kuzmina_fizika_mexanika

8. Определить относительную систематическую (приборную) погрешность δIсист, подставив в выведенную формулу относительной по-

грешности только приборные ошибки прямых измерений. Эта погрешность вычисляется один paз для случая, результат которого ближе всего к среднеарифметическому значениюI .

9. Определить квадрат абсолютной систематической (приборной) погрешности

( Iсист)2 = I 2 (δIсист)2 .

Результат округлить до двух значащих цифр.

10. Определить полную абсолютную погрешность

I = ( Iα )2 +( Iсист)2 .

Округлить I до двух значащих цифр.

11. Определить полную относительную погрешность косвенного измерения

δI = II .

12. Записать окончательный результат с учетом правил округления в

виде

I = (I ± I ), ед. изм., при α =..., δI =...

Дополнительные задания к работе (по указанию преподавателя)

1.Рассчитать модуль кручения проволоки, на которой подвешен диск.

2.Определив массу диска M и его радиус R, рассчитать момент инер-

ции диска по формуле (4) и сравнить полученный результат с данными эксперимента.

3.Ось перпендикулярна бесконечно тонкому однородному стержню массы m и длины l и проходит через его середину. Определить момент инерции стержня.

Указание. Вместо объемной плотности целесообразно ввести линей-

ную ρl = m / l . Момент инерции определится интегралом I = ∫ρl r2dl , взя-

l

тым по длине стержня.

Контрольные вопросы

1.Дайте определения момента инерции материальной точки, телa.

2.Сформулируйте теорему Штейнера.

3.В чем сущность метода измерения момента инерции твердого тела?

4.Почему не рекомендуется в работе измерять непосредственно периоды колебаний, т. е. время одного полного колебания?

21

Лабораторная работа 1.4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Цель работы

Целью работы является экспериментальная проверка теоремы Штейнера на основе исследования крутильных колебаний.

Подготовка к работе

При подготовке к работе необходимо изучить теоретический материал, изложенный в описании лабораторной работы 1.3.

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела I относительно произвольной оси aa´ равен

I = I0 + ml2 ,

(1)

где I0 – момент инерции этого тела относительно оси OO´, параллельной

оси aa´ и проходящей через центр масс тела; m – масса тела; l – расстояния

между осями (рис. 1 в работе 1.3).

Это соотношение предлагается проверить на основании исследования крутильных колебаний диска, подвешенного на упругой проволоке. Схема

установки приведена на рис. 2 и 3 в описании работы 1.3.

Период крутильных колебаний диска T0 определяется соотношением

T	= 2π I0		,	(2)
0		D

где I0 – момент инерции диска относительно оси, проходящей через про-

волоку; D – модуль кручения проволоки. Период колебаний может быть

определен экспериментально, а момент инерции диска – по формуле

	I0 =	MR2	,	(3)
		2

где M – масса диска; R – радиус диска.

Если на диске симметрично оси вращения установить два одинаковых цилиндра, то момент инерции диска с цилиндрами относительно оси вра-

щения будет равен

I = I0 + Iц,					(4)
где момент инерции цилиндров Iц, согласно			теореме Штейнера, равен
	2	2
mr	+ ml			,	(5)
Iц = 2
2

где m – масса одного цилиндра; r – его радиус; l – расстояние от оси цилиндра до оси вращения диска.

Период колебаний диска с цилиндрами определяется соотношением

22

T = 2π			I0 + Iц .				(6)
				D
После измерения периода колебаний диска с цилиндрами T из соот-
ношений (2) и (6) можно найти Iц:
		2			2
	MR		T
Iц =							(7)
	2					−1 .
		T0

Сравнивая величину Iц, рассчитанную теоретически по формуле (5), с

определенной экспериментально из (7), можно проверить справедливость теоремы Штейнера.

Порядок выполнения работы

1. Для определения момента инерции диска I0 измерьте три раза ра-

диус диска R. Результаты измерений занесите в табл. 1. Масса диска M приведена на рабочем месте.

