korobov

281

На этом этапе можно приступать к анализу деятельности предприятия. В нашем распоряжении оптимальные стратегии для каждого уровня запасов на начало планового года.

Допустим, на начало года на складе оставалось 2 партии мебели. Мы располагаем стратегией, которой соответствуют затраты на производство и хранение 72 млн. руб. Это единственно возможная стратегия деятельности с минимальными затратами. При начальном уровне запасов в 2 партии нужно в I квартале произвести 5 партий (см. табл. 7.17). Следовательно, при объеме реализации (спросе) 3 партии в квартал на начало II квартала будем иметь запас в 4 партии (zn+xn - Pn = 2 + 5 - 3 = 4). При таком уровне запаса во II квартале нет необходимости в дополнительном производстве мебели, т. е. х3 = 0 (см. табл. 7.16). В таком случае, объем запасов на начало III квартала составит 1 партию (zn+xn - Pn = 4 + 0 - 3=1). Для этого уровня запасов в III квартале требуется объем производства 5 партий мебели. При этом запас на начало IV квартала составит 3 партии (zn+xn - Pn=1+5 - 3 = 3). Запас будет полностью реализован в течение квартала и на начало следующего года будет равен 0.

Рассчитав значения затрат на производство и хранение продукции для каждого этапа, проверим полученные результаты.

I этап F1 =0+2 0=0,

II этап F2 =28+2 3=34,

Ш этап F3 =0+2 1=2,

IV этап F4 =28+2 4=36

F4(2)=F1+ F2+ F3+ F4=0+34+2+36=72

Сходный анализ можно провести и для других значений исходного уровня запасов на начало года.

282

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Проблема оптимизации экономических решений всегда занимала умы ученых и инженеров, подвигала их на разработку новых алгоритмов экономико-математических методов (ЭММ) и создание быстродействующей вычислительной техники (ПЭВМ).

Дело в том, что если в какой-то задаче m<n ( где: m – число векторов-строк, а n – число искомых переменных), то такая задача имеет бесчисленное множество решений.

Использование экономико-математических методов и ПЭВМ позволяют найти оптимальное 1 решение среди множества решений.

Однако, следует помнить, что ЭММ и ПЭВМ это лишь средства – инструмент отыскания наилучшего решения. Никакие совершенные алгоритмы ЭММ и оперативная память компьютеров не заменят главных, творческих элементов подготовки нахождения оптимального решения:

-экономической (содержательной) постановки задачи, тем более, сложной экономической проблемы;

-разработки математической модели; ее преобразования до разрешимого вида;

-подбора и обработки достоверной информации;

-определения показателя (показателей) критерия2 оптимальности;

-анализа полученного решения;

-проведения экономико-математического эксперимента.

Особенность и значение (содержательной) постановки задачи или проблемы заключаются в том, чтобы дальнейшее их моделирование было успешным, и для этого надо выполнить три правила, которые по мнению древних, являются признаком мудрости. Эти правила применительно к экономической (содержательной) постановке задач и проблем заключаются в следующем:

-учитывать главные свойства рассматриваемого объекта;

-- пренебрегать его второстепенными свойствами;

-уметь отделить главные свойства от второстепенных*).

Содержательная постановка проблемы и ее дальнейшее моделирование будут успешными если эта работа выполняется специалистами хорошо знающими предмет моделирования (особенности отрасли, экономику и управление производством и т.п.), владеющие знаниями в области оптимального программирования и моделирования экономических процессов.

Первоначальная экономико-математическая модель (Э.-м.м.) в большинстве своем требует некоторых преобразований с тем, чтобы удовлетворяла использованию того или иного алгоритма ЭММ. Какие бы преобразования ни проводились с моделью она должна быть эквивалентна той первой, которая отражает сущность решаемой задачи.

Математическое моделирование имеет два существенных преимущества:

-во-первых, позволяет быстро найти наилучшее решение;

-во-вторых, предоставляет возможность широкого экономико-математического эксперимента.

