Среднюю квадратическую погрешность mm средней квадратической погрешности для рассматриваемого примера определим по формуле (3.11):

mm = mβ / 2n = 1,8′′ / 14 = 0,5′′.

С учетом этого можно записать, что mβ ≈ 2".

Вопрос же появления систематической погрешности в измерениях, более, чем в два раза превышающей случайную, да и точность измерения прибора (2"), необходимо исследовать особо.

					Таблица 3.3
№№	Результаты	Система-	Исправленные	Уклонения	Квадраты
п/п	измерения, βi´	тическая	значения	от	уклонений,
		погрешность,	результатов	истинного	сл2
		сист	измерений, βi	значения,
				сл
1	63є 47' 34"	+ 4,3"	63є 47' 29,7"	- 0,3"	0,09
2	38"	+ 4,3"	33,7"	+ 3,7"	13,69
3	33"	+ 4,3"	28,7"	- 1,3"	1,69
4	35"	+ 4,3"	30,7"	+ 0,7"	0,49
5	35"	+ 4,3"	30,7"	+ 0,7"	0,49
6	32"	+ 4,3"	27,7"	- 2,3"	5,29
7	63є 47' 33"	+ 4,3"	63є 47' 28,7"	- 1,3"	1,69

§ 27. Средняя квадратическая погрешность двойных равноточных однородных измерений

В абсолютном большинстве случаев в геодезических работах производят двукратные измерения однородных величин: длин линий (примерно одинаковых по величине), горизонтальных углов (образованных примерно одинаковыми по величине сторонами), превышений и др. Также, как и при многократных измерениях одной величины, здесь возникает необходимость оценки точности измерений, т.е. определения средней квадратической погрешности разности двойных измерений.

Предположим, что мы имеем ряд из n парных равноточных измерений хi и xi´ , для которых можно составить разности di :

di = xi - xi´ (3.29) В этом случае, полагая, что в исследуемом ряду в разностях не содержатся систематические погрешности, можно записать для средней квадратической

погрешности разности

md = [dn2 ]

Поскольку измерения равноточные, то можно записать, что

md = m2 ,

где m – СКП одного измерения.

С учетом (3.30) и (3.31) получим

m =	[d 2 ]	.
	2n

(3.30)

(3.31)

(3.32)

78

Двойные измерения одной величины позволяют в большой степени обнаружить систематические погрешности одного знака и примерно одной величины (односторонние погрешности). Если систематические погрешности отсутствуют, то сумма разностей двойных измерений весьма близка к нулю, т.е. [d] = 0. Наличие в измерениях систематической погрешности приводит к ее накоплению в сумме разностей двойных измерений, в связи с чем получится величина Q = [d]. При n измерениях доля накопленной систематической погрешности в каждой разности будет составлять

q = [d]	n	(3.33)

Если из значений разностей двойных измерений исключить величину

систематической погрешности,
δ i = (di − q) ,							(3.34)
то СКП разности можно вычислить по формуле
md =			[δ 2 ]		,		(3.35)
			n − 1
а СКП одного измерения – по формуле
m =		[δ 2 ]					(3.36)
		2(n − 1)

Пример 3.6. В табл. 3.4 приведена обработка результатов двойных равноточных однородных измерений длин линий светодальномером. Требуется определить наличие в результатах измерений систематической погрешности и выполнить оценку точности одного измерения.

Решение.

Разности d в таблице получены как 1-е измерение минус 2-е измерение.

Сумма разностей двойных измерений [d] = - 0,046 м, что говорит о наличии в

результатах	двойных измерений систематической погрешности. Ее значение равно
qi = [d] /n =	-0,046 : 9 = -0,005 м.

Образуем ряд случайных погрешностей, см. формулу (3.34), и возведем полученные уклонения в квадрат (для сокращения записи введен сомножитель 10-6).

Сумма квадратов уклонений [δi2] = 237 · 10-6 = 0,000237. СКП разности двойных измерений

md =	0,00237			= 0,0054 м.
СКП одного измерения m = md /			9 − 1
			= 0,0054 / 1,41= 0,004 м.
		2

Следует иметь в виду, что значение m получено как вероятная погрешность по девяти парным измерениям сравнительно одинаковых длин линий. Случайные погрешности в измерениях 1, 3, 6 и 8 превышают полученное значение md. Независимо от этого принято считать, что любая из линий измерена со средней квадратической погрешностью 0,004 м.

