Колледж телекоммуникаций DTO_Zanyatie_53

Математика 1 курс СПб ГУТ Колледж телекоммуникаций

ДТО Занятие № 53 Геометрические преобразования пространства 4

Занятие № 53 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА

1. Параллельный перенос.

2. Симметрия относительно плоскости.

3. Решение задач.

Определение. Движением пространства называется такое его преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками.

1. Параллельный перенос.

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства при котором любая точка переходит в такую точку , что =.

Свойства параллельного переноса

1. Параллельный перенос есть движение;

2. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя);

3. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и тоже расстояние;

4. Каковы бы ни были точки Aи существует единственный параллельный перенос при котором точка A переходит в точку ;

5. Два параллельных переноса, выполненные последовательно дают параллельный перенос;

6. Преобразование обратное параллельному переносу есть параллельный перенос.

7. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит в себя или в параллельную ей плоскость.

8. Параллельный перенос задаётся в пространстве формулами , , , выражающими координаты , и точки в которую переходит точка при параллельном переносе.

2. Симметрия относительно плоскости

Определение. Симметрией относительно плоскости (зеркальной симметрией) называется такое отображение пространства на себя , при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно плоскости точку .

Теорема. Зеркальная симметрия является движением.

Пример зеркальной симметрии.

На рисунке изображён план улицы зодчего Росси. Здания на противоположных сторонах улицы зеркально симметричны относительно вертикальной плоскости, идущей по оси симметрии её мостовой.

3. Решение задач.

Найдите координаты точек, в которые переходят точки , и при зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Решение.

Так как у точки A координата x равна нулю, то эта точка лежит в плоскости YOZ. При симметрии относительно плоскости YOZ точка A переходит сама в себя. При симметрии относительно плоскости XOY точка переходит в точку , а при симметрии относительно плоскости XOZ - в точку.

Остальные точки рассмотреть самостоятельно

Контрольные вопросы и задания:

1. Какая фигура не обладает осью симметрии

а) конус;         в) наклонная призма;

б) цилиндр;   г) куб;

2. Какая фигура является центрально симметричной

а) тетраэдр;                    в) конус;

б) усеченный  конус;    г) шар;

3. При центральной симметрии

1) прямая не проходящая через центр симметрии, отображается на:

а) параллельную ей прямой;             в) пересекающую её прямую;

б) перпендикулярную ей прямую;   г) что-то др.

2) прямая проходящая через центр симметрии, отображается на :

а) себя;                                    в) перпендикулярную прямую;

б) параллельную прямую;    г) луч;

4. Найдите координаты т.С, в которую переходит т.В (3; -1; 4) при

1) центральной симметрии относительно начало координат;

2) осевой симметрии относительно оси ОZ;

3)  осевой симметрии относительно оси ОУ;

4)   осевой симметрии относительно оси ОХ;

5) при зеркальной симметрии относительно плоскости ХОУ;

6) при зеркальной симметрии относительно плоскости ХОZ;

7) при зеркальной симметрии относительно плоскости YOZ.