1 optimus – лат. наилучший

2 kriterion – греч. мерило, оценка

*)Б.Курицкий. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. Изд."ВНV- Санкт-Петербург", СПб, 1997.

283

Проанализировав математически и экономически результат решения и удостоверившись в оптимальности его (посредством проведения независимого контроля на базе использования теории двойственности), можно приступить к проведению эксперимента.

Для этого необходимо дополнить или внести какие-то изменения в содержательное условие задачи, уточнить или откорректировать числовую информацию, внести соответствующие изменения в Э-м.м и провести повтор решения.

Содержательная постановка сложных экономических проблем и их решение всегда должны сопровождаться проведением экономико-математического эксперимента. Это позволит принять правильное решение по внедрению результатов расчетов.

В этой связи и в соответствие с изложенным во второй части книги рассматривается экономическая постановка и математическое моделирование некоторых основных задач и проблем из области оптимального текущего и перспективного планирования производства, которая достаточно обширна и многообразна. Она охватывает различные аспекты обеспечения и непосредственной промышленной деятельности предприятий и может рассматриваться как взаимообусловленный комплекс связанных между собой основных и подчиненных оптимизационных проблем и задач, решаемых на разных уровнях (отрасль, регион, объединение, предприятие) и видах (перспективное, текущее, оперативное) планирование. Здесь нами будут рассмотрены лишь некоторые, но наиболее важные проблемы:

-Методика постановки и математического моделирования типовых оптимизационных задач;

-Методология постановки и последовательное формирование математических моделей сложных производственных проблем;

- Оптимизация	производственных программ комплексных лесопромышленных
предприятий;

-Оптимизация перспективного планирования развития и размещения отдельных лесопромышленных комплексов (ЛПК);

-Оптимизация структуры и размеров производств регионального ЛПК.

Глава 8. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

В практике планирования и управления на любом уровне (в корпорации, ассоциации, предприятиях или их подразделениях) имеют место множество различных оптимизационных задач, охватывающих различные сферы деятельности производства.

Среди этого множества можно выделить группы задач, которые наиболее часто встречаются в практике управления производством, и являющиеся первостепенными, от решения которых зависит принятие управленческих решений по большому кругу вопросов.

Ктаким задачам, прежде всего, следует отнести:

-Задачи по оптимизации программы выпуска продукции по ассортименту на отдельных предприятиях и входящих в состав различных объединений;

-Задачи оптимизации распределения разнообразных производственных заданий между полностью и частично взаимозаменяемыми исполнителями;

-Задачи по оптимизации раскроя материалов; поскольку от использования материальных и других видов производственных ресурсов в значительной степени зависит экономический результат производства.

284

Методика постановки и математического моделирования этих задач рассматривается в данной главе книги.

8.1. Особенности моделирования задачи оптимизации программы выпуска продукции

В практике управления производством наиболее распространенными следует считать задачи по определению оптимальной программы выпуска продукции по ассортименту. Они могут решаться как в перспективном, так и текущем планировании на уровне объединения (ассоциации или корпорации предприятий) или отдельного предприятия (цеха, участка). Это первостепенные задачи, от решения которых, наряду с другими факторам, в значительной мере зависит экономический результат промышленной деятельности предприятий.

Понятие оптимальной программы выпуска продукции будет разное в зависимости от уровня решения задачи.

Под оптимальной производственной программой предприятия, рассматриваемого как составное звено объединения (ассоциации, корпорации и т.п.), понимается такая программа выпуска продукции, при которой достигается максимальный экономический эффект по отношению объединения. В этом случае решается единая задача по объединению с дифференциацией по составляющим звеньям.

Рассматривая предприятие как отдельное самостоятельное подразделение, под оптимальной производственной программой следует понимать такую программу выпуска продукции, при которой достигается максимальная экономическая эффективность ( max: суммарной прибыли, объема товарной продукции в действующих ценах и т.п.) для данного предприятия.