Среднее значение любой измеренной линии имеет погрешность М =						m				= 0,003 м, как
						2
это следует из формулы (3.17) для двух измерений.
										Таблица 3.4
№№ п/п	1-е	2-е	Разности,	Система-	Случайная
	измерение,	измерение,	di , м	тическая	погреш-					δi2
	хi , м	хi´ , м		погреш-	ность, δi					х10-6

79

				ность, qi
1	647,263	647,261	+ 0,002	- 0,005	+ 0,007	49
2	624,850	624,857	- 0,007	- 0,005	- 0,002	4
3	636,304	636,315	- 0,011	- 0,005	- 0,006	36
4	652,842	652,844	- 0,002	- 0,005	+ 0,003	9
5	638,219	638,209	- 0,010	- 0,005	- 0,005	25
6	625,347	625,346	+ 0,001	- 0,005	+ 0,006	36
7	644,936	644,936	0,000	- 0,005	+ 0,005	25
8	650,027	650,015	- 0,012	- 0,005	- 0,007	49
9	641,006	641,013	- 0,007	- 0,005	- 0,002	4

§ 28. Понятие о весе результата измерения

До сих пор мы говорили о результатах измерений, точность которых (степень доверия к ним) была одинаковая, весьма близкая по величине. Строго говоря, в природе измерений не существует равноточных величин. Обеспечить это весьма сложно, да во многих случаях и нет в этом необходимости. К равноточным измерениям можно отнести все результаты, погрешности которых не выходят за пределы допустимой величины, например, двойной средней квадратической погрешности.

Часто приходится иметь дело с разнородными величинами. Например, при выполнении геодезических измерений использовать результаты длин линий, которые значительно отличаются по величине, либо измерены разными по точности приборами, либо однородные величины в группе измерены равноточно, но с разным числом измерений в группах и т.п. В этом случае, при оценке точности, говорят о неравноточных измерениях.

Если в качестве веса результата измерения взять число, которое характеризует точность, то по смыслу слова вес можно сказать, что, чем больше вес результата, тем выше его точность (тем меньше погрешность, с которой получен данный результат). Т.е. вес находится в обратно пропорциональной зависимости от погрешности результата. Пусть точность измерения какойлибо величины характеризуется средней квадратической погрешностью m, тогда вес Р определяют как отношение

	Р =	с2	(3.37)
		m2

Значение с может быть любым, кроме нуля, но для анализируемой группы результатов измерений его принимают равным примерно среднему значению m по группе, поэтому значения весов результатов измерений не будут слишком большими или слишком маленькими.

Очевидно, что величина СКП зависит от числа измерений, а это значит, что от числа измерений зависит и вес: чем с большим числом измерений получен тот или иной результат, тем больше его вес.

Уже при обработке ряда равноточных измерений мы сталкивались с результатами, имеющими разный вес. Если принять за единичный вес результат одного измерения, то среднее арифметическое будет получено с большим

80

весом, причем вес его будет в n раз больше, чем вес результата одного измерения.

Предположим, что при равноточных измерениях одной и той же величины Х (заранее неизвестной) выполнено три серии по ni наблюдений в каждой:

n1, n2, n3, причем n1> n2> n3. Примем значение с2 в формуле (3.37) равным n1. Поскольку значение СКП обратно пропорционально корню квадратному из

числа измерений, то квадрат СКП будет обратно пропорционален числу измерений. В связи с этим формулу (3.37) можно переписать в виде

P =	ni	,	(3.38)
	no

где no = с .

В рассматриваемом случае Р1 = 1, Р2 = n2 /n1 , Р3 = n3 /n1. Это говорит о том, что серии измерений неравноточны между собой.

Обозначим результаты измерений в сериях 1, 2 и 3 как x1i , x2i , x3i и вычислим средние арифметические значения измеренной величины в каждой

из серий: x1о , x2о и x3о по формуле (3.14).

Для всей группы измерений значение арифметической середины xо определится с учетом их весов из выражения

xo =	x1o P1 + x2o P2 + x3o P3			=	[xo P]
					[P]
	P + P + P
	1	2	3		(3.39)

Аналогичная формула получится и для случая n серий измерений.

