lim

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ¾Ярославская государственная медицинская академия¿ Министерства здравоохранения Российской Федерации ГБОУ ВПО ЯГМА Минздрава России

Кафедра медицинской физики

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Учебное пособие по курсу математики для студентов, обучающихся по специальностям

¾фармация¿ и ¾медицинская биохимия¿

Ярославль, ЯГМА, 2014.

УДК 519.21 ББК 22.3

Коллектив авторов:

Заводчиков Михаил Александрович, старший преподаватель кафедры медицинской физики ЯГМА, канд. физ.-мат. наук.

Фатеев Михаил Михайлович, профессор, заведующий кафедрой медицинской физики ЯГМА, доктор биологических наук.

Рецензенты:

Потапов Павел Петрович, доктор мед. наук, профессор, заведующий кафедрой биологической и общей химии ЯГМА.

Уваров Артем Дмитреевич, старший преподаватель кафедры математического анализа ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, канд. физ.-мат. наук.

Предел функции / Заводчиков М.А., Фатеев М.М.

Ярославль, ЯГМА, 2014. - 21 с.

Аннотация: Настоящее пособие предназначено для студентов ЯГМА. В него вошли общие теоретические вопросы, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения, задачи для домашней работы, а также примерная контрольная работа по теме "Предел функции".

Учебное пособие составлено в соответствии с ФГОС ВПО по специальностям: 060301 ¾фармация¿; 060601 ¾медицинская биохимия¿.

Утверждено в печать учебно-методическим управлением от 23.04.2014

c Ярославская государственная медицинская академия, 2014c Заводчиков М.А., Фатеев М.М., 2014

3 СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

1	Введение		4
2	Практическое занятие №1. Понятие функции		6
	2.1	Обзор основных элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . .	6
	2.2	Операции над функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
	2.3	Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . .	10
	2.4	Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
3	Практическое занятие №2. Предел последовательности.		12
	3.1	Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . .	12

3.2Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Практическое занятие № 3. Предел функции.

16

4.1Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Практическое занятие №4. Первый и второй замечательный
пределы	21

5.1Первый и второй замечательный пределы . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Практическое занятие №5. Непрерывность функции. Асимпто-
ты функции	23
6.1 Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23

6.2Асимптоты функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.3Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.4Задачи домашней работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7	Примерная контрольная работа	26
8	Заключение	28
9	Список литературы	30

3

4

1Введение

Одной из тем, изучаемых в курсе "Математического анализа\ специальности "Медицинская биохимия\ 060601, является "Предел функции\. Понятие предела - одно из основных понятий математики, означающее, что какая-то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к некоторому постоянному значению. Основным при определении предела является понятие близости рассматриваемых объектов: только после его введения предел приобретает точный смысл. С пределом связаны основные понятия математического анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев предела является предел последовательности.

Целью настоящего учебного пособия является поддержка практических занятий по теме "Предел функции". Авторы старались сделать содержание пособия замкнутым. Работа содержит краткую теоретическую справку, большое количество подробно разобранных примеров, задачи для самостоятельной работы, задачи домашней работы, а также несколько вариантов контрольной работы с ответами к заданиям. Это дает возможность студентам самостоятельно освоить материал, а также научится решать задачи. Рассматриваются не только элементарные функции, изучаемые в школе, но и функции обычно не встречающиеся в школьном курсе математики. По мнению авторов это добавляет элемент исследования.

Данное пособие содержит оптимальный объем сведений, который необходим студентам для наилучшего усвоения, понимания и правильного решения задач по рассматриваемой теме. Требования к результатам освоения математического анализа указаны в общекультурных и профессиональных компетенциях: ОК-1, ОК-4, ОК-5; ПК-1, ПК-2, ПК-28.

К уровню усвоения этой темы предъявляются следующие требования: студенты должны

знать:

-основы теории предела функции: основные определения и теоремы;

уметь:

-строить графики основных элементарных функций и проводить над ними математические операции;

-вычислять пределы числовых последовательностей;

-вычислять пределы функции;

4

5

-решать задачи с применением первого и второго замечательных пределов;

-уметь исследовать функцию на непрерывность и находить асимптоты графика функции.

5

+ ::: + a1x + a0; :

6

2Практическое занятие №1. Понятие функции

В настоящем параграфе мы напоминаем, известное из школьного курса математики, определение функции. Далее идет краткий обзор элементарных функций, вводятся операции сложения функций, умножения на число функции, умножения функций, а также частное двух функций. Обсуждается понятие композиции функций. В задачах для самостоятельной работы рассматриваются некоторые функции, обычно не встречающиеся в школьном курсе математики, например: y = [x], y = fxg, y = xx, y = logx a и другие.