2. Определите период колебаний диска без цилиндров T0 . Для этого

поверните диск на 5–10° относительно оси, отпустите и измерьте время, за которое диск совершит 20 колебаний τ0 . Повторите измерения 3 раза и за-

пишите в табл. 1 результаты измерений.

3.Измерьте три раза диаметр цилиндра с помощью штангенциркуля, данные занесите в табл. 1. Масса цилиндров указана на самих цилиндрах.

4.Разместите цилиндры на расстоянии l1 от оси вращения (величина l1

указана на рабочем месте). Для нахождения периода колебаний диска с цилиндрами T1 поверните диск на 5–10° относительно оси, отпустите и из-

мерьте время, за которое диск совершит 20 колебаний τ1. Повторите изме-

рения 3 раза.

5. Разместите цилиндры на расстоянии l2 от оси вращения (величина l2 указана на рабочем месте). Для нахождения периода колебаний диска с цилиндрами T2 поверните диск на 5–10° относительно оси, отпустите и измерьте время, за которое диск совершит 20 колебаний τ2 . Повторите изме-

рения 3 раза.

6. Разместите цилиндры на расстоянии l3 от оси вращения (величина l3 указана на рабочем месте). Для нахождения периода колебаний диска с цилиндрами T3 поверните диск на 5–10° относительно оси, отпустите, и измерьте время, за которое диск совершит 20 колебаний τ3 . Повторите из-

мерения 3 раза.

Результаты измерений пп. 4–6 также запишите в табл. 1.

23

Таблица 1

№ R

τ0

T0

d

τ1

T1

τ2

T2

τ3

T3

1

2

3

Оформление отчета

1.Результаты измерений представляются в отчете в виде таблиц. В нижней строке табл. 1 приводятся средние значения результатов измерений. Значения периодов колебаний должны быть определены с точностью до трех значащих цифр.

2.Экспериментальные значения моментов инерции цилиндров Iц эксп

рассчитываются по формуле (7).

3. Теоретические значения моментов инерции цилиндров Iцтеор рассчитываются по формуле (5).

4.Значения моментов инерции для трех положений цилиндров привести в табл. 2.

5.Для одного из значений Iц эксп оценить погрешность измерений.

		Таблица 2
	Экспериментальные	Теоретические
№ п/п	значения Iц эксп	значения Iцтеор
l1
l2
l3

Контрольные вопросы

1.Что такое момент инерции тела относительно оси?

2.Сформулируйте теорему Штейнера.

24

Лабораторная работа 1.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы

Целью данной лабораторной работы является:

-определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника;

-определение положения центра тяжести и момента инерции физического маятника.

Подготовка к работе

Прежде чем приступить к выполнению лабораторной работы, необходимо изучить теоретические вопросы, относящиеся к процессу колебаний физического и математического маятников, по [4, с. 195–197].

Физическим маятником называется тело, способное вращаться относительно неподвижной оси, не проходящей через его центр тяжести (рис. 1). Если такой маятник вывести из положения равновесия на некоторый малый угол ϕ и предоставить систему самой себе, то (при отсутствии сил трения) возникнут свободные гармонические колебания маятника с периодом Т, равным

T = 2π	I	,	(1)
	mgl

где m – масса маятника; I – момент инерции; g – ускорение свободного падения; l – расстояние от оси вращения до центра масс.

На рис. 1 следующие обозначения:

A – точка подвеса (через эту точку проходит ось вращения);

С – центр тяжести маятника; B – центр качания;

l – расстояние от оси вращения до цен-

	тра тяжести;
	lпр – приведенная длина физического
	маятника.
	Момент инерции тела	относительно
	произвольной оси, согласно теореме Штей-
	нера,
	I = I0 + ml2 ,	(2)
	где I0 – момент инерции тела относительно
	оси, проходящей через центр масс и парал-
Рис. 1	лельной оси вращения.

