kuzmina_fizika_mexanika

Методические указания к выполнению лабораторной работы

Для обеспечения равноточности прямых измерений необходимо исследовать систему в одних и тех же условиях: раскручивать ее за один шкив диаметром d с помощью одного груза массой m , опускающегося на одно расстояние h .

Работу целесообразно выполнять в такой последовательности:

1.Получите у лаборанта штангенциркуль, секундомер, основной груз

ивспомогательные грузики для утяжеления подставки.

2.Запишите в табл. 1 (в протоколе) данные измерительных приборов,

в том числе приборные погрешности dпр, tпр,	h =1 см.
3. Запишите для массы груза значения m ±	m . Эти данные указаны на
грузе.

4.Установите цилиндры 5 на концах стержней 3 и 4 (рис. 1) так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии. Чтобы этого добиться, сначала необходимо подставку, привязанную к нити, поместить на стол или на кронштейн, на котором крепится вся конструкция. При этом ослабленная нить должна иметь свободный запас (петлю). Затем следует несколько раз очень легкими толчками привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Если, останавливаясь, маятник покачивается, то это говорит о том, что он приходит в устойчивое равновесие, а не в безразличное. В этом случае тот из четырех цилиндров маятника, который оказался внизу, следует немного приблизить к оси.

5.По указанию преподавателя выберите для эксперимента шкив. Измерьте его диаметр не менее трех раз в различных местах. Результаты запишите в табл. 2.

					Таблица 2
№ измерения	1	2	3	d
d, мм

6. Добейтесь того, чтобы момент силы тяжести подставки 7 относительно оси вращения уравновесил момент сил трения (т. е. выполнялось условиеm0 gR = M тр). Для этого намотайте в один слой нить на шкив и лег-

ким толчком приведите систему в движение. Измерьте промежутки времени τ1 и τ2 , за которые груз проходит равные расстояния. Если τ1 ≠ τ2 , сле-

дует добиться равномерного движения, помещая на подставку вспомогательные гири.

7. По вертикальной линейке, укрепленной на стене, выберите начальное положение подставки (при котором будет начинаться движение и включаться секундомер) и конечное, нижнее ее положение (при котором будет выключаться секундомер). Во всех опытах высота, на которую будет опускаться груз, должна быть одинаковой. Чтобы относительная погреш-

11

ность δh была не очень большой, возьмите h в пределах 80–100 см. Вы-

бранное значение запишите в виде h = h ± h , здесь h – абсолютная погрешность, ее следует считать равной 1 см.

8.Поместите на подставку груз известной массы и намотайте нить на нужный шкив так, чтобы подставка поднялась в исходное положение.

9.Спокойно, без толчка, освободите систему, одновременно включите секундомер. Измерьте время t движения груза на пути h. Измерения сделайте не менее трех раз. Результаты запишите в табл. 3 (а).

										Таблица 3
а. Цилиндры на концах стержней								б. Цилиндры вблизи шкива
№ измерения	1	2	3					№ измерения	1	2	3
					t								t
t, c								t, c

10.Переместите цилиндры вдоль стержня почти до упора (рис. 2, б). Сбалансируйте систему в этом новом положении, как описано в п. 4. Проделайте измерения, указанные в пп. 5–9. Результаты запишите в табл. 3 (б).

11.По указанию преподавателя запишите значение доверительной вероятности α(для которой предстоит вычислять погрешность).

12.Проверьте полученные результаты измерений у преподавателя. Сдайте лаборанту измерительные инструменты и грузы. Подпишите протокол у лаборанта и затем у преподавателя.

Обработка результатов намерений

1.Приведите в отчете табл. 1, в которой указаны погрешности измерительных приборов.

2.Запишите средние значения и погрешности тех величин, которые известны до начала измерений (константы косвенного измерения):

g =(9,81±0,01)м/c2 ; m =(m ± m)кг.

3. Запишите выбранное значение высоты h = (h ± h)м.

4.Запишите значение доверительной вероятности α, указанное преподавателем.

