- •Предел функции.
- •Бесконечно малые и бескончено большие функции
- •Теоремы о пределе суммы, произведения и частного
- •Первый замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Односторонние пределы
- •Производная суммы частного и произведения определения
- •Дифференцирование сложной функции (теорма)
- •Дифференциал. Геометрический смысл. Связь приращения и дифференциала функции
- •Признаки постоянства, монотонности функции.
- •Частные производные первого порядка.
- •Полный дифференциал.
- •Первообразный интеграл, свойсва интегралов, таблица интегралов.
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (формулы)
- •Определение интеграла (определение)
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона Лейбнеца
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Определение и свойства двойного интеграла
- •Вычисление двойного интеграла
- •Определение криволинейного интеграла второго рода
- •Свойства криволиненойго интеграла
- •Формула Грина
-
Предел функции.
Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.
-
Бесконечно малые и бескончено большие функции
Функция y = f(x) называется бесконечно большой при x →x0, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ(M) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |x - x0|< δ, выполняется неравенство |f(x)| > М. Записывают или f(x) → ∞ при x →x0.
Функция y = f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при x → ∞, если для любого числа М > 0 найдется такое число N=N(M) > 0, что при всех x, удовлетворяющих неравенству |x| > N, выполняется неравенство | f(x)| > M.
-
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного
Теоремы:
1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:.
2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:.
3)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:.
-
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
-
2ой-4ый замечательный предел
e – это иррациональное число: e≈2,7…
Нередко можно встретить модификацию второго замечательного предела:
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .
-
Непрерывность функции
Функция называется непрерывной в точке , если:
-
функция определена в точке и ее окрестности;
-
существует конечный предел функции в точке ;
-
это предел равен значению функции в точке , т.е.
определения:
Функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции.
Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
-
Односторонние пределы
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).
Функция называется непрерывной при , если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т.е. равны .
-
Производная суммы частного и произведения определения
Производная суммы
Пусть — две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют, т. е.
Производная произведения
Производная произведения двух функций и вычисляется по формуле
Производная частного
Если функции имеют в точке х производные и если то в этой точке существует производная их частного которая вычисляется по формуле
-
Дифференцирование сложной функции (теорма)
Теорема 1. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и ее аргументы x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .
Тогда сложная функция z = f(x(t), y(t)) переменной t дифференцируема в точке t0 и ее производная вычисляется по формуле
Теорема 2. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и ее аргументы x = x(u, v) и y = y(u, v) дифференцируемы в точке (u0, v0) , причем x(u0, v0) = x0 , y(u0, v0) = y0 .
Тогда сложная функция z = f(x(u, v), y(u, v)) переменных u и v дифференцируема в точке (u0, v0) и ее частные производные вычисляются по формулам
|
|
-
Таблица производных
Таблица производных, производные основных элементарных функций