Простейшая модель задачи оптимизации производственной программы

В главе (1.2) была рассмотрена постановка стандартной задачи линейного программирования при максимизации целевой функции на примере задачи по определению оптимальной производственной программы. В этой задаче в качестве критерия оптимальности была принята прибыль от реализации продукции, а

ограничениями служили ресурсы сырья, материалов и машинного времени.
Задача	заключалась в определении количества продукции		каждого	вида
xj(j=1,2,…,n),	которые	обеспечивают максимальную суммарную	прибыль	от ее
реализации, т.е. максимум целевой функции
n
F = ∑c j x j ,			(8.1)
j=1
при условиях:
n
∑arj x j	≤ br r =1,2,...,ε,		(8.2)
j=1
x j ≥ 0;	j =1,2,...,n,		(8.3)

где n – число видов продукции;

ε - число видов производственных ресурсов, расходуемых на выпуск продукции; сj – размер прибыли на единицу j-й продукции;

br – количество ресурсов r-го вида, которым располагает предприятие на планируемый период;

285

arj – норма расхода r-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции.

Система ограничительных неравенств (8.2) означает, что на производство продукции всех видов может быть израсходовано любого вида производственных ресурсов не более того количества, которым располагает предприятие в планируемый период.

Здесь под производственными ресурсами понимаются: сырье, материалы, покупные полуфабрикаты, изделия, время работы производственного оборудования, денежные ресурсы, площади основных цехов, энергия, пар и др.

Рассмотрим особенности этой экономико-математической модели.

Во-первых, она относится к отдельному предприятию (или отдельному подразделению его цеху, участку) и может использоваться для определения, например, дополнительного выпуска продукции из свободных производственных ресурсов (br) или для целей экономического анализа (какая «открытая» программа выпуска продукции была бы наивыгоднейшей для данного предприятия в конкретных условиях?), служила бы ориентиром для заключения контрактов по поставкам продукции.

Во-вторых, в данной постановке учтен один вид ограничений (отражающих один фактор зависимости цели от условий) по наличию и использованию производственных ресурсов, определяющих возможности данного предприятия. Кроме того, в этой Э.-м.м. заложено одинаковое отношение (≤) ко всем видам производственных ресурсов; таким образом, искомая программа как бы ориентирована на «узкое место» в производственном процессе.

Далее, в этой простейшей Э.-м.м. по определению программы выпуска продукции по ассортименту не отражена связь с потребностью народного хозяйства в той или иной продукции, т.е. потребности внутреннего и внешнего рынков, отражающие возможности реализации продукции.

Экономико-математическая модель (8.1)-(8.3) линейная, однокритериальная. Следовательно оптимальное решение находится на пике множества. Естественно, целесообразнее решать подобные задачи как многокритериальные для отыскания области оптимальных решений. Методика постановки и решения многокритериальных задач оптимизации программы выпуска продукции будут рассмотрены ниже.

Видоизменим первоначальную Э.-м.м. задачи оптимизации программы выпуска продукции таким образом, чтобы приблизить ее к форме близкой для решения реальных производственных задач. С тем, чтобы видоизмененная Э.-м.м. служила основой для дальнейшей разработки подобных моделей применительно к конкретным производственным условиям, специфическим для той или иной отрасли промышленности.

Поскольку предприятия, в силу определенных условий, объединяются в различного рода ассоциации (корпорации и др. объединения), целесообразным уровнем оптимального планирования программы выпуска продукции на предприятиях является объединение (под ним будем понимать все формы объединений: корпорации, ассоциации и т.п.).

Рассмотрим такую постановку и Э.-м.м.

Э.-м.м. оптимизации производственной программы предприятий объединения

Задача заключается в отыскании искомых переменных xji, характеризующих количества j-ой продукции, вырабатываемой на i-x предприятиях объединения, максимизирующих целевую функцию

n m
F(x ji ) = ∑∑c ji x ji ,	(8.4)

j=1 i=1

при условиях:

286

	≤
		r =1,ε,
n
∑arji x ji = bri		;				(8.5)
j=1
		i =1,m
	≥
x ji ≥ 0,	j =1,2,...,n; i =1,2,...,m.					(8.6)

где bri – фонд r-го производственного ресурса, которым располагает i-е предприятие в планируемом периоде;

arji – нормы расхода r-го ресурса на выпуск единицы (10 ед., комплекта) j-й продукции на i-м предприятии;

m – число предприятий в объединении.