Из формулы (3.39) следует, что вес арифметической середины равен сумме весов всех измерений, входящих в серии.

Веса всех измерений можно изменить в одинаковое число раз. От этого значение арифметической середины не изменится. Т.е. в качестве no можно взять и другое число, отличное от n1, n2 и n3. Это число (с, no и др.) называют

единицей веса.

Для оценки весов неравноточных измерений или групп неравноточных измерений используют различные приемы. Так, если известны средние квадратические погрешности в группах измерений, то в качестве единицы веса может быть выбрана любая из известных СКП, либо примерно среднее ее значение. Вес результата измерения в группе в этом случае определится по формуле (3.37).

Внекоторых случаях в качестве единицы веса используют число измерений в группе. Даже если предположить, что каждая из величин в каждой из групп измеряется равноточно, то при разных числах измерений в группе образуются результаты средних арифметических, неравноточных между собой. Здесь приемлемо использовать для вычисления весов формулу (3.38).

Вкачестве погрешности единицы веса может выступать и, например, измеряемое расстояние, если погрешность его определения функционально зависит от его величины (практически это и имеет место). В зависимости от вида указанной функции единицей веса может быть как непосредственно длина линии, так и корень квадратный из длины линии.

81

При измерении горизонтальных углов на местности в некоторых случаях в качестве единицы веса направления (отсчета по горизонтальному кругу теодолита) используют величину этого направления, поскольку погрешность направления зависит от погрешности установки оси теодолита над вершиной измеряемого угла (погрешность центрирования). Чем короче расстояние (сторона угла), тем больше погрешность направления (прямая пропорциональная зависимость). В этом случае в качестве единицы веса при вычислении весов направлений следует брать квадрат длины стороны.

§ 29. Средняя квадратическая погрешность единицы веса и арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность единицы веса μ характеризует погрешность результата измерения, вес которого равен единице.

В этом случае формулу (3.37) можно представить в виде

Pi =		μ	2		.			(3.40)
			2
Из (3.40) найдем	mi
			μ
mi =								(3.41)
				Pi

Таким образом, СКП результата измерения равна СКП единицы веса, деленной на корень квадратный из веса этого измерения.

Если выполнено n серий измерений, то СКП единицы веса, характеризующую все измерения, можно найти по формуле

μ	=		[m2 P]			(3.42)
			n
Если выполнено n серий измерений известной величины Х, то
μ	=	[ 2 P]			,	(3.43)
			n

где = (хоi – X) – разность среднего арифметического серии i и истинного значения измеряемой величины.

Если выполнено n серий измерений неизвестной величины, то

μ =	[ν 2 P]	,	(3.44)
	(n − 1)

где ν = (хоi – хо) – уклонения среднего арифметического серии i от арифметической середины всей группы измерений.

В соответствии с формулой (3.43) СКП арифметической середины Мо может быть получена из выражений:

	M O =	[ν 2 P]	=	μ	.	(3.45)
		(n − 1)[P]		[P]

Т.е., СКП арифметической середины в корень квадратный из суммы весов всех серий измерений меньше, чем СКП единицы веса.

§ 30. Обработка ряда неравноточных измерений одной величины

82

Рассмотрим пример обработки результатов неравноточных измерений одной величины.

Пример 3.7. Выполнено 6 серий измерений длины линии, равноточных в каждой из серий, но неравноточных между сериями (обработка результатов - табл. 3.5).

Вычисление весов серий. Принимаем nо = n3 = 5. Значения весов остальных серий находим по формуле (3.38). Сумма весов равна [Р] = 6,60.

По формуле (3.39) находим арифметическую середину

xo = 76,835 × 1,40 + 76,841 × 0,60 + ... + 76,837 × 1,60 = 76,8378 м 1,40 + 0,60 + ... + 1,60

Вычисляем уклонения средних арифметических в сериях от арифметической середины и произведения νi Pi . Здесь контролем вычислений является равенство [νi Pi] = 0. В примере [νi Pi] = +0,00014, что незначительно отличается от нуля. Это вызвано результатом округлений исходных величин.

