Математика облигаций

13. Облигация задана параметрами: m = 5 лет, c = 7%, h = 1, F = 1000 руб.. Определите дкп облигации, если она продается по номиналу. Как изменится дкп облигации, если срок до погашения уменьшится до 2 лет?

14. Облигация задана параметрами: m = 3 года, c = 10%, h =1/2, F = 1000 руб.. Определите дкп облигации, если она продается по курсу 95. Как изменится дкп облигации, если купонная ставка увеличится до 15%?

15. Облигация задана параметрами: m = 6 лет, c = 10%, h = 1, F = 1000 руб. Определите дкп облигации, если она продается по курсу 110. Как изменится дкп облигации, если купоны будут выплачиваться: а) 2 раза, б) 4 раза в году?

16. Две облигации с одинаковыми номиналами, сроками погашения и с купонными ставками 10% и 20% соответственно, котируются на рынке по ценам 60 руб. и 87 руб.. Сколько стоит облигация с купонной ставкой 18% (с тем же номиналом и сроком погашения) если дкп этих облигаций совпадают?

21

2.Доходность облигаций.

Сценой облигации связана ее доходность. Существуют три основные меры доходности облигации: текущая доходность, доходность к погашению и полная (реализованная) доходность.

2.1 Текущая доходность.

Текущая доходность у(с) (current yield) равна отношению годового купонного

дохода к рыночной цене облигации P:
у(с) = C/P.	(2.1)

Пример 2.1. Найти текущую доходность 15-летней 7%-ной купонной облигации с номиналом 1000 руб., продающейся за 769,40 руб..

Решение. Размер купонной выплаты C = c F = 1000руб. 0,07 = 70 руб.. Таким

	образом, текущая доходность равна
	y(c) =	70	0,091 9,1% . █
		769,4

2.2. Доходность к погашению (ДКП)

Доходность к погашению. Если P- текущая рыночная цена облигации, то доходность к погашению (дкп) облигации равна процентной ставке yh за купонный период, удовлетворяющей уравнению:

P

Ch

Ch

...

Ch

Ch F

.

(2.2)

(1 y

)

(1 y

h

)2

(1 y

)M 1

(1 y

)M

h

h

h

ДКП служит мерой оценки эффективности инвестиции в облигацию. Обычно дкп за купонный период приводят к году (нормируют) либо по схеме простых процентов и тогда говорят о номинальной годовой дкп (с периодом начисления h):

yh = yh/h,

(2.3)

либо по схеме сложных процентов и тогда говорят об эффективной годовой дкп:

y(эф) = (1+yh)1/h –1.

(2.4)

Пример 2.2. Облигация со сроком погашения два года имеет номинал 1000 руб. и купонную ставку 10%. Если купоны выплачиваются раз в год, то какова цена облигации при доходности к погашению 14%.

Решение. По условию задачи m = 2 года, c = 10%, F = 1000 руб. Значит размер купонных выплат

C = c F = 1000 0,1 = 100 (руб.).

Согласно формуле (1.1) находим цену облигации относительно ставки y = 14%.

P	100		1100	= 934,13. █
	(1 0,14)		(1 0,14)2

Пример 2.3. Облигация со сроком погашения два года имеет номинал 1000 руб. и купонную ставку 10%. Купоны выплачиваются раз в год, цена облигации 900 руб.. А) Найти доходность к погашению. Б) Найти номинальную и эффективную годовые дкп при той же цене, если купоны выплачиваются дважды в году.

Решение. А) По условию задачи m = 2 года, c = 10%, F = 1000 руб., P = 900 руб. . Подставляя эти значения в формулу (1.5) получаем

	100		1100	= 900
	(1 y)		(1 y)2

или

9(1+ y)2 – (1+y) –11 = 0.

Полагая (1+y) = а и решая квадратное уравнение

9а 2 – а –11 = 0,

находим положительный корень (1+y) = а = 1,1624. Отсюда находим доходность к погашению y = 0,1624 или 16,24%.