Система ограничительных условий (8.5) отражает условия по наличию и использованию разных производственных ресурсов на предприятиях объединения. При этом, в систему могут включаться как уравнения (=), предусматривающие полное (100%) использования какого-то ресурса (например, эффективного машинного времени ведущей группы оборудования), так и неравенства с разными знаками (≤, ≥).

В неравенства типа

n
∑ar1 ji x ji ≤ br1i ,	(8.5.1)
j=1

для приведения к канонической форме вводится уравновешивающая переменная xnm+r1i , характеризующая величину неиспользуемой части ресурса r1 на i-м предприятии − xnm+r1i , и условие (8.5.1) примет вид

r

n

=

1,ε

1

,

∑ar1 ji x ji

+ xnm+r1i =br1i

1

;

(8.5.1')

j

1

=1,m

=

i

В неравенства типа

n

∑ar2 ji x ji

≥ br2i ,

(8.5.2)

j=1

вводится

уравновешивающая

переменная

− xnm+r2i

(с коэффициентом –1),

характеризующая дополнительную величину ресурса r2 на i-м предприятии сверх фонда

br i , необходимую для	обеспечения оптимального варианта программы выпуска
2
продукции. Условие (8.5.2) примет вид
		r =
n				1,ε		2	,
∑ar2 ji xji − xnm+r2i	=br2i	2
		;						(8.5.2')
j 1
=		i =1,m

Посредством изменения условий (8.5) и внесения дополнительных корректив в постановку задачи, проводится как бы экономический эксперимент многоразового решения одной и той же задачи с целью отыскания лучшего, приемлемого варианта для внедрения в производство.

В тех случаях, когда изыскание дополнительных ресурсов r2i связано с

необходимостью, например, расширения производственных площадей, приобретением и установкой дополнительного оборудования на каких-то операциях и т.п., в модель задачи (8.4 – 8.6) вводится дополнительное условие по наличию и использованию денежных средств на эти цели

287

ε2 m
∑∑dr2i xnm+r2i ≤ D.	(8.7)
r2 =1 i=1
Здесь D – денежные средства объединения, предназначенные на расширение
производства и приобретение оборудования;
dr i - денежные вложения на единицу приращения	ресурса r2 на i-м
2

предприятии.

Условие (8.7) в модель задачи может быть включено в несколько ином виде, если собственных средств D0 недостаточно:

ε2 m
∑∑dr2i xnm+r2i − y = D0 .	(8.7')

r2 =1 i=1

Здесь, искомая переменная y будет характеризовать потребность в заемных денежных средствах.

Задачи по определению оптимальной программы выпуска продукции относятся к классу ассортиментных задач.

В Э.-м.м. этих задач, помимо ограничений по использованию производственных ресурсов (8.5), необходимо предусматривать ограничения по ассортименту выпускаемой продукции (по соотношению выпуска тех или иных видов продукции, выполнению обязательств по поставкам и т.п.).

Однако, первый вариант решения задачи должен предусматривать условие «открытого плана» выпуска продукции xji≥0 для всех j=1,2,…,n и i=1,2,…,m. Это позволит установить наивыгоднейший вариант программы объединения, без учета обязательств по поставкам. Это необходимо для последующего заключения договорных обязательств.

После определения госзаказа и других обязательств по поставкам продукции проводится повтор решения задачи с включением в модель ограничений по ассортименту выпускаемой продукции. Рассмотрим некоторые из них.

