практикум 1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (практикум)

5.1. Элементы комбинаторики

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7, если:

а) цифры не повторяются;

б) цифры повторяются?

2. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?

3. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?

4. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества A={3,4,5} и посчитать их число.

5. Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества A={3,4,5} и посчитать их число.

6. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

7. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки возможно?

8. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальные полосы), если имеется материал 5 различных цветов?

9. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее:

а) 3 гвоздики;

б) 6 гвоздик одного цвета;

в) 4 красных и 3 розовых гвоздики?

10. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?

5.2. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности

1. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков – семь, а разность – три.

2. В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных.

3. Из урны, в которой находятся 6 черных и 4 белых шара, вынимают одновременно 3 шара. Найти вероятность того, что среди отобранных только 2 черных шара.

4. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что:

а) все они одного цвета;

б) все они разных цветов;

в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

5. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) 3 карточки; б) все 6 карточек. Найти вероятность того, что получится слово: а) «ТОР»; б) «ТЕОРИЯ».

5.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят:

а) оба студента; б) только первый студент;

в) только один из них; г) хотя бы один из студентов.

2. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее поочередно вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки:

а) без возвращения; б) с возвращением.

3. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя I элемента или одновременный выход из строя двух элементов – II и III. Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?

4. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что:

а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания;

б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.

5. Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью контроля из этой партии отбираются наудачу 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?

5.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1. Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% -- физическим. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2, а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Найти вероятность того, что очередной кредит был погашен в срок.

2. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на I заводе, 15% изготовлены на II заводе, остальные – на III. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,9 соответственно.

а) Какова вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы?

б) Купленный наудачу телевизор выдержал гарантийный срок работы. Какова вероятность того, что он был изготовлен на III заводе?

3. Из двух колод по 36 карт и одной в 52 карты наудачу выбрана колода, а из колоды наудачу взята карта.

а) Какова вероятность того, что это оказался туз?

б) Наудачу взятая карта оказалась тузом. Какова вероятность того, что она из колоды в 52 карты?

4. В двух урнах имеются черные и белые шары. В первой урне – 12 белых и 3 черных, во второй – 4 белых и 4 черных шара. Из каждой урны берут по шару наудачу и помещают в третью, пустую урну. После этого из третьей урны вынимают наудачу один шар.

а) Какова вероятность того, что выбранный шар белый?

б) Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны был переложен черный шар, а из второй белый?

5.5. Случайные величины, их числовые характеристики

1. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекли три шара. Найти:

а) ряд распределения дискретной случайной величины X – числа извлеченных белых шаров;

б) вероятность события A – извлечено не менее двух белых шаров.

2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения вероятностей:

	-2	1	2	3
	0,08	0,40	0,32	0,20

Найти:

а) функцию распределения ;

б) вероятности событий A={X<2}, B={1X<3}, C={1<X3};

в) построить график функции F(x).

3. Дискретная случайная величина задана рядом распределения вероятностей:

	1	3
	0,2	0,8

Найти:

а) математическое ожидание ;

б) дисперсию ;

в) среднее квадратическое отклонение .

4. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

	2	4	6	8
	0,4	0,2	0,1	0,3

	0	1	2
	0,5	0,2	0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

5. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей

Найти плотность распределения вероятностей и вероятность попадания случайной величины в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

6. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей на интервале . Вне этого интервала . Найти .

7. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

Найти вероятность события A={1<X<4}.

5.6. Законы распределения случайных величин

1. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске одинакова и равна 0,7. Построить ряд распределения числа попаданий мяча в корзину.

2. Производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна 0,6. Найти случайной величины - числа появлений события в проведенных испытаниях.

3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения вероятностей , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины.

4. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 12, а среднее квалратическое отклонение равно 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

5. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратическим отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.