Б) В этом случае уравнение для у = у1/2 имеет вид:

22

	50		50		50		1050	= 900
	(1 y)		(1 y)2		(1 y)3		(1 y)4

Решая (приближенно) это уравнение получим у = у1/2 = 8,021%. Тогда номинальная дкп равна

у(1/2) = у(2) = 2 8,021% = 16,041% , а эффективная у(эф) = (1+0,8021)2 -1 = 16,684%. █

Связь между основными параметрами облигации. Из равенства (2.2)

следуют соотношения:

1. Соотношение между ДКП, купонной ставкой и ценой.

Соотношение между купонной ставкой, доходностью к погашению и ценой облигации показано в таблице.

Соотношение между купонной ставкой, текущей доходностью, доходностью к погашению и ценой облигации

Облигация продается	Соотношение
По номиналу	Купонная ставка = текущая доходность = доходность к погашению
С дисконтом	Купонная ставка текущая доходность доходность к погашению
С премией	Купонная ставка текущая доходность доходность к погашению

2. Соотношение между ценой и ДКП.

Цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения ДКП. ДКП изменяется в направлении, противоположном направлению изменения цены.

3.Соотношение между ценой и величиной купонной ставкой.

Цена связана прямой зависимостью с величиной купонной ставки.

4.Соотношение между ценой и количеством купонных периодов до погашения.

Цена дисконтной облигации связана обратной зависимостью с числом купонных периодов, цена премиальной облигации связана прямой зависимостью с числом купонных периодов, цена номинальной облигации не зависит от числа купонных периодов до погашения.

5.Соотношение между ДКП и купонной ставкой.

ДКП связана прямой зависимостью с величиной купонной ставки.

6. Соотношение между ДКП и количеством купонных периодов до погашения.

ДКП дисконтной облигации связана прямой зависимостью с количеством купонных периодов до погашения, ДКП премиальной облигации связана обратной зависимостью с числом купонных периодов, ДКП номинальной облигации не зависит от числа купонных периодов до погашения.

2.3. Полная (эффективная) доходность простой облигационной сделки.

Реинвестирование купонных выплат по заданной ставке. Будем считать, что купонные выплаты реинвестируются по годовой ставке реинвестирования r. Пусть инвестор покупает облигацию по цене P0, когда до погашения осталось m лет. Спустя k лет после покупки облигации инвестор продает ее на рынке до момента погашения. Тогда доход инвестора будет складываться из:

- купонных выплат, выплаченных ему за срок k (за срок владения облигацией):

CIk = C k;

- дохода от инвестирования купонных выплат, выплаченных ему за срок владения облигацией:

k
RCk = C (1 r)k i k C ;	(2.5)

i 1

-выручки от продажи облигации на дату продажи облигации – Pk.

23

Полный доход Wk инвестора от облигационной сделки за k лет в этом случае будет равен

k		k
Wk = Pk + C k + C (1 r)k i k C		= Pk + C (1 r)k i . (2.6)
i 1		i 1

Цена P2 продажи облигации вычисляется по рыночной процентной ставке i на момент продажи облигации

	C		C	...	C		C F
Pk =								.
	(1 i)		(1 i)2		(1 i)m k 1		(1 i)m k

Полная эффективная доходность облигационной сделки определяется формулой

			1
W
		k		k
					- 1.	(2.7)
yk =	P0

В частном случае, когда облигация держится до погашения, то выручка Pk совпадает с номиналом F облигации.

Пример 2.4. Вычислить полную доходность сделки, состоящей в покупке облигации с параметрами: m = 3 года, c = 10%, F = 1000 руб., по цене P0 = 900 руб., и продаже ее спустя 2 года. Рыночная ставка в момент продажи равна i=15%, а ставка реинвестирования r =10%.

Решение. В нашем примере k = 2, C = c F =1000 0,1 = 100 руб. Купонный доход за два года равен CI2 = C k = 2 100 = 200. Доход от реинвестирования купонов

RC2 =[100 (1+0,1)2 -1 +100 (1+0,1)2-2] - 200 = 10 (руб.).

Выручка от продажи облигации через 2 года равна

Р2 = 1100/(1+0,15) = 956,52 руб.