5.Подсчитайте средний диаметр шкива d и сумму квадратов отклонений отдельных измерений

∑3 ( dk )2 . k =1

Ход вычислений отразите в табл. 2 (в отчете).

12

										Таблица 2
№ измерения					1	2	3
dk
								d		=
dk =
	dk −d
( dk )2								∑3 ( dk )2 =
								k =1
Среднее значение					округляется	до трех значащих цифр. Величины dk

иих квадраты округляются до двух значащих цифр.

6.По заданной доверительной вероятности α и числу n проведенных измерений найдите в таблице коэффициентов Стьюдента величину tα,n .

7.Вычислите квадрат случайной погрешности

∑n ( di )2

( dα )2 = (tα,n )2 i=n1(n −1) .

8. Вычислите полную абсолютную погрешность диаметра

d = ( dα )2 +( dприб)2 .

9. Подсчитайте t и ∑3 ( tk )2 для системы «а» (цилиндры разведены)

k=1

исистемы «б» (цилиндры сведены).

Ход вычислений отразите в табл. 3 (в отчете).

							Таблица 3
	а. Цилиндры на концах стержней*
№ измерения tk	1	2		3
tk							=
					t
tk
( tk )2						∑3 ( tk )2 =
					k =1
*Для системы «б» таблица имеет такой же вид.

10.Зная αи п (кратность измерения времени), найдите по таблице коэффициентов Стьюдента tα,n .

11.Вычислите квадрат случайной погрешности для времени движения груза

	( t		)2			)2	∑n ( ti )2
				= (t			i=1	.
		α			α,n		n(n −1)

13

12. Вычислите полную абсолютную погрешность для времени движения груза

t = ( tα )2 +( tприб)2 .

13.Вычислите относительную погрешность.

14.Вычислите среднее значение момента инерции I , подставив в рабочую формулу (9) средние значения всех аргументов.

15.Вычислите абсолютную погрешность косвенного измерения

I= IδI .

16.Округлите I до одной значащей цифры и запишите окончательный результат в виде

I = (I ± I )ед. изм., при α =...; δI =...

Здесь значение I должно быть округлено до того разряда, который соответствует единственной значащей цифре в величине I .

17. Выполните пп. 10–16 в отдельности для систем «а» и «б».

Дополнительное задание (по указанию преподавателя)

По данным лабораторной работы определите:

1)число оборотов, сделанных системой за время движения груза на

пути h;

2)кинетическую энергию груза и вращающейся системы при крайнем нижнем положении груза;

3)касательное, нормальное и полное ускорение точек на ободе шкива. Сравните потенциальную энергию груза в верхнем положении с кине-

тической энергией груза и вращающейся системы при крайнем нижнем положении груза.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте и напишите, что такое момент силы, момент инерции, угловая скорость и угловое ускорение, момент импульса материальной точки и тела.

2.Сформулируйте основной закон динамики вращательного дви-

жения.

3.Почему вращение происходит с постоянным ускорением только в том случае, когда маятник сбалансирован?

4.Как выглядит график зависимости функции ε(I ) ?

5.Меняется ли натяжение движущейся нити в зависимости от радиуса

шкива?

14

Лабораторная работа 1.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ДИСКА ПО ЕГО КРУТИЛЬНЫМ КОЛЕБАНИЯМ

Цель работы

Целью работы является определение момента инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости диска.

Подготовка к работе

При подготовке к лабораторной работе следует изучить теоретический материал по [4, с. 140–144].

Как известно, при вращении тела относительно неподвижной оси его инерционные свойства характеризуется моментом инерции тела относительно этой оси.

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению ее массы на квадрат расстояния до этой оси:

I = mr2 .

(1)

Момент инерции тела относительно этой оси равен сумме моментов инерции всех точек тела относительно этой оси:

Рис. 1

дящей через

n
I = ∑miri2 .	(2)

i=1

При непрерывном распределении массы момент инерции тела может быть вычислен по формуле

I = ∫ρr2dV ,	(3)
V
где ρ – плотность материала тела; dV	– элемент

объема тела, выделенный на расстоянии r от оси вращения. Масса этого элемента dm =ρdV .

