DKR-LA-E-1_-_varianty

Стр. 391 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

9. Найдите значение параметра λ, при котором векторы vи w + λv

перпендикулярны, если v = (−3;3; −4) и w = (2; −3; −4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10.Разложите вектор v = (9;25) по базису e1 = (−7; −5), e2 = (6;8).

11.Является ли базис e1 = (−3;1), e2 = (−1; −3), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (2; − 1) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 376

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

	7	6	x			11
			1	=			.
−5		9	x2		−61

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

2x1 + x2 +3x3 = −2,x1 − x2 +2x3 + x4 = −3,

x1 +3x2 −2x4 = 5,

5x3 +3x4 = −21.

3.Определите, при каких значениях параметра ζ система уравнений совместна

4x1 + x2 +5x3 = −1,

7x1 +5x2 +6x3 = 1,

−5x1 −11x2 +2x3 = ζ.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 +2x2 −6x3 = −3,

x1 − x2 +15x3 = 3,

−x1 +3x2 −29x3 = −7.

5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов

e1 = (0; −3; −6), e2 = (15;6; −6), e3 = (20;20;16). Найдите какую-либо равную

линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один

0

коэффициент не равен нулю.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (5;2;12),e2 = (2; −4;0), e3 = (2;0;3).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

2a −b +3c+4x = a +3b + x,		если a = (−4;5; −4), b = (5;4; −1),

c = (2;4; −5).

8. Найдите длинувектора v = − a+3b, если a = −e1 +2e2 − e3 +2e4,

Стр. 392 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

b = 2e1 +e2 +3e3 −2e4, где e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x,		−1) и известно, что (x,a) = 3,
	если a = (1; −2), b = (3;

(x,b) = −6. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
62		−7	−5
10. Разложите вектор v =	по базису e1 =	, e2 =	.
58		−7	−4

11. Является ли базис e1 = (−2;3), e2 = (−3; −2), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (−3;2) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 377

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

1	−8	1 x1	−43
0	2	1 x2 = 14 .
1	0	2 x3 7

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

x +3z −3t = −11,

3y−2t = −15,

2x+3y+2z −3t = −15,

x+2y− z = −3.

3.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений имеет бесконечное число решений

φx1 +10x2 −6x3 = 4,

10x1 −4x2 +2x3 = 6,

−25x1 +10x2 −5x3 = −15.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

10x1 − 2x2 −2x3 = − 2,

5x1 + x2 +3x3 = −9,

−25x1 +2x2 − x3 = 17.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (2;0;4),

e2 = (−5; −4;2), e3 = (0;1; −3) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (1;0; −2),e2 = (−5;3;9), e3 = (0; −9;3).

7. Найдите арифметический вектор v = 2a +3b, если a = (4;2; −2; −1),

b = (5; −6;6; −4).

Стр. 393 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

8. Найдите длинувектора v = − 5e1 +4e2 +e3, где e1, e2, e3 —

ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (1; −4;4) и такой, что

(x,b) = 4,	где b = (−2;1; −3). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
	−26				3		−5
10. Разложите вектор v =			по базисуe1 =			, e2 =	.
		16			2		5
		1			3
11. Является ли базис e1 =			, e2 =		, ортогональным? Если да, то

	−3	−1
	2
разложите вектор v =	по этомубазису. Координаты векторов даны в

−3

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 378

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

	7	9	x			41
			1	=			.
8		−7 x2			−5

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−2x1 − x2 +3x3 = −41,

−5x1 +7x2 +4x3 = −2,

−3x1 −4x2 +5x3 = −85.

3.Определите, при каких значениях параметра γ система уравнений совместнa

x1 +3x2 −4x3 = 8,

7x1 + x2 +γx3 = −10,

5x1 +5x2 + x3 = 7.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 − x2 − x3 = 15,

−28x1 −2x2 +2x3 = 2,

22x1 + x2 −2x3 = 6.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (0;2;0), e2 = (0;2;2),e3 = (1;1; −1) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (16; −8; −20),e2 = (−20;10;25), e3 = (−8;4;10).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

Стр. 394 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

4a + x = 2a −b +3x, если a = ( −2;5; −3;2), b = (5;3;1;5).

8. Выясните, угол междувекторами v = (10; −2; −6;2) и w = (5; −1; −3;1)

острый, прямой, тупой или эти вектора коллинеарны? Координаты векторов даны

вортонормированном базисе.

9.Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (5;4; −5) и такой, что

(x,b) = −4,	где b = ( −1; −5;4). Координаты векторов даны в

ортонормированном базисе.