Тогда полный доход сделки равен

W2 = CI2 + RC2 + Р2 = 200 + 10 + 956,52 = 1166,52 руб.

Полную эффективную доходность находим по формуле (2.7)

y2 = (1166,52/900)1/2 – 1 = 0,1385 = 13,85%. █

Задачи 2.

1. Вычислить полную доходность облигационной сделки, состоящей из покупки 5- летней, 12%-ой облигации по номиналу 1000, и продажи ее спустя 3 года, если рыночная процентная ставка в момент продажи равна 8% годовых. Ставку реинвестирования считать равной 10%.

2. Облигация с номиналом 1000 и 6% годовым купоном и тремя годами до погашения имеет цену 948,46. Найти полную доходность при погашении, если:

а) купонные выплаты реинвестируются по ставке 4%; б) купонные выплаты реинвестируются по ставке 10%; в) купонные выплаты не реинвестируются.

Найти полную эффективную доходность, если купонные выплаты реинвестируются по ставке 7% и облигация продается через два года по доходности к погашению

8%.

24

3.Чувствительность цены облигаций

кизменению процентных ставок

Пусть y - исходный уровень рыночной ставки (или требуемой доходности), а P0 - соответствующая ему начальная цена облигации, тогда P- текущая стоимость облигации относительно ставки y + y вычисляется как

	M		Ck
	P					,	(3.1)
			y y)		k
	k 1 (1
	где Ck = Ch для k = 1,.., M-1 и Ck = Ch + F для k = M.						.
	Процентное изменение цены вычисляется по формуле
	P =		P P0	100% .			(3.2)
			P0
	Пример 3.1. Определить процентное			изменение			цены облигации с

параметрами: m = 4, c = 7%, F = 100 при сдвиге доходности на y = -1% от исходного уровня y= 6%.

Решение. Вычисляем начальную цену P0											относительно ставки y = 6% :
P	7				7						7				7 100			=103,47.
0		(1 0,06 )				(1 0,06)2				(1 0,06)3					(1 0,06)4
Вычисляем новую цену P относительно ставки y + y = 6 – 1 = 5%:
P	7				7						7				7 100		= 107,09.
	(1 0,05 )				(1 0,05)2				(1 0,05)3					(1 0,05)4

Находим процентное изменение цены по формуле (3.2):

P =		P P0	=		107,1 103,5	= 0,035 или 3,5%.	█
		P0		103,5
Перепишем формулу определяющую цену облигации в виде
		M				M
	P Ct (1 y) t Ct .vt
		t 1				t 1
где Ct = C при t < M и CM = C + F ,				а = 1/(1+y) - дисконтный множитель.

При малых изменениях процентной ставки изменение цены облигации можно представить ее дифференциалом:

M	M
dP=P'(y)dy где P'(y) = t Ct (1 y) t 1	t Ct vt 1
t 1	t 1

Заметим, что Ct t = Ct/(1+y)t является текущей стоимостью платежа Ct. Поскольку

T	T		v	t
P Ct vt , то		Ct			1
			P
t 1	t 1

Обозначим wt = Ct t/P - весовой коэффициент платежа Ct. Тогда t wt = 1 и изменение (относительное) цены можно записать в виде

	dP		dy	T
				t wt
	P
			1 y
				t 1

Величина (взвешенный срок всех платежей облигации)

M	M	t Ct
DM t wt					(3.3)
		P (1	y)	t
t 1	t 1

называется дюрацией Маколея.

В развернутом виде формулу Дюрации Маколея DМ можно записать в

виде

25

1

1 C

2 C

(M 1) C M (C F)

DМ =

2 ...

M 1

M

(1 y)

(1

y)

(1 y )

(1 y)

P

Эту формулу можно преобразовать к виду не содержащему суммирования

	DМ =	1 y		M (c - y) 1 y	(3.3 )
		y		c((1 y)M -1) y

Дюрация Маколея, модифицированная и долларовая дюрации.