Образуем произведения νi2Pi и получим их сумму [νi2Pi] = 23,784 · 10-6.

По формуле (3.44) находим СКП единицы веса (т.е. серии измерений, вес которой принят нами за единицу – серия № 3): μ = 0,0022 м.

По формуле (3.45) находим СКП арифметической середины: МО = 0,0008 м. Таким образом, значение измеренной величины равно: (76,8378 ± 0,0008) м. По формуле (3.41) определим СКП в сериях измерений:

m1 = 0,0019 м; m2 = 0,0028 м; m3 = μ = 0,0022 м; m4 = 0,0020 м; m5 = 0,0025 м; m6 = 0,0017 м.

					Таблица 3.5
№№	Среднее	Число	Веса			νi2Pi
	арифметическое	измерений	измере-	Уклонения
серий	в серии	в серии, ni	ний в	νi = xoi – xo	νi Pi
	измерений: хоi,		серии, Рi			х 10-6
	м
1	76,835	7	1,40	-0,0028	-0,00390	10,976
2	76,841	3	0,60	+0,0032	+0,00192	6,144
3	76,838	5	1,00	+0,0002	+0,00020	0,040
4	76,839	6	1,20	+0,0012	+0,00144	1,728
5	76,840	4	0,80	+0,0022	+0,00176	3,872
6	76,837	8	1,60	-0,0008	-0,00128	1,024

Глава 4 ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ

§ 31. Назначение Государственных геодезических сетей

83

Геодезическая сеть – это система закрепленных на местности точек, положение которых с той или иной степенью точности определено в единой системе координат и высот.

По территориальному признаку геодезические сети подразделяются на глобальные (общеземные), национальные (государственные), сети сгущения и местные сети.

Глобальная государственная сеть создается методами космической геодезии по наблюдениям за искусственными спутниками Земли (ИСЗ). Эту сеть используют для решения научных и научно-технических задач высшей геодезии, астрономии, геодинамики (изучение фигуры и внешнего гравитационного поля Земли; уточнение фундаментальных геодезических постоянных; определение движения (прецессии и нутации) полюсов Земли; изучение горизонтальных и вертикальных перемещений литосферных плит земной коры; определение положения референц-эллипсоидов, применяющихся в других странах и др.).

К национальным геодезическим сетям относятся: Государственная геодезическая сеть (плановая), Государственная нивелирная сеть (высотная), Государственная гравиметрическая сеть.

Государственная геодезическая сеть (ГГС) предусматривает определение взаимного положения геодезических пунктов в плановом отношении на применяемой в стране поверхности относимости (поверхности референцэллипсоида). Высоты плановой сети определяют со сравнительно небольшой точностью.

Государственная нивелирная сеть служит для определения высот пунктов относительно поверхности квазигеоида. Плановое положение пунктов нивелирной сети на поверхности относимости определяется с невысокой точностью.

В некоторых случаях используют совмещенные пункты. Тогда их плановые и высотные координаты определяют с соответствующей точностью.

Государственная гравиметрическая сеть используется для определения ускорений силы тяжести в исходных или заданных пунктах. При этом пункты гравиметрической сети на местности не закрепляются, а необходимые наблюдения выполняют непосредственно на пунктах плановой и высотной сетей.

С помощью Государственных геодезических сетей решают следующие основные задачи:

-детальное изучение фигуры и гравитационного поля Земли в динамике

впределах территории государства (страны);

-создание единой системы координат и высот для всей территории государства;

-картографирование территории государства в единой системе координат и высот с использованием единых принципов проектирования поверхности относимости на плоскость;

-научные и научно-технические проблемы для хозяйства страны и ее обороны.

84

По методам и специфике построения Государственные геодезические сети указанных выше трех видов строятся раздельно, но они между собой тесно взаимосвязаны, дополняют друг друга, и часто их пункты обобщаются (совмещаются).

Сети сгущения создаются на территориях, которые предназначены для хозяйственного освоения: проектируемые, строящиеся и эксплуатируемые предприятия, в том числе и предприятия горной промышленности (шахты, разведуемые месторождения, карьеры, рудники и т.п.).