10.Разложите вектор v = (52;32) по базисуe1 = (−6; −8), e2 = (5;2).

11.Является ли базис e1 = (1;3), e2 = (3;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2; −1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 379

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

−3	0	2 x1	27
0	2	−5 x2	= −32 .
−9	2	−3 x3	25

2. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

−9	−9	7		x		124
8	8	−7		y		= −111 .
−2	−1	1		z		20

3. Определите, при каких значениях параметра ζ система уравнений имеет единственное решение

−16x1 −13x2 +16x3 = ζ,

−8x1 −10x2 +8x3 = 5,

−12x1 −15x2 +12x3 = 4.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−14x1 + x2 +3x3 = 17,

−11x1 + x2 +2x3 = 14,

−16x1 +2x2 +2x3 = 22.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (0; −2; −3),

e2 = (−3;0;3), e3 = (1; −6; −10) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;4; −12),e2 = (0; −3;9), e3 = (0; −2;6), e4 = (0;2; −6).

Стр. 395 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

2a −4b +3x = 4a−3x,	если a = (1;2; −2; −4), b = (5;4; −2; −3).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

π

v = 7, w = 14 и угол между векторами vи w равен 3 .

9. Найдите значение параметра λ, при котором векторы vи w + λv перпендикулярны, если v = (−2;1;2) и w = (3; −1;4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

42		−9		−8
10. Разложите вектор v =	по базису e1 =		, e2 =	.
1			7	−5

11. Является ли базис e1 = (3;2), e2 = (1;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1;2) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 380

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−2x +z = −1,

x−3y = −7,

7x −18y−z = −40.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

	3	−1		1		2		x			8	.
0 0				1		−3	y			= 7
	2	−2		0		−1		z			19
	5	−3		2		0		t			28
3. Определите, при каких значениях						параметра ψ система уравнений имеет
бесконечное число решений
			4x		−5x		−6x			= 0,
				x11+ψx22+9x33 = 0,

−3x1 +3x2 + x3 = 0.

4. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

5x1 +4x2 +28x3 +4x4 = −34,

−x1 −12x2 +2x4 = 4,

x1 +20x2 −4x3 −4x4 = −2.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (−9;4;15), e2 = (12;8;0),e3 = (0;4;6) компланарными? Ответ обоснуйте.

Стр. 396 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0; −6; −3),e2 = (6; −5; −4), e3 = (− 8; −4;0).

7. Найдите арифметический вектор v = a +2b, если a = ( −5;2;4;1),

b = (−1;2; −1;4).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = 4e1 −5e2 −2e3 и

w = 4e1 +3e2 +5e3, где e1, e2, e3 — ортонормированный базис.

9. Найдите значение параметра λ, для которого вектора v и w +λv

перпендикулярны, если v = (2;2;1;2; −4; −1) и w = (1;2; −4; −4;1;4).

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10. Разложите вектор v = (28;64) по базисуe1 = (6;8), e2 = (−4;8).

11. Является ли базис e1 =		−1	3
		, e2 =	, ортогональным? Если да, то
		−3	−3
	3
разложите вектор v =	по этомубазису. Координаты векторов даны в

−2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 381

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x + y = 18,

−3y+4z = 6,

−4x+7y−16z = −50.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x1 + x2 −4x3 = −23,

−3x1 +3x2 +6x3 = 12,

6x1 −3x2 −9x3 = −27.

3.Определите, при каких значениях параметра ρ система уравнений имеет единственное решение

−12x1 +3x2 +18x3 = 3,

−7x1 −11x2 +3x3 = ρ,

8x1 −2x2 −12x3 = 3.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 +2x2 −10x3 = 2,

−x1 + x2 +9x3 = 7,

−2x1 + x2 +16x3 = 10.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (2;2;10), e2 = ( −1;0; −2),

Стр. 397 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

e3 = (−18;12;0) компланарными? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−9; −4; −5),e2 = (−12;0; −4), e3 = (0; −10; − 5).

7. Найдите арифметический вектор v = −2a+3b+3c, если a = (−4;3;1),

b = (−5;4;4), c = (5; −3;3).

8.Вычислите скалярное произведение векторов v = 6e1 +2e2 +3e3 +e4 −5e5 и

w = −6e1 +2e2 −3e3 −2e4 +5e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

9.Найдите значение параметра λ, для которого вектора v и w +λv

перпендикулярны, если v = (5;4; −2; −4;5; −5) и w = (4;6; −3; −3; −4;4).

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10. Разложите вектор v = (6;24) по базису e1 = (−2;8), e2 = (−2; −4).

