самостоятельной работы по изучению учебной и научной литературы.
Знания, полученные студентами в процессе изучения дисциплины «Дискретная математика», необходимы для изучения дисциплин математического и естественнонаучного цикла («Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Языки и методы программирования»), а также ряда дисциплин профессионального цикла.
Всоответствии с ФГОС-3+ по направлению «Бизнес-информатика». квалификация академический бакалавр, процесс изучения дисциплины «Дискретная математика» на формирование следующих компетенций:
общекультурных компетенций (ОК)
– способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);
профессиональных компетенций (ПК)
– способность использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности для теоретического и экспериментального исследования (ПК-17);
3
–способность использовать соответствующий математический аппарат
иинструментальные средства для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования (ПК-18);
–умение готовить научно-технические отчеты, презентации, научные публикации по результатам выполненных исследований (ПК-19).
Врезультате изучения дисциплины студент должен:
а) знать основные понятия теории множеств, комбинаторики, математической логики, теории графов и теории алгоритмов, используемых в экономических исследованиях при разработке новых информационных технологий и при изучении других дисциплин математического и естественнонаучного, профессионального циклов;
б) уметь:
–применять методы дискретной математики для решения прикладных
задач;
–строить математические модели прикладных задач.
в) владеть навыками решения задач дискретной математики.
По дисциплине ««Дискретная математика» студенты бакалавриата направления «Бизнес-информатика» должны выполнить одну контрольную работу (задания к которым приводятся в данном пособии). Контрольная работа (в соответствии с учебным графиком) могут быть существенно дополнена за счет частичного использования компьютерной обучающей программы (КОПР). В процессе изучения дисциплины студенты проходят компьютерное тестирование и сдают экзамен.
При выставлении итоговой оценки студента по данной дисциплине учитываются балльная оценка текущей успеваемости (качество подготовки и работа на практических занятиях, выполнение контрольной работы, компьютерное тестирование, посещение занятий) и результаты сдачи экзамена.
.
Содержание дисциплины и
4
методические рекомендации по ее изучению
Ниже по каждой теме приводится учебно-программный материал1, который должен изучить студент со ссылками на рекомендованные учебники и учебные пособия.
Контрольные вопросы по каждой теме представлены ниже в разделе «Вопросы для самопроверки».
Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для самостоятельной работы приводятся ниже в разделе «Задачи для самоподготовки».
Вопросы выполнения контрольных работ с частичным использованием КОПР рассматриваются в брошюре [Электронные ресурсы, 3]: «Математика. Методические указания по проведению и выполнению контрольных работ с использованием КОПР».
Тема 1. Множества, функции, отношения
Множества – основные понятия. Диаграммы Венна. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Кортежи и прямое (декартово) произведение множеств. Соответствия и их свойства. Взаимно однозначные соответствия. Мощности бесконечных множеств. Принципы включений – выключений. Понятие функции. Обратные функции. Суперпозиции и формулы. Способы задания функций. Общее понятие отношения. Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, симметричность, транзитивность). Отношение эквивалентности и классы эквивалентности. Отношение порядка. Линейный порядок и частичный порядок. ([1, часть 2, кроме § 5, 6]; [2, разд. 1.1‒ 1.3]; [3, § 5.1, 13.1 – 13.3]).
Понятие множества относится к числу первичных, под которым понимается некоторая совокупность элементов, объединенных по какимлибо признакам. С множествами, их графическим изображением на диаграммах Венна студенты встречались ранее в курсах математического анализа и теории вероятностей. Там же рассматривались понятия
подмножества В (части данного множества А: В А ), пустого множества
(не содержащего ни одного элемента), дополнения А множества А (состоящего из всех элементов некоторого универсального множества2 U, не входящих в множество А). Определялись основные операции над множествами А и В: объединение А В (множество, состоящее из всех элементов множества А и В), пересечение А В (множество, состоящее из всех общих элементов А и В), разность А \ В (множество, состоящее из всех элементов множества А, не входящих в множество В).
1Учитывая, что учебный материал дисциплины недостаточно отражен в доступных для студента-заочника пособиях, содержание отдельных тем дается более подробно, чем это принято в методических пособиях (указаниях).
2Под универсальным множеством здесь понимается множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче.
5
В данном курсе вводится понятие прямого, или декартова, произведения множеств А и В, т.е. множество А В , элементы которого представляют всевозможные упорядоченные пары элементов множеств А и В (например, декартово произведение координатных осей Ох и Оу есть плоскость Оху).
Множество называется конечным, если содержит конечное число элементов и – бесконечным в противном случае.