Из сказанного выше следует, что относительное изменение цены облигации можно записать в виде

	dP			dy	D
	P		1 y			M
Скорректированная дюрация Маколея MD, определяемая как
	MD			D		,	(3.4)
			(1 y)

называется модифицированной дюрацией. Тогда

dPP MD dy

Модифицированная дюрация служит показателем ценовой чувствительности к колебанию процентных ставок. Она характеризует приближенное процентное изменение цены облигации. Модифицированная дюрация равна приближенному процентному изменению цены облигации при изменении ее доходности к погашению на 100 базисных пунктов. (Напомним что один базисный пункт - это одна сотая доля процента, т.е. 1 б.п.= 0,01% = 0,0001). Модифицированная дюрация и дюрация Маколея связаны обратной зависимостью с величиной купонной ставки и исходным уровнем доходности и прямой зависимостью с количеством купонных периодов до погашения.

Процентное изменение цены облигации при малых мгновенных сдвигах уровня требуемой доходности на величину y оценивается с помощью

модифицированной дюрации приближенным равенством:
	P P0	MD y .	(3.5)
	P0

Пример 3.2. Вычислить дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации, заданной параметрами: m = 4 года, c = 7%, F = 100 , при исходном уровне требуемой доходности y = 6%. Как изменится цена облигации при изменении дкп на -1%.

Решение. Текущая стоимость P данной облигации вычислена в примере 16.7 и равна 103,5. Для вычисления дюрации Маколея подставляем значения параметров в формулу 16.10:

	1				7					7			7			7 100
D =				1			2					3			4				= 3,6313
										2			3
	103,47				(1 0,06)											(1 0,06)	4
								(1 0,06)					(1 0,06)
										года.
Модифицированную дюрацию находим по формуле (3.5):
							D
					MD =				= 3,6313/(1+0,06) = 3,426 года.
							(1 y)
Изменение цены облигации при снижении дкп до 5% приближенно составит
согласно (3.5)
					P P MD y =					- 103,47 3,426 (-0,01) = 3,544 ,

и новая цена облигации будет 107,01, что очень близко к точному значению 107,09 новой цены вычисленной в примере 3.1 █

26

Денежная (долларовая) дюрация. Произведение модифицированной дюрации и начальной цены называется денежной или долларовой дюрацией (dollar duraton). Более точно

денежная дюрация = модифицированная дюрация начальная цена 0,0001.

Денежная дюрация – это приближенное изменение цены в денежных единицах при изменении дкп на 1 базисный пункт (1 б.п.= 0,01%).

Пример 3.3. Вычислить долларовую дюрацию облигации, заданной параметрами: m = 4 года, c = 7%, F = 100, при исходном уровне требуемой доходности y = 6%.

Решение. Текущая стоимость P данной облигации вычислена в примере 16.7 и равна 103,47. Модифицированная дюрация для данной облигации найдена в примере

16.8.

MD = 3,426. Долларовая дюрация = 3,426 103,47 0,0001 = 0,035. █

Дюрация дает хорошую оценку процентного изменения цены облигации при малых изменениях доходности. Однако эта оценка неудовлетворительна при больших изменениях доходности.

На величину процентного изменения при заданном сдвиге доходности влияют исходный уровень доходности, ставка купона и число купонных периодов до погашения.

При фиксированных сроке до погашения и доходности, чем ниже купонная ставка, тем больше процентное изменение цены.

При фиксированных купонной ставке и сроке до погашения, чем ниже исходный уровень доходности, тем больше процентное изменение цены.

При фиксированных купонной ставке и доходности, чем больше срок до погашения, тем выше процентное изменение цены.

Выпуклость облигации. Для уточнения аппроксимации изменения цены, полученной с помощью дюрации, можно использовать полную выпуклость - ещё одну характеристику изменчивости.

Выпуклость (полная) вычисляется по формуле:

	Conv =	P P0	MD y	(3.6)
		P0

Пример 3.4 Вычислить выпуклость облигации, заданной параметрами: m = 4 года, c = 7%, F = 100 для сдвига доходности на y = 0,01= - 1% от исходного уровня y = 6%.