Местные геодезические сети предназначены для решения сложных научных и научно-технических задач на локальных участках местности, либо особых объектах, например, в сейсмоактивных районах для наблюдений за сдвижениями земной поверхности и сооружений на ней, при строительстве и эксплуатации гидротехнических сооружений, ускорителей частиц, атомных электростанций, мощных радиотелескопов, телевизионных башен и др.

Дальнейшим развитием сетей сгущения являются сети съемочного обоснования, предназначенные для обеспечения топографических съемок заданного масштаба. Съемочные сети создают в виде теодолитных и тахеометрических ходов и их сочетаний, построением треугольников, геодезических четырехугольников, вставок в угол и центральных систем.

§ 32. Классы геодезических сетей

Государственная геодезическая плановая и высотная сети делятся соответственно на сети 1, 2, 3 и 4 класса и I, II, III и IV класса. Самым высоким по точности является 1 (I) класс.

В плановой сети классы различаются по точности измерения горизонтальных углов и расстояний, в высотной сети – точностью передачи высоты с пункта на пункт. В табл. 4.1 приведены значения допустимых погрешностей в плановых и высотных сетях, определяемые современными руководствами и инструкциями.

Сети сгущения подразделяются на аналитические сети 1-го и 2-го разрядов и полигонометрические сети 1-го и 2-го разрядов (табл. 4.2).

Аналитические сети (рис. 4.1) представляют собой цепочки треугольников, либо сплошные сети триангуляции и трилатерации, а также отдельные точки, получаемые засечками с пунктов государственной сети. Для сети 2-го разряда могут быть использованы и пункты 1-го разряда.

Полигонометрические сети представляют собой одиночные ходы, либо системы ходов, проложенных между пунктами высших разрядов или классов. При этом могут быть построены одиночные полигонометрические

				Таблица 4.1
Класс		Плановая сеть		Высотная сеть
сети	Длина	Средняя	Относительная	Средняя квадратическая
	стороны,	квадратическая	погрешность	погрешность передачи высоты на
	км	погрешность		1 км двойного хода, мм

85

	измерения угла,		измерения		случайная		систематическая
	сек.		выходной стороны
1(I)	20 – 25	0,7		1:400000	0,5			0,5
2(II)	7 – 20	1,0		1:300000	5		L	-
3(III)	5 – 8	1,5		1:200000	10		L	-
4(IV)	2 - 5	2,0		1:200000	20		L	-
								Таблица 4.2
Характеристика сети				Аналитическая сеть			Полигонометрия
				1 разряд	2 разряд	1 разряд		2 разряд
Длины сторон, км				0,5 - 5	0,25 - 3	0,12-0,60
Предельная длина хода, км				-	-		5	3
Углы в треугольниках:				Не менее	Не менее		-	-
- в сплошной сети				20о	20о
- в цепочке				30о	30о
Средняя квадратическая погреш-				(5")	(10")		5"	10"
ность измерения горизонтального угла
Угловые невязки в треугольниках				20"	40"		-	-
Относительная погрешность изме-				1:50000	1:25000		1:10000	1:5000
рения сторон
Относительная невязка хода				-	-		1:10000	1:5000

ходы, системы полигонометрических ходов с одной или несколькими узловыми точками, системы ходов в виде полигонов и др.

§ 33. Методы построения Государственных геодезических сетей

Основными методами создания плановых геодезических сетей являются методы триангуляции, трилатерации и полигонометрии.

Методы триангуляции и трилатерации (рис. 4.1 а и б) предусматривают построение на местности цепочки или сети треугольников. В триангуляции в каждом из треугольников измеряют все горизонтальные углы, а в конце их цепи, либо в каком-либо определенном месте сплошной сети – как минимум две стороны, называемые базисами. Это позволяет легко вычислить длины других сторон треугольников по известным формулам тригонометрии и геометрии. Часто в цепочках треугольников строят геодезические четырехугольники (2-4-5-3) и центральные системы (7=5-6-9-10-8). В трилатерации измеряют все стороны треугольников, а углы в их вершинах определяют по теореме косинусов. Цепочки треугольников трилатерации также включают в себя базисные стороны с известной длиной (базисом) и азимутом (дирекци-

86

Рис. 4.1. Методы построения геодезических сетей а) – метод триангуляции; б) – метод трилатерации; в) метод полигонометрии

онным углом). На рисунке для ряда трилатерации базисные стороны не указаны.