Если между множествами А и В имеет место взаимно однозначное
соответствие |
(т.е. |
каждому элементу а А соответствует |
определенный |
||
элемент b B |
( a |
b ) и наоборот |
( b |
a )), то говорят что множества А и В |
|
имеют одинаковую мощность |
или |
эквивалентны: A ~ B . |
Для конечных |
множеств это означает, что в них одинаковое число элементов. В случае бесконечного множества мощность является обобщением понятия «число
элементов». В этом смысле счетные3 |
множества являются «самыми |
|||||||||||||||||||||||||||||
маленькими» из бесконечных множеств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример |
1. |
|
Даны |
множества |
чисел |
|
|
A |
1, 2, 4, 5 , |
В |
4, 5, 6, 7 , |
||||||||||||||
С 2, 3, 5, 7 |
и |
универсальное |
множество |
U |
|
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . |
Найти |
||||||||||||||||||||||
множества чисел: D |
|
|
|
|
B ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Являются |
||||||||||||||||
B |
C |
C \ |
A |
E |
B |
C |
В |
C \ A |
|
|||||||||||||||||||||
ли множества Е и D равными? эквивалентными? включающими одно в |
||||||||||||||||||||||||||||||
другое ( D |
E или E |
D )? пересекающимися, |
но не включающими одно в |
|||||||||||||||||||||||||||
другое? непересекающимися ( D E |
|
)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Для нахождения множества D вначале найдем: |
|||||||||||||||||||||||||
пересечения множеств B |
C |
5, 7 |
, |
A |
B |
4, 5 , |
дополнение множества С |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, 4, 6, 8 , |
разность множеств С \ A |
|
|
|
. Теперь |
||||||||||||||||||
(до множества U) C |
|
B 1, 6, 8 |
||||||||||||||||||||||||||||
D |
5, 7 |
1, 6, 8 |
1, |
5, 6, 7, 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Для |
нахождения |
множества |
|
Е |
вначале |
найдем: |
|
|
|
1, 2, 3, 8 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 8 , |
|
|
|
|
|
, В |
|
|
|
|
|
7 . |
||||||||||
В |
С |
1, 2, 3, 8 |
1, 4, 6, 8 |
|
|
С \ А |
|
3, 7 |
С \ А |
4, 5, 6, 7 |
|
|
3, 7 |
|||||||||||||||||
Теперь |
Е |
1, 8 |
7 |
|
1, 7, 8 . Множества D и |
Е – |
не равные |
(так как |
не |
состоят из одинаковых элементов), не эквивалентные (так как имеют разные мощности (число элементов)), причем множество Е включается в множество
D ( E D ). ►
Бинарным (двухместным) отношением множеств А и В называется
любое подмножество R декартова множества |
А В , т.е. |
R |
А В . Это |
||||
означает, |
что |
если элементы х и |
у связаны |
бинарным |
отношением R |
||
(записываемым |
в виде xRy), то пара (х, у) является элементом R, т.е. |
||||||
xRy |
x, y |
R . |
Среди свойств |
бинарных |
отношений |
выделяют |
рефлексивность, симметричность, транзитивность ([1, часть 2, § 10]; [3, §13.3]). Бинарное отношение, для которого выполнены указанные три свойства, называется отношением эквивалентности, являющееся обобщением понятия равенства. Подмножества элементов, эквивалентные данному, называется его классом эквивалентности. Если бинарное
3 Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (его элементы можно перенумеровать).
6
отношение R на множестве Х рефлексивно, транзитивно и антисимметрично,
то оно называется отношением порядка (отношением частичного порядка).
Отношение частичного порядка называется линейным порядком, если для любых значений х и у имеет место либо xRy, либо уRх.
Соответствие f , сопоставляющее каждому элементу х множества Х один и только один элемент у множества Y, называется отображением
множества Х на множество Y. |
|
|
|
|
|
Функцией называется |
бинарное отношение |
f , если |
из |
x, y |
f и |
x, z f , следует, что y z . |
Если область определения и область значений |
||||
функции соответственно Х и Y, то говорят, что |
функция |
f |
отображает |
||
множество Х на множество Y, т.е. f : Х Y . Это означает, |
что для любого |
||||
элемента x X существует единственный элемент y |
Y такой, что x, y |
f . |
Подробнее о функциях говорилось в курсе «Математического анализа». Важное значение в теории множеств имеет формула включений-
выключений (принцип включений-выключений), позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств. В простейших случаях (для двух или трех множеств) эта формула имеет вид:
|
|
|
|
|
|
А В |
|
А |
|
|
В |
|
А |
В |
|
, |
|
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2) |
|||||||
А В С |
|
А |
|
В |
|
С |
|
А В |
|
|
А |
С |
|
В С |
|
А В С |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Из 250 абитуриентов экономического вуза, сдававших вступительные экзамены, отметку «3» получили: по математике 86 чел, по русскому языку – 71, обществознанию – 50, по математике или русскому языку – 130, по математике или обществознанию – 112, по русскому языку или обществознанию– 94, по всем трем предметам – 18 чел. Сколько абитуриентов сдали вступительные экзамены: а) без троек; б) с одной тройкой по математике; в) с одной тройкой.