Решение. Процентные изменения цены облигации при данных сдвигах доходности вычислены в примере 16.7. Значение MD = 3,423 года получено в примере 16.8. Подставляем значения эти значения в формулу (3.15):

	Conv =	P P0	MD y = 0,035 + 3,43(- 0,01) = 0,0007. █
		P0

Вместе, дюрация и полная выпуклость обеспечивают полную и точную оценку изменения цены при изменении доходности.

Выпуклость в сочетании с модифицированной дюрацией уточняет оценку процентного изменения цены при изменении требуемой доходности:

	P P0	MD y выпуклость	(3.7)
	P0

Для сравнения выпуклостей различных выпусков облигаций используется

коэффициент выпуклости, определяемый как отношение выпуклости к y.

Cfv = Conv/y.

Выпуклость облигации обладает следующим важным свойством:

27

Если требуемая доходность возрастает (уменьшается), то выпуклость облигации уменьшается (возрастает).

Это свойство облигаций называется положительной выпуклостью (positive convexity). Влияние положительной выпуклости таково, что дюрация облигаций при изменениях рыночной доходности изменяется вполне определенным образом. То есть, если рыночные доходности будут расти, то цена облигации будет падать. Снижение цены замедляется из-за снижения дюрации облигации при росте рыночных доходностей. В противоположность этому, если рыночные доходности упадут, то дюрация возрастет, увеличивая, тем самым, процентное изменение цены.

Задачи 3.

1. Вычислить дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации, заданной параметрами: m = 4 года, с = 10%, F = 100, при исходном уровне требуемой доходности y = 6%.

2. Вычислить дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации, заданной параметрами: m = 4 года, c = 8%, F = 100, при исходном уровне требуемой доходности

y = 10%. Найдите приближенную оценку изменения цены облигации при снижении рыночной ставки на 5 б.п. по дюрациям Маколея.

3. Вычислить дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации, заданной параметрами: m = 3 года, c = 10%, F = 100, при исходном уровне требуемой доходности y = 6%. Найдите приближенную оценку изменения цены облигации при росте рыночной ставки на 5 б.п. по дюрациям Маколея

4. Вычислить выпуклость облигации, заданной параметрами: m = 4 года, c = 10%, F = 100, при исходном уровне требуемой доходности y = 6% и а) росте рыночной ставки на 5 б.п., б) снижении рыночной ставки на 5 б.п..

28

4.Портфели облигаций.

Впредыдущих главах мы анализировали поведение параметров отдельной облигации. В этой главе займемся анализом поведения совокупности облигаций. Инвестор, работающий на рынке облигаций, учитывает характеристики многих облигаций с целью построения из них портфеля, удовлетворяющего тем или иным требованиям. Основной целью инвестора формирование портфеля, обеспечивающего требуемое соотношение между доходностью и риском инвестиций. Например, он может стремиться максимизировать доходность портфеля при заданном уровне риска или минимизировать риск при заданном уровне доходности. Инвестор формирует портфель из облигаций, обращающихся на рынке или его сегменте доступному инвестору. Действия участников рынка облигаций формируют спрос и предложение облигаций и, тем самым, задают цены облигаций, которые в совокупности определяют структуру процентных ставок. На облигационном рынке всегда присутствует кредитный риск, т.е. риск невыполнения эмитентом облигации своих обязательств по выплате процентных

ипогасительных платежей. В этой главе мы будем игнорировать риски такого рода. Отсутствие кредитного риска приводит к тому, что единственными характеристиками, определяющими цены облигаций, являются их базовые параметры: купонные ставки и срок погашения. При этом, как было показано в главе 1, для всех облигаций с одинаковыми сроками до погашения (при одинаковом номинале) цены полностью определяются купонными ставками. Более точно, они строго пропорциональны им. Цены облигаций с разными сроками до погашения могут быть различными, но в совокупности они должны удовлетворять так называемым «условиям равновесия» или условиям «отсутствия арбитража».

4.1. Способы задания портфеля облигаций.

Рассмотрим способы задания облигационного портфеля.