Иногда, для повышения надежности и обеспечения высокой точности оба указанных метода объединяют, т.е. во всех треугольниках измеряют горизонтальные углы и стороны. Такие сети называют линейно-угловыми. Элементами сети трилатерации также могут служить не только треугольники, но и геодезические четырехугольники, центральные системы. Метод трилатерации используется, в отличие от метода триангуляции, только при построении сетей 3 и 4 классов, поскольку он уступает ему по точности, а также и в технико-экономическом отношении.

Метод полигонометрии характеризуется построением на местности систем ломаных линий (ходов), в которых измеряют все линии и горизонтальные углы в точках поворота (рис. 4.1 в). В вершинах, являющихся исходными пунктами высших классов, измеряют т.н. примычные горизонтальные углы, которые используются для азимутальной привязки полигонометрического хода.

Сеть триангуляции 1 класса (астрономо-геодезическая сеть) строится в виде рядов треугольников (звена) длиной 200 – 250 км и периметром 800 – 1000 км (рис. 4.2). Базисы в цепочках таких треугольников измеряют с относительной погрешностью не хуже 1:400000. На концах базисов (в пунктах Лапласа) выполняют определение широт, долгот и азимутов. Иногда, вместо цепочки треугольников, прокладывают полигонометрический ход 1 класса. При этом в указанном полигонометрическом ходе углы измеряют с погрешностью не более 0,4" , а стороны - с относительной погрешностью не более 1:300000.

87

Рис. 4.2. Схема построения Государственной геодезической сети ∙ - пункты Лапласа; ▲ - пункты 1 класса; – пункты 2 класса;

■ – пункты 3 класса; □ – пункты 4 класса.

Пункт Лапласа – это геодезический пункт, на котором из астрономических наблюдений были определены астрономический азимут и астрономическая долгота. Для астрономических наблюдений используют небесные светила: Солнце и звезды.

Как видно на рис. 4.2, пунктов Лапласа на довольно обширную территорию (порядка 1 млн км2) всего несколько – 10 – 12 пунктов.

Геодезическая сеть 2 класса представляет собой сплошную сеть треугольников, либо полигонометрических ходов с узловыми точками, которая полностью заполняет полигоны 1 класса.

Сети 3 и 4 классов могут быть представлены как сплошной сетью треугольников, опирающихся на пункты высших классов, так и могут быть отдельными точками, координаты которых определяются засечками привязкой к пунктам высших классов. При этом для точек 4 класса высшими по классу являются и пункты 3 класса. На схеме рис. 4.2 увеличен фрагмент нижнего правого угла построений, на котором показано примерное размещение пунктов 3 и 4 классов и схемы их возможной привязки к пунктам высших классов.

88

Построение высотной нивелирной сети заключается в прокладке нивелирных линий. Нивелирная сеть I класса строится в виде замкнутых полигонов и отдельных линий большой протяженности. Сеть II класса опирается на пункты I класса и создается в виде полигонов периметром от 400 до 800 км (до 2000 км), в необжитых районах – до 6 – 7 тыс. км. Периметры полигонов нивелирования III класса имеют длину до 150 км (в северных и северовосточных районах страны – до 300 км). Периметр полигона IV класса не должен быть более 50 км. Нивелирные линии III и IV классов опираются на пункты I и II классов и могут создаваться в виде отдельных линий или их систем с узловыми точками.

§ 34. Закрепление пунктов геодезических сетей

Пункты плановых геодезических сетей закрепляют на местности путем установки специального центра, который закладывают на глубину, превышающую не менее чем на 0,5 м глубину промерзания грунта, либо не менее чем на 1 м сезонную глубину оттаивания грунта в районах вечной мерзлоты. В верхней части центра армируют марку, на которой имеется метка в виде отверстия диаметром 2 мм. К этой метке и относят координаты пункта. Для различных районов страны и условий закладки центра существуют стандартные типы центров.

Над центром устанавливают сигнал, ось визирного цилиндра 1 которого совпадает по отвесной линии с меткой марки (рис. 4.3).