25

С учетом (2) период колебаний физического маятника может быть записан в виде

T = 2π	I	0	+ ml2	.	(3)
			mgl

Математический маятник – колебательная система, состоящая из нерастяжимой невесомой нити длиной l, один из концов которой закреплен, а к другому прикреплено тело массой т, размеры которого настолько малы по сравнению с l, что это тело можно считать материальной точкой. Период малых колебаний математического маятника определяется выражением

T = 2π	l .	(4)
	g

Выражение для периода колебаний физического маятника (1) совпадает с (4), если ввести новую величину lпр – приведенную длину физиче-

ского маятника:

lпр = mlI .

С учетом (5) выражение (1) может быть записано в виде

T = 2π lпрg .

(5)

(6)

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Следует также обратить внимание на еще одну особенность физического маятника. Проведем прямую линию через точку подвеса А и центр масс С. Отметим на этой линии точку (рис. 1, точка В), которая находится

на расстоянии lпр от точки подвеса А. Эта точка называется центром качания физического маятника. Можно показать (рекомендуем студентам это сделать самостоятельно), что центр качания обладает следующим свойством: если подвесить физический маятник в центре качания (рис. 1, точка В), то приведенная длина, а следовательно, и период колебаний маятника останутся теми же, что и раньше. Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойством обратимости: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Описание лабораторной установки и метод измерений

В данной лабораторной работе в качестве физического маятника используется так называемый оборотный маятник (рис. 2).

Оборотный маятник состоит из цилиндрического стержня 1, на котором имеются опорные призмы 2 и 2'. Кроме того, на цилиндрическом стержне 1 имеются тяжелые грузы 3 и 4, один из которых 4 закреплен же-

26

стко, а второй 3 может перемещаться вдоль стержня. При этом меняется как положение центра масс оборотного маятника, так и его момент инерции.

Маятник подвешивается с помощью опорных призм (либо 2, либо 2').

Кроме оборотного маятника в комплект установки входит также математический маятник, длину нити которого можно менять.

Целью данной лабораторной работы является определение положения центра масс (центра тяжести) и момента инерции физического маятника. Метод измерения состоит в определении периода колебаний T1 маятника, подвешенного за призму 2 (рис. 2), а затем периода колебаний T2 маятника, подвешенного за призму 2'.

На рис. 2 следующие обозначения: 1 – цилиндрический стержень; 2, 2' – опорные призмы;

3	– подвижный груз;
4	– неподвижный груз;
5	– шкала;								Рис. 2
С – центр тяжести маятника.
Согласно (3) эти периоды равны:
	T = 2π	I	0		+ ml	2		;	(7)
					1
	1			mgl1
	T = 2π	I		0	+ ml		2	,	(8)
						2
	2			mgl2

где l1 – расстояние от призмы 2 до центра тяжести С; l2 – расстояние от призмы 2' до центра тяжести; l1 +l2 = L (L – расстояние между призмами 2

и 2' ). Решая совместно (7) и (8), можно найти положение центра тяжести по отношению к любой из призм, например по отношению к призме 2:

	L(gT 2		−4π2L)
l1 =		2		.	(9)
	g(T 2	+T 2 ) −8π2L
1			2

Из (9) видно, что определение положения центра тяжести по отношению к одной из призм оборотного маятника сводится к измерению ускорения свободного падения g, расстояния между призмами L и периодов колебаний Т1 и Т2 прямого и перевернутого маятников соответственно.

Ускорение свободного падения g определяется с помощью математического маятника.

27

Для исключения ошибки, связанной с неточностью определения точки подвеса маятника, определяют периоды θ1 и θ2 для двух длин L1 и L2

математического маятника:

θ = 2π	L1 ;	(10)
1	g
θ2 = 2π	L2 .	(11)
	g

Решая совместно (10) и (11) относительно g , получим

		4π2	(L − L )
	g =			2 1		.	(12)
		θ2		−θ1
			2	1

Таким образом, для определения g следует измерить периоды колебаний θ1 и θ2 маятника для длин L1 и L2 соответственно и разность этих длин

L1 – L2 .