Используя (3), выведите формулу для определения момента инерции диска относительно оси, прохо-

центр тяжести диска перпендикулярно его плоскости:

	Iд =	MR2	,	(4)
		2

где M – масса диска; R – радиус диска.

Момент инерции тела зависит от формы тела, положения оси вращения и распределения массы тела относительно этой оси. Как известно из [4], используя теорему Штейнера, можно определить момент инерции

15

тела I относительно любой оси вращения (aa' на рис. 1), если известен момент инерции I0 относительно параллельной оси ОО, проходящей через центр тяжести тела

I = I0 + ml2 ,

(5)

где m – масса тела; l – расстояние между осями ОО' и aa'.

Описание лабораторной установки и метод измерений

В данной работе момент инерции диска (стержня) определяется с помощью его крутильных колебаний.

Из теории колебаний [4, с. 195–197] известно, что тело, подвешенное на упругой нити, – система, способная совершать крутильные колебания. При повороте тела в горизонтальной плоскости происходит закручивание нити. Возникающий при этом момент сил упругости стремится вернуть тело в исходное положение. Если угол поворота тела ϕ мал ( ϕ ≈5°), момент

M сил упругости пропорционален ϕ ( M = Dϕ,		где D – модуль кручения
нити), и тело совершает гармонические колебания с периодом
T = 2π	I ,	(6)
	D

где I – момент инерции подвешенного на нити тела относительно оси вращения, проходящей через центр тяжести тела и совпадающей с нитью.

Тело, момент инерции которого необходимо определить, например диск 1 на рис. 2, укреплено на проволоке 2 так, что ось вращения проходит через центр тяжести диска перпендикулярно его плоскости.

.

Рис. 2

Рис. 3

Если диск слегка повернуть в горизонтальной плоскости, и отпустить, то он начнет совершать крутильные гармонические колебания, период которых Т можно измерить на опыте. Для определения момента инерции диска относительно оси, совпадающей с осью проволоки, этого измерения недостаточно, поскольку уравнение (6) содержит две неизвестные величины – искомый момент инерции и модуль кручения проволоки D. Поэтому необ-

16

ходимо составить еще одно уравнение, в которое входили бы те же неизвестные величины (I и D). Это можно сделать, если образовать систему тел, состоящую из диска и, например, двух одинаковых цилиндрических грузов 3, укрепленных на поверхности диска симметрично относительно оси ОО' (рис. 3) на расстоянии l от оси. Момент инерции такой системы относительно оси ОО' равен сумме моментов инерции диска I и цилиндрических грузов Il относительно той же оси.

Период крутильных колебаний образованной системы тел

T	= 2π I + Il .	(7)
l	D

Решив систему уравнений (6) и (7), можно определить момент инерции диска

I = Il	T 2
			.	(8)
	T 2	−T 2
	l

Момент инерции Il цилиндрических грузов можно определить по тео-

реме Штейнера. Известно [4], что момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси

	I =	mr2	,	(9)
		2
	где r – радиус цилиндра; m – его масса.
	Тогда на основании теоремы Штейнера (5) момент инерции двух ци-
	линдрических грузов определяется выражением
	Il = m(r2 + 2l2 ),			(10)

где l – расстояние от оси вращения OO' до параллельной ей оси, проходящей через центр тяжести цилиндрического гpуза (рис. 3). Подставляя (10) в (8), получим

	I = m(r2 + 2l2 )		T 2	.	(11)
		T	2 −T 2
		l

Следует учесть, что в работе измеряются не радиусы r цилиндров, а их диаметры d. Кроме того, периоды колебаний Т и Tl тоже не измеряются не-

посредственно. Измеряется время τ, в течение которого совершается n пол-

ных колебаний. Тогда T =

τ

, T =

τl

.

n

l

nl

С учетом вышесказанного и при условии, что n = nl , формула (11) пре-

образуется к виду

2

2

τ

I = m

d

+ 2l

2

.