В ряде производственных задач в исходных условиях может быть установлен (задан) объем выпуска какого-то одного или нескольких видов продукции, т.е. объем производства продукции, положим вида s, является фиксированным (xs=Ps) и в интересах объединения дополнительный выпуск нецелесообразен. В этом случае в модель задачи вводится следующее ограничение:

m
∑xsi = Ps , s = 1, S.	(8.8.1)

i=1

В исходных условиях некоторых задач могут быть заданы нижние пределы производства какой-то продукции, например, вида l- Pl или верхние пределы - например,

по продукции t- Pt . Соответственно в систему ограничительных условий вводятся:

m
∑xli	≥ Pl			,	l =		1, L		(8.8.2)
i=1
τ
∑xti	≤	Pt		,	t =	1,τ			(8.8.3)

t=1

В расширенном условии задачи, приведенном к канонической форме, уравновешивающая переменная xli≥0 в условии (8.8.2) будут характеризовать выпуск продукции l на i-м предприятии сверх установленного минимума; в ограничениях (8.8.3)

288

уравновешивающие переменные xti' ≥ 0 вместе с основными xti будут характеризовать

суммарный объем производства t-й продукции в пределах установленного верхнего объема производства.

В условии некоторых ассортиментных задач могут быть одновременно установлены нижний и верхний пределы объема производства продукции тех или иных видов. В ограничительные условия такой задачи войдут дополнительные двусторонние ограничения вида

m
Pk ≤ ∑xki ≤ Pk , k = 1, K,	(8.8.4)

i=1

которые сводятся к условиям (8.8.2) – (8.8.3).

Наконец, в исходных данных некоторых ассортиментных задач может содержаться условие комплектности в выпуске отдельных изделий (или деталей). Такие условия задачи чаще всего встречаются при установлении оптимальной программы выпуска продукции в цехах и на участках (в машиностроении, мебельной и деревообрабатывающей промышленности).

Предположим, что изделия j и l должны быть изготовлены в соотношении α : β . Математически это может быть представлено в виде следующего выражения

	m
	∑x ji		α
	i=1	=
	m		β
	∑xli
	i=1

или, что то же в разрешимом виде

mm

β∑x ji − α∑xli = 0.

(8.8.5)

(8.8.5')

i=1 i=1

Нами рассмотрены основные виды и типы ограничительных условий задачи по определению оптимальной программы выпуска продукции по ассортименту на предприятиях объединения. В зависимости от конкретных производственных условий в системе ограничений могут быть учтены и другие факторы, влияющие на результат решения. Однако, следует предупредить читателя о том, что нельзя этим увлекаться. В условиях задачи должны быть учтены основные (определяющие) факторы, от которых коренным образом зависит решение поставленной проблемы (или задачи). Второстепенные факторы могут исказить результат решения, кроме того, усложнят и затруднят процесс решения. Необходимо учитывать только главное и отбрасывать все второстепенное. В этом и состоит искусство смысловой постановки проблемы или задачи.

Оптимизация производственной программы в многокритериальной постановке

Общий и особенно экономический результат решения любой проблемы зависит прежде всего от того, какие факторы и условия, как и в какой мере учтены при ее решении, какая и насколько достоверная информация заложена в условие, какие показатели использованы в качестве критерия оптимальности.

Еще ведутся дискуссии вокруг основных понятий оптимизации - таких как критерий оптимальности плана, согласование глобального и локального оптимумов, динамический аспект плана и др. Здесь мы их рассматривать не будем.

В оптимизации любой проблемы большое значение имеет выбор критерия (критериев) оптимальности. Ибо под критерием оптимальности понимается

289

показатель, выражающий меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного

решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего из них.

При решении разных проблем и задач в качестве критерия оптимальности используются различные экономические, технико-экономические и другие показатели: действующие оптовые цены, производственные затраты, прибыль, хозрасчетный доход, приведенные затраты, грузовая работа и др.

Целый ряд экономических задач без существенного ущерба может решаться с одним, наиболее подходящим для данных условий, критерием. Однако каждый показатель в конкретном случае использования имеет как свои преимущества, так и недостатки. Кроме того, как было показано в разделе, посвященном элементам теории математического программирования, оптимум, найденный по одному критерию, находится на пике множества. Тем самым ставит условия реализации оптимального решения в жесткие рамки. Чтобы сгладить влияние на результат решения проблемы какого-то одного показателя, целесообразно решать ее как многокритериальную задачу.