Зная g , l1 и T1 из (1) можно определить момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через призму 2:

	mgl T 2
I =	1 1	.	(13)
	4π2

Методические указания по выполнению лабораторной работы

Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника

1.Получить у лаборанта секундомер и линейку.

2.Записать данные измерительных приборов, в том числе приборные

погрешности lприб , τприб.

3. Установить определенную длину маятника L1 . Измерить секундомером промежуток времени τ1, в течение которого маятник совершит

n1 = 20 колебаний. Измерения проделать 3 раза, результаты измерений записать в табл. 1.

4. Установить длину маятника L2 . Измерить секундомером промежуток времени τ2 , в течение которого маятник совершит n2 = 20 колебаний.

Измерения проделать 3 раза, результаты измерений записать в табл. 1. Во избежание больших погрешностей при расчете по формуле (12) L1 и L2

выбрать такими, чтобы разность L1 − L2 была не менее 30–40 см.

28

											Таблица 1
			τ1		θ1			τ2		θ2	g
	1	2	3	τ1 ср		1	2	3	τ2 ср

Определение положения центра тяжести

имомента инерции физического маятника

1.Подвесить оборотный маятник на призму 2 и измерить секундомером время τ1, в течение которого маятник совершит n1 = 20 колеба-

ний. Измерение проделать 3 раза, данные измерений записать в табл. 2.

2. Повернуть маятник и подвесить его на призму 2'. Измерить секундомером время τ2 , в течение которого маятник совершит n2 = 20 колеба-

ний. Измерение проделать 3 раза, данные измерений записать в табл. 2.

3. Подписать данные у преподавателя. Сдать линейку и секундомер лаборанту.

													Таблица 2
		τ1		T1				τ2			T2	l1		I
1	2	3	τ1cр		1	2	3			τ2 ср

Обработка результатов измерений

Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника

1. Вычислить периоды колебаний				θ1 и θ2 , взяв средние значения
τ1 и τ2 :					= τ2 .
θ = τ1		,	θ	2
1	n				n

2.По формуле (12) рассчитать ускорение свободного падения g.

3.Данные вычислений записать в табл. 1.

4.Определить погрешность косвенного измерения g .

29

Определение положения центра тяжести

имомента инерции физического маятника

1.Определить периоды колебаний Т1 и Т2 по средним значениям

τ1 и τ2 :

T	= τ1 ,	T	= τ2 .
1	n	2	n

2. По формуле (9) рассчитать расстояние l1 от призмы 2 до центра тяжести маятника ( L задано на рабочем месте).

3.По формуле (13) рассчитать момент инерции маятника относительно оси, проходящей через призму 2.

4.Данные вычислений записать в табл. 2.

Контрольные вопросы

1.Что такое физический маятник?

2.Что такое математический маятник?

3.Сформулируйте теорему Штейнера.

4.Что такое приведенная длина физического маятника?

5.Что такое центр качания и каким свойством он обладает?

Примечание. В данной лабораторной работе студентам предлагается вычислить погрешность измерения только для ускорения свободного падения. Вычисление погрешности величин l1 и I вследствие громоздкости формул является необязательным. Это вычисление может быть предложено преподавателям по специальному указанию в качестве дополнительного самостоятельного задания студенту.

Лабораторная работа 1.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

На поверхность движущегося в жидкости твердого тела со стороны жидкости кроме сил давления, перпендикулярных поверхности тела, действуют силы трения, направленные по касательной к поверхности. Такие силы действуют и между слоями жидкости. Если слои перемещаются друг относительно друга, они называются силами внутреннего трения. Например, если жидкость находится между двумя плоскими параллельными границами твердых тел, одно из которых движется со скоростью v, направленной параллельно границам раздела, силы внутреннего трения также парал-

30