Весьма важным при постройке и эксплуатации пункта является обеспечение устойчивости самого центра и сигнала. В первом случае устойчивость определяется свойствами грунтов, изменениями его влажности, наличием грунтовых вод, возможными воздействиями человека и природы. Во втором

– как особенностями грунтов основания сигнала, так и периодическими воздействиями на него ветровой нагрузки (особенно в моменты наблюдений), нагрева солнечными лучами, воздействия влажности и т.п., что вызывает изгибы, колебания, дрожания и кручение конструкции сигнала. Исследованиями установлено, например, что при воздействии температуры в некоторых случаях кручение сигнала по азимуту в течение рабочего дня может достигать нескольких угловых минут. При точности измерений, например, от 0,7" до 5,0" - это весьма существенная величина.

В геодезических сетях используют различные конструкции знаков: простая пирамида, пирамида со штативом, простой сигнал, сложный сигнал, тур.

Простые пирамиды и пирамиды со штативом (рис. 4.3 а) строят в случаях, когда на соседние знаки есть прямая видимость с земли (с переносного штатива). Если прибор необходимо поднять над поверхностью земли на 2-3 м, то строят простую пирамиду с изолированным от нее штативом 2. Наблюдатель перемещается у столика по специальному настилу 3, закрепляемому на столбах пирамиды. Опоры пирамиды закрепляют в грунт к якорю 4.

89

Рис. 4.3. Конструкции сигналов

а– простые пирамиды; б – простые сигналы;

в– сложные сигналы; г – туры.

Простые сигналы (рис. 4.3 б) используют в тех случаях, когда прибор необходимо поднять над землей на высоту от 4 до 10 м. Простой сигнал состоит из двух изолированных сооружений: внешнего 3 и внутреннего 4, имеющего площадку 2 для наблюдателя. Внешняя часть имеет четыре опоры, внутренняя – три опоры, закрепленные якорями 5 в грунте.

Простые сигналы могут быть деревянными и металлическими. Они могут быть также постоянными и разборными. Разборные сигналы перевозят с точки на точку в районах, где нет препятствий для использования транспорта.

Сложные сигналы (рис. 4.3 в) имеют значительную высоту. Их строят тогда, когда прибор следует поднять на высоту от 11 до 40 м. Внутренняя пирамида 5 сложного сигнала опирается не на землю, а на конструкцию 9 внешней пирамиды. На внутренней пирамиде находится столик 3 для установки прибора. Наблюдатель находится на специальной площадке 4.

90

Высота внутренней пирамиды порядка 7 - 7,5 м. Прочность конструкции обеспечивают связи, образованные крестовинами 7, венцами 8, скрепленными с основными столбами 9. Внутренняя пирамида имеет свою стойку 5 с болванкой 6. Фрагмент 2 называется крышей знака. Элемент 10 представляет собой промежуточный столб знака. Опоры внешней пирамиды и промежуточный столб знака закреплены в грунте на якорях 11.

Сложные сигналы в настоящее время изготавливают только трехгранными, что облегчает их полную сборку на земле и установку в рабочее положение уже в полностью собранном виде.

Туры (рис. 4.3 г) устанавливают в тех местах, где имеется скальный грунт на глубине не более 1,5 м, а также обеспечивается хорошая видимость по всем необходимым для измерений направлениям. Над туром устанавливают простую пирамиду с визирным цилиндром. Иногда визирный цилиндр закрепляют непосредственно на туре. При измерениях на таких турах визирный цилиндр временно снимают.

Для обустройства пунктов высотной сети используют различные типы марок и реперов (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Типы реперов нивелирной сети а – стенная марка; б – стенной репер; г – марка для бетонных и скальных реперов;

1 и 2 – марки для установки на трубчатых реперах

На дисках марок или реперов помещают надпись, содержащую в себе аббревиатуру организации и номер данного репера.

В центре стенной марки (рис. 39 а) имеется глухое отверстие диаметром 4 мм. В это отверстие устанавливают на специальном штифте подвесную нивелирную рейку. В некоторых случаях к указанному отверстию могут быть

иотнесены плановые координаты, т.е. высотный знак может быть совмещен

ис плановым. Способы закрепления знаков показаны на рисунке под каждым

91

Рис. 4.5. Конструкции грунтовых реперов

а– для районов с сезонным промерзанием грунта; б – для районов вечной мерзлоты;

в– для районов сыпучих песков; г – для скальных грунтов

видом. На позициях 1 и 2 указаны марки в виде дисков. Такие марки устанавливают на трубчатых реперах (штангах).