Р е ш е н и е. а) Пусть А , В , С – число абитуриентов, получивших
отметку «3» соответственно по |
|
математике, |
русскому |
языку |
и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обществознанию. По условию |
А |
86 , |
В |
71, |
С |
50 , |
А В |
130 , |
А С |
|
112 , |
ВС 94, А В С 18 . Вначале найдем число абитуриентов, получивших
оценку «3» |
по математике и русскому языку, т.е. |
|
А |
В |
|
. Из формулы (1) |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
А |
В |
|
|
А |
|
В |
|
А |
В |
|
86 71 130 27 . Аналогично |
|
|
А |
С |
|
86 50 112 24 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В |
С |
|
71 |
50 |
94 |
27 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь найдем число, абитуриентов, получивших оценку «3» хотя бы |
||||||||||||||||
по |
одному |
из |
трех |
предметов, т.е. |
|
А В С |
|
. По формуле (2) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
А |
В С |
|
86 |
71 |
50 27 |
24 27 18 147 . |
|
|
Следовательно, |
число |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
абитуриентов, |
сдавших |
вступительные |
экзамены |
без троек, |
равно |
|||||||||||||
250–147=103 (чел). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б) Вначале найдем число абитуриентов, имеющих только две тройки – |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
по математике и русскому языку: |
А B |
|
А |
В С |
27 |
18 9 , по математике |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
математика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
русский |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
язык |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
53 |
|
9 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и обществознанию: А С
Следовательно, только одну тройку по математике имеют 86–
–9–6–18=53 (чел).
в) Аналогично п. б) найдем число абитуриентов, имеющих только одну тройку по русскому языку:
71– (27–18) –(27–18) –18=35 (чел)
и по обществознанию:50–(24–
–18) – (27–18) –18=17 (чел). Всего абитуриентов, имеющих только одну тройку, равно 53+35+17=105
(чел). Решение задачи легко иллюРис. 1 стрируется на диаграмме Венна.
(рис.1)►
Тема 2. Комбинаторика
Предмет комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биномиальные коэффициенты и соотношения для них. Задачи перечисления. Подсчет числа функций с конечными областями определения. ([1, часть 3]; [2, разд. 3.1]); [3, § 1.5]).
Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением частей конечного множества, в частности, комбинаторных задач на подсчет числа различных комбинаций.
Студенты должны четко знать правила комбинаторики:
- правило суммы: если объект А1 может быть выбран n1 способами, А2 –
другими n2 |
способами, то выбор одного из объектов А1 или А2 |
может быть |
|
осуществлен n1 + n2 способами; |
|
|
|
- правило произведения: если объект А1 может быть |
выбран |
n1 |
|
способами, |
после каждого такого выбора объект А2 может быть выбран |
n2 |
|
способами, |
то выбор всех объектов А1 , А2 в указанном порядке может быть |
осуществлен n1 n2 способами.
Из множества n различных элементов могут быть образованы подмножества (комбинации) из m элементов 0 m n.
Если комбинации из n элементов по m отличаются, либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то их называют размещениями. Число размещений из n элементов по m находятся по формуле:
Аm |
n n 1 n 2 ... n m 1 или Аm |
|
n! |
. |
||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
n |
|
n |
n |
m ! |
|
|
|
|
|
||||
|
m сомножителей |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(где n! 12 3 ...n ).
8
Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по m находятся по формуле:
Cnm |
n n |
1 ... n m 1 |
или Cnm |
n! |
|
. |
||
|
|
m ! n |
|
|||||
|
|
1 |
2 ...m |
|
m ! |
|||
Свойства числа сочетаний: |
|
|
|
|
|
|
||
|
С 0 |
C n |
1 (ибо 0! |
1), C m |
C n m . |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
n |
|
|
Если комбинации |
из |
n |
элементов |
отличаются |
только порядком |
элементов, то их называют перестановками. Число перестановок из n элементов находится по формуле:
Pn n!