1		−3
11. Является ли базис e1 =	, e2 =		, ортогональным? Если да, то
3			4

2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 382

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−7x1 +2x2 = 38,

−x1 +7x2 = −8.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

−2	8	−10		x		6
−2 7		−6		y		= 10 .
2	−7	3		z		−16

3. Определите, при каких значениях параметра ξ система уравнений совместнa

x1 − x2 −6x3 = 2,

−2x1 +3x2 +3x3 = 7,

ξx1 +7x2 −3x3 = 24.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 +22x2 − x3 = −15,

−x1 −23x2 +2x3 = 6.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (16; −15;8),

Стр. 398 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

e2 = (3; −9;0), e3 = (15;0;10) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3; −1;0),e2 = (−9; −3;0), e3 = (15;5;0), e4 = (12;4;0).

7. Найдите арифметический вектор v = 3a +2b, если a = (−4; −1;1;1),

b = (1;6; −5; −4).

8. Выясните, угол междувекторами v = e1 −3e2 +e3 −2e4 −6e5 +e6 иw = −2e1 −e2 +5e3 +2e4 −4e5 +6e6 острый, прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Тут e1, e2, e3, e4, e5, e6 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (5; −3;5) и такой, что

(x,b) = −3,	где b = ( −4;3; −4). Координаты векторов даны в
ортонормированном базисе.
			26	−1		5
10. Разложите вектор v =			по базисуe1 =		, e2 =	.
		−16			6	−2
11. Является ли базис e1 =			1	4
			, e2 =	, ортогональным? Если да, то
			2	1
разложите вектор v =		−4
		по этомубазису. Координаты векторов даны в

−3

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 383

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

	7	4	x			−4
			1	=			.
6		5	x2			6

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x−7y+9z = 119,

−10x − y+z = −58,

−7x− y+z = −37.

3.Определите, при каких значениях параметра ω система уравнений имеет единственное решение

−4x1 + x2 − x3 = 7,

2x1 +5x2 +6x3 = ω,

x1 −5x2 + x3 = 4.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

Стр. 399 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

x1 +18x2 + x3 = −4,

2x1 +6x2 − x3 = −23.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (1;2; −2),

e2 = (0;0; −2), e3 = (0; −2; −2) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (5;3; −7),e2 = (−3;0;3), e3 = (0; −12;8).

7. Найдите арифметический вектор v = −a +3b −3c, если a = (5; −2;2),

b = (5; −4;6), c = (−5; −1;2).

8. Выясните, какой из векторов v = (4;3;4; −5) и w = (−1;4; −4; −4) короче?

В ответе укажите длину более короткого вектора. (Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.)

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (−2; −1;5) и такой, что

(x,b) = 1,	где b = (−5;5; −2). Координаты векторов даны в ортонормированном
базисе.
		−63			7	−7
10. Разложите вектор v =			по базисуe1 =		, e2 =	.
			41	−1		9
			−1	−3
11. Является ли базис e1 =			, e2 =	, ортогональным? Если да, то
			3	−1
		3
разложите вектор v =		по этомубазису. Координаты векторов даны в

−2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 384

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

8x1 +9x2 = 6,

8x1 +3x2 = 18.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

3	−1	5	x	22
4	8	−2 y = 42 .
−1 8		−9 z 2

3. Определите, при каких значениях параметра η система уравнений имеет единственное решение

Стр. 400 из 417

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2013/2014 уч. год

4x1 + x2 −6x3 = −1,

−7x1 +ηx2 −3x3 = 7,

5x1 −2x2 −3x3 = −3.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 −2x2 +2x3 = −22,

−x1 −7x2 +2x3 = −15,

3x1 −21x2 + x3 = 17.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (−6;6; −6),e2 = (0; −4;6), e3 = ( −2;0;1) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3; −1;6),e2 = (−4;0;12), e3 = (0;1;2).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−2b−5x = 3a− x,	если a = (6; −4; −5;5), b = ( −1;3; −4;2).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 12, w = 11 и угол междувекторами v и w равен 90 .

9. Найдите значение параметра λ, при котором векторы vи w + λv

перпендикулярны, если v = (6; −4;5) и w = (−1;4;1). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10. Разложите вектор v =	−52	−8	−7
	по базисуe1 =	, e2 =	.
	−18	−2	−3

11. Является ли базис e1 = (−2;3), e2 = (−3;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −3;1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 385

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

−4	3	x1		13
			=		.
−5	9	x2		32

2. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

4	−3	1	x1	−4
−8 5		−8 x2 = 19 .
4	−4	−7 x3 13

3. Определите, при каких значениях параметра ξ система уравнений имеет