Существуют различные подходы к реализации многокритериального решения:

-оптимизируя по одному критерию (почему-либо признанному наиболее важным); остальные при этом играют роль дополнительных ограничений;

-посредством упорядочения заданного множества критериев и последовательной оптимизации по каждому из них, затем выбирают компромиссное решение;

-сведения многих критериев к одному комплексному с помощью балльных оценок, ранжирования и других способов сопоставления.

Наиболее сложный третий путь многокритериального решения - он связан с

дополнительными трудностями подготовки обобщающего комплексного показателя. Однако и в нашей стране, и за рубежом (Б.И.Кузин - Россия, Ст.Стойков - Болгария и др.) он нашел применение.

Поскольку оценка промышленной деятельности предприятий и объединений осуществляется на основе системы показателей, то и критерий оптимальности определения производственной программы может представлять собой систему разнообразных научно-технических, экономических и производственно-технических требований.

Для учета разнообразных требований, предъявляемых к номенклатуре выпускаемой продукции, можно использовать различные способы сопоставления (бальные оценки, ранжирование и др.)

Следующий путь решения проблемы оптимизации производственных программ в многокритериальной постановке заключается в повторе решений с разными критериями (на max отдельных) (8.4) и заключительного решения на min суммарного отклонения от максимальных их значений.

Таким образом, находится вариант производственных программ предприятий объединения, обеспечивающий наибольшее приближение к экстремумам нескольких целевых функций (нескольких критериев).

Минимизация суммарных отклонений от max значений целевых функций по отдельным критериям (в заключительном варианте решения проблемы) осуществляется на min функции

		G	k	− F (x			ji	)
					k
W = ∑ αk										(8.9)
				Gk
k

290

здесь: Gk - максимальное значение (или min в других постановках) целевой функции по

соответствующему критерию оптимальности -k.
Gk = max Fk (x ji );	(8.10)

Fk (x ji ) - значение целевой функции по критерию - k, при решении задач на

максимум смежного критерия;

αk - весовой коэффициент того или иного критерия оптимизации.

Величина весового коэффициента (αk ) может быть одинаковой для разных

критериев и разной в зависимости от значимости тех или иных показателей для данных производственных условий.

В то же время, для всех вариантов принимаемых решений должно соблюдаться

условие

∑αk = 1.	(8.11)
k

На этот подход к решению данной проблемы в многокритериальной постановке нас привела работа ученых ЦЭМИ АН СССР (Борисова Э.П. и др.,1985), посвященная для несколько иных задач линейного программирования.

8.2. Экономико-математическое моделирование оптимизационных распределительных задач

В практике планирования и управления производством на разных этапах и уровнях встречается большая группа задач, связанных с нахождением плана распределения производственного задания по выпуску продукции (или выполнению работ) между какими-то исполнителями (предприятиями, цехами, участками, бригадами; наконец, между отдельными машинами, станками); задачи по распределению машин, рабочих по видам работ; земельных участков - под посев или посадки разных культур и т.п.

Эта группа задач в литературе получила название распределительных нетранспортных оптимизационных задач. В 5.5 нами была сформулирована одна из таких задач (5.28-5.31) с целью рассмотрения одного из методов ее решения (метода Малкова).

Поскольку эта группа задач обширна и многообразна рассмотрим методику экономико-математического моделирования некоторых типов распределительных нетранспортных задач.

Оптимизация распределения задания по производству продукции между исполнителями

Экономическое содержание задачи. Известно производственное задание по выпуску продукции (или выполнению работ) - Рj; j=1,2,…,n, которое следует распределить между взаимозаменяемыми исполнителями (положим, машинами и т.п.) таким образом, чтобы это задание было выполнено с max экономическим эффектом.

При этом, полагаем, что любая продукция (или работа) может производиться у любого исполнителя (на любой машине)

В условии задачи известны: фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя в планируемом периоде - bi; i=1,2,…,m; нормы затрат эффективного