Пример 3. В первом туре конкурса участвуют 16 человек. Сколько существует различных исходов этого тура, при которых совпадают участники, занявшие призовые 1-е, 2-е и 3-е места, а также два участника, занявшие 15-е и 16-е места и выбывающие из дальнейшего участия в конкурсе?
Р е ш е н и е. Способы распределения участников, занявших 1-е, 2-е и 3-е места (из 16), отличаются как составом участников, так и их порядком; их число – число размещений А163 . Из оставшихся 16 3 13 участников два
выбывают из конкурса (порядок этих участников значения не имеет); их число – число сочетаний С132 . По правилу произведения (см. с. 8) получаем,
что число различных исходов первого тура конкурса, удовлетворяющих условию задачи, есть
|
|
А3 |
С 2 |
16 15 14 |
13 12 |
262080 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
16 |
|
13 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(или А3 |
С 2 |
16! |
13! |
|
|
16! |
|
11! 12 13 14 15 16 |
262080). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16 |
13 |
13! |
2!11! |
2!11! |
|
|
|
2!11! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Другой способ решения состоит в том, что общее число различных исходов первого тура с 16-ю участниками (без учета распределения тех или иных мест) равно числу перестановок P16 . Перестановки участников,
занявших места с 4-го по 14-е (т.е. 11 мест), а также 15-е и 16-е места (2 места) приводят к совпадающему в соответствии с условием исходу первого тура; их число (по правилу произведения) равно P11 Р2 . Значит, число различных исходов первого тура конкурса, удовлетворяющих условию, есть
|
Р16 |
|
16! |
|
262080. ► |
|
|
Р11 |
Р2 |
2!11! |
|||
|
|
|||||
Если в комбинациях из |
n |
элементов часть элементов (или все) |
являются одинаковыми, то их называют комбинациями (размещениями, сочетаниями, перестановками) с повторениями.
Соответствующие формулы таких комбинаций с повторениями, приведены в пособии ([1, часть 3]; [3, § 1.5]). Там же рассматриваются задачи на подсчет различных комбинаций [1, 1-ое практическое занятие]; [3, примеры 1.11 – 1.15].
9
Тема 3. Математическая логика
Основные понятия логики: высказывания и рассуждения. Основные логические операции и их свойства. Алгебра высказываний. Понятие о булевской алгебре; алгебра высказываний как интерпретация булевской алгебры. Логические функции и способы их задания – таблицы и формулы. Дизъюнктивные и конъюнктивные формы. Теорема о функциональной полноте. Исчисление высказываний. Понятие об алфавите, формулах, аксиомах, правилах вывода и основных теоремах исчисления высказываний. Логика предикатов. Предметная область и предметные переменные. Кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Эквивалентные соотношения в логике предикатов. Общезначимые и противоречивые формулы. Запись утверждений естественного языка в логике предикатов. Понятие об исчислении предикатов ([1, часть 1, кроме §
11]; [2, разд. 1.4,1.5]; [3, § 13.1 – 13.3]).
При изучении темы следует усвоить основные понятия алгебры логики: высказывание (предположение, которое может быть истинно или ложно, при этом логическая переменная х равна соответственно 1 или 0),
логические операции (логические связки) с помощью которых строятся новые высказывания, образующие формулы алгебры логики (алгебры высказываний), таблицы истинности таких высказываний.
Надо четко знать основные логические операции: отрицание высказывания Х (высказывание Х , которое истинно, когда Х ложно, и ложно, когда Х – истинно), конъюнкция (дизъюнкция) двух высказываний Х и Y
(высказывание X |
Y ( X |
Y ), которое истинно (ложно) тогда и только тогда, |
|||||||||||||
когда Х и Y истинны (ложны)), импликация (эквивалентность) двух |
|||||||||||||||
высказываний Х и Y (высказывание X |
Y ( X |
Y ), которое ложно (истинно) |
|||||||||||||
тогда и только тогда, когда Х истинно, а Y ложно (Х и Y оба истинны или оба |
|||||||||||||||
ложны)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В табл. 1 и 2 приводятся таблицы истинности этих высказываний. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
Х |
|
|
Отрицание X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
Х |
|
|
Y |
|
Конъюнкция |
Дизъюнкция |
|
Импликация |
Эквивалентность |
||||||
|
|
|
|
|
X |
Y |
|
X |
Y |
|
X Y |
X Y |
|||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
||||
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
||||
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
Логические операции высказываний тесно связаны с операциями над множествами. Отрицание высказывания соответствует дополнению
10