Позиционное представление портфеля.

Пусть на рынке обращается n видов облигаций B1,B2,…, Bn. Обозначим через zk - позицию по облигации Вk в портфеле . Под позицией по данной облигации понимается либо число купленных (длинная позиция), либо число проданных (короткая позиция) заемных облигаций. Длинные позиции представляются положительными, а короткие –отрицательными значениями.

Формально позиционное представление портфеля задается вектором (набором) позиций:

z = (z1, z2,..., zn)

по облигациям. Такой портфель часто записывают в в более наглядном виде

= z1B1 + z2B2+..., znBn.

Заметим, что в портфельных сделках типы позиции по различным активам могут отличаться друг от друга, так что по одним активам позиция может быть длинной (инвестор покупает их), а по другим - короткой (инвестор берет взаймы и продает их). Содержательно можно считать, что выручка от продажи взятых взаймы активов идет на покупку дополнительных единиц активов в длинной позиции.

Пусть Pk - цена облигации Bk. Тогда стоимость P() портфеля равна, очевидно:

P( ) = z1P1 + z2P2 +…+ znPn.

(4.1)

Денежное представление портфеля.

В этом представлении для каждой облигации указывается полная сумма средств вложенных в нее. Если обозначить через Wk сумму средств вложенных в облигацию Bk,

то

29

Wk= zkPk

и

P( ) = W1 + W2 +…+ Wn.

Если начальный капитал W0 инвестора полностью вкладывается в портфель W0=

P( ),

то денежное представление портфеля показывает абсолютное распределение инвестированного капитала по составляющим портфель облигациям. Однако в управлении облигационным портфелем существенно более важным является относительное распределение инвестированного капитала, которое определяет третий, весовой способ задания портфеля.

Пример 4.1. Пусть в момент открытия портфельной сделки цены облигаций A и B равны 150 руб. и 50 руб. соответственно. Инвестор покупает 20 облигаций A и 30 облигаций B. Тогда вектор позиций портфеля сделки имеет вид z = (20, 30). При этом инвестор вложил в сделку

W0 = 20 150 + 30 50 = 4500 (руб.)

собственных средств, равных стоимости портфеля.

С другой стороны, если инвестор открывает сделку покупкой 20 облигаций A и продажей 30 облигаций B, то портфель сделки будет иметь вид z = (20, -30).

Для финансирования (открытия) такой сделки инвестору необходим начальный собственный капитал всего

W0 = 20 150 - 30 50 = 1500 (руб).

Заметим, что владея 1500 руб., он может купить лишь 10 акций A, тогда как на покупку 20 штук ему необходимо 3000 руб., дополнительные 1500 руб. инвестор получает от продажи 30, взятых в кредит, облигаций B. █

Весовое представление портфеля.

Относительным весом wk облигации Bk в портфеле называют величину:

wk = Wk /W0 =	Pk zk	, k=1,2,…,n.	(4.2)
	P(π)

Тогда портфель облигаций представляют в виде набора весов по каждому виду облигаций, входящих в портфель:

w w1, w2 , ,wk ,

причем сумма весов равна 1:

w1 + w2+...+ wn=1.

Из равенства (4.1) видно что веса длинных позиций положительные, а веса

коротких отрицательные.

Весовое представление показывает, какую долю стоимости вносит каждый отдельно взятый класс облигаций в общую стоимость портфеля.

Следует отметить важное различие между двумя способами задания портфеля. Первый – абсолютный, задает явное количество каждого актива, причем это задание никак не связано с текущей ценой облигации. Второй относительный, имеет смысл лишь при указанных ценах облигаций. Набор весов, задающих портфель, будет естественно меняться при изменении цен облигаций.

Пример 4.2. Найти весовое представление портфелей из примера 3.1.

Решение. Веса облигаций A и B в портфеле z = (20, 30) равны wA = 20∙150/4500=2/3 и wB = 30∙50/4500=1/3

соответственно. Для портфеля z = (20, -30) эти веса будут равны: wA = 20∙150/1500=2 и wB = -30∙50/4500=-1. ■

30