2.1Обзор основных элементарных функций

1.Целая рациональная функция – это функция вида:

f(x) = anxn + an 1xn 1

где an, an 1,...,a0 – некоторые действительные числа, а n – натуральное число. Простейшим примером целой рациональной функции является постоянная функция f(x) = b. Ее график выглядит вот так:

y

y = b x

Область определения D(f) постоянной функции будет множество действительных чисел R. Область значений E(f) постоянной функции есть число b.

Следующим примером целой рациональной функции является линейная функция f(x) = kx + b. Ее график - прямая.

y

y = kx + b

x

Область определения D(f) линейной функции будет множество действительных чисел R. Область значений E(f) постоянной функции есть множество действительных чисел R.

6

Функция f(x) = x3 также является примером целой рациональной функции с областью определения D(f) = ( 1; +1) и областью значений

y

y = x3

x

E(f) = ( 1; +1).

2. Дробно-рациональная функция – функция вида:

7	2.1 Обзор основных элементарных функций

Примером целой рациональной функции является квадратичная функция f(x) = a2x2 + a1x + a0. График этой функции парабола.

yy = a2x2 + a1x + a0

x

Область определения D(f) квадратичной функции - множество действи-

тельных чисел R. E(f) = [f(x0); 1), где x0 = a1 - координата x вершины

2a2

параболы, при a2 > 0. В случае a2 < 0 получаем E(f) = ( 1; f(x0)).

f(x) = anxn + an 1xn 1 + ::: + a1x + a0 ; bmxm + bm 1xm 1 + ::: + b1x + b0

где an, an 1,...,a0, bm,...,b0 – некоторые действительные числа, а n и m – натуральные числа.

Область определения D(f) дробно-рациональной функции – все действительные числа кроме тех, в которых обнуляется знаменатель. Примером

дробно-рациональной функции может служить функция f(x) = x1. Ее гра-

7

8	2.1 Обзор основных элементарных функций

y

y = 1 xx

фик гипербола.

Область определения D(f) = ( 1; 0) [ (0; 1). Область значений E(f) = ( 1; 0) [ (0; 1).

3. Степенная функция – это функция вида: f(x) = x ; где действительное число. Она определена при всех значениях x, если – натуральное число; при всех x кроме 0, если – целое отрицательное число, и

при x > 0, если – произвольное действительное число. Примером степен- p

ной функции может служить функция f(x) = x. График этой функции имеет вид:

y

p y = x

x

4.Тригонометрические функции. К тригонометрическим функциям относятся следующие y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx и обратные к ним.

Для функций y = sin x и cos x область определения D(y) = ( 1; +1). Область значений для этих функций есть E(y) = [ 1; 1]. Функция y = tgx не определена в точках x = 2 + n, где n 2 Z. Область значений E(y) = ( 1; +1). Функция y = ctgx не определена в точках x = n, где n 2 Z. Область значений E(y) = ( 1; +1). Ниже представлены графики тригонометрических функций.

8

9	2.1 Обзор основных элементарных функций

y

y = sin x

x

y

x

y = cos x

5.Показательная функция. Показательная функция - это функция вида y = ax, где a > 0. Область определения D(y) = ( 1; +1), а E(y) = (0; +1).

a > 1

y = ax

y

x

a < 1

y

y = ax

x

6.Логарифмическая функция. Логарифмическая функция - это функ-

ция, задаваемая так: y = loga x, где a - положительное число, отличное от 1. D(y) = (0; +1), E(y) = ( 1; +1).

a > 1

9

10	2.2 Операции над функциями

y

y = log2 x x

a < 1

y

x

y= log0:5 x

2.2Операции над функциями

Операции сложения функций, умножения функции на число, умножения функ-

ций, а также частное двух функций определяются поточечно, то есть (f + g)(x) = f(x) + g(x), ( f)(x) = f(x), (fg)(x) = f(x)g(x), fg (x) = fg((xx)). Композиция двух функций определяется так: (f g)(x) = f(g(x)).

Пример 1. Даны функции f(x) = sin x и g(x) = x2. Выписать следующие функции: f g, g f, f f, g g f.

f g = sin(x2), g f = sin2 x, f f = sin(sin x), g g f = sin4(x).

Определение 1. Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, умножения на число, умножения функций, деления функций и композиции функций, называются элементарными функциями.

Элементарные функции достаточно подробно изучаются в школьном курсе математики. Приведем примеры функций, обычно не изучаемых в школе, f(x) = [x] - целая часть числа x, f(x) = fxg - дробная часть числа x, f(x) = xx, f(x) = logx a.

2.3Задачи для самостоятельного решения

1.Построить графики функций.

(a)f(x) = 2x 3; f(x) = jxj, f(x) = j2x + 2j;

10