(12)

4

2

−

τ

2

τl

Эта формула и является рабочей формулой для определения момента инерции диска по его крутильным колебаниям.

17

Методические указания по выполнению работы

1.Получить у лаборанта необходимые измерительные приборы.

2.Записать в протокол в таблицу измерительных приборов данные измерительных приборов. Вычислить приборные абсолютные погрешности.

3. Записать в протокол численное значение массы цилиндра m ± m (m – константа косвенного измерения).

4. Измерить диаметр каждого цилиндра не менее трех раз (на разной высоте). Результаты записать в табл. 2.

						Таблица 2
№ п/п	d1, ед. измерения					d2, ед. измерения
1
2
3
						2 =…;
		d1 = …;			d

d= d1 +2 d2 .

5.Повернуть двумя руками диск вокруг вертикальной оси на неболь-

шой угол ( ϕ< 6°) и легко, без толчков, отпустить его. Измерить промежуток времени τ, в течение которого происходят n (n = 15...20) колебаний

диска, измерения проделать 3 раза.

6.Укрепить цилиндры на расстоянии l1 от оси вращения. Измерить l1 .

ивремя τ1 , в течение которого происходят n колебаний системы (диск плюс

цилиндры). Опыт повторить 3 раза.

7. Измерения, указанные в п. 6, проделать для трех значений l, ука-

занных на рабочем месте, данные пп. 5–7 записать в табл. 3.

							Таблица 3
№	τ, с		l, мм			τl , с
п/п
		l	l2	l3	τ1	τ2		τ3
		1
1
2
3

8. Проверить результаты измерений у преподавателя. Сдать инструмент дежурному лаборанту. Подписать протокол у лаборанта, а затем у преподавателя.

18

Обработка результатов измерений

В данной работе момент инерции диска I определяется по формуле (12) три раза (для каждого значения l и соответствующего ему значенияτl ). Очевидно, что момент инерции ненагруженного диска есть величи-

на постоянная, и поэтому при расчете его должно получиться три значения, мало отличающихся друг от друга. Следовательно, это случай равноточных косвенных измерений и нужно воспользоваться второй методикой обра-

ботки результатов измерений [l, 2].

Особенности второй методики

Для искомой величины I подсчитывается несколько значений (для ка-

ждого опыта – свое значение).

Случайная погрешность результата оценивается по разбросу полученных значений косвенно измеряемой искомой величины так же, как и в случае прямых измерений.

Систематическая (приборная) погрешность результата находится подстановкой в заранее выведенную формулу погрешности косвенного измерения только приборных погрешностей прямых измерений.

Последовательность операций при обработке результатов измерений:

1.Вычислить среднее значение d , среднее значение τ, средние зна-

чения l и τl (для каждого значения l ).

2.Для каждого значения l вычислить по формуле (12) величину I . Результаты округлить до трех значащих цифр.

3.Вычислить среднее значение момента инерции I . Результат округлить до трех значащих цифр.

4.Вычислить отклонения отI значений I, полученных в каждом из

опытов (абсолютные погрешности) Ii = Ii − I .

5. Вычислить сумму квадратов отклонений

∑3 ( Ii )2 . i =1

Результаты пп. 1.5 занести в табл. 4.

6.Задать значение доверительной вероятности α(по указанию преподавателя) и определить по таблице коэффициент Стьюдента.

7.Определить квадрат случайной погрешности

	( I		)2			)2	∑3 (	Ii )2
				= (t			i=1		.
		α			α,n		n(n −1)

Результат округлить до двух значащих цифр.

19

Таблица 4

№

d1 ,

d2 ,

τ,

l1,

τ1,

l2 ,

τ2 ,

l3 ,

τ3 ,

I ,

I ,

( I )2 ,

п/п

мм

мм

с

мм

с

мм

с

мм

с

кг·м2

кг·м2

кг2·м4

1

2

3

d1 =

d2 =

τ =

l1 =

τ1 =

l2 =

τ2 =

l3 =

τ3 =

I =

∑( Ii )2

=

3

i=1

20