Закладка пунктов высотной сети (реперов) должна обеспечивать их устойчивость по высоте, в связи с чем хвостовик репера должен находиться ниже глубины промерзания и оттаивания грунта в устойчивых к проседанию породах. Основные конструкции реперов приведены на рис. 4.5. В районах сезонного промерзания грунтов хвостовик репера должен быть установлен ниже глубины промерзания не менее чем на 50 см. При установке основания репера в котлованах дно котлована зачищают вручную с таким расчетом, чтобы не нарушать естественное состояние грунта. В районах вечной мерзлоты хвостовик репера должен быть установлен на глубине, превышающей на 1 м глубину сезонного оттаивания грунта. В тех случаях, когда головка репера, несущая марку, находится ниже уровня земли, то над ней, в насыпном грунте, устанавливают опознавательный столб сечением 12х12 см и длиной 80 см. Он может быть бетонным или деревянным. На столбе наносят информацию об организации и номер репера.

Знаки Государственной геодезической сети охраняются государством.

92

§ 35. Оценка точности построения опорных геодезических сетей

При сгущении геодезических и маркшейдерских сетей на поверхности с целью построения опорных точек вблизи района работ часто выполняют построения, представляющие собой ряды треугольников триангуляции или трилатерации с базисом и азимутом (дирекционным углом) одной стороны (рис. 4.6 а), либо с базисными сторонами и азимутом (дирекционным углом) на концах (рис. 4.6 б), а также системы полигонометрических ходов, чаще имеющих вытянутую форму (рис. 4.5 б). Т.е. сгущение Государственных геодезических сетей высоких классов выполняется теми же методами, которые используются и при построении самих исходных сетей. При выполнении указанных работ необходимо выполнять оценку точности построения тех или иных сетей с учетом метода их построения. Эти вопросы и будут рассмотрены далее в § 36 - § 38.

Рис. 4.6. Ряды треугольников триангуляции и трилатерации. а) с базисом и азимутом на двух его концах; б) с базисом и азимутом на одном его конце.

Для анализа точности построения опорных геодезических плановых сетей введем общие обозначения в соответствии с рис. 4.6:

-b – базис (исходная сторона сети высшего класса);

-s – связующие стороны треугольников;

-с – промежуточные стороны треугольников;

-А и В – связующие углы;

-С – промежуточные углы;

-L – длина диагонали ряда;

-n – число промежуточных сторон в диагонали ряда, отсчитываемых по одному его краю;

-N – число треугольников в ряде;

-средние квадратические погрешности:

93

-- μ ′′ - измерения направлений;

-- m" – измерения углов ( m′′ = μ ′′2 );

-- mα k ² - азимута связующей стороны треугольника k;

-- msk - связующей стороны треугольника k;

-- mL - продольный сдвиг ряда;

-- mq - поперечный сдвиг ряда;

-- М – положение конечной точки ряда относительно начала;

-- mα L ² - азимута диагонали ряда.

При оценках точности построения рядов триангуляции, трилатерации, полигонометрии обычно принимают, что погрешности исходных данных (базиса и азимута исходных сторон) равны нулю. В некоторых случаях этим пренебрегать нельзя, и указанные погрешности учитывают при оценках точности. В последующих параграфах этой главы будут даны расчетные формулы без учета погрешностей исходных данных.

§ 36. Оценка точности построения сетей триангуляции

Рассмотрим два случая построения сетей триангуляции: ряд треугольников с одним базисом на его конце и азимутом (рис. 4.6 а) и ряд треугольников с базисами и азимутами на его концах (рис. 4.6 б).

Ряд треугольников с одним базисом и азимутом на его конце.

Средняя квадратическая погрешность длины связующей стороны ряда триангуляции.

Формула для относительной погрешности связующей стороны имеет

вид:

2

2

æ

m

¢¢

2ö

δs2

=km2s

=k

çç

2÷÷

å(c

2Ati+cg2Bti+cgicti),

(4.1)

ρ¢¢

где ρ ′′ = 20626 5′′ .

sk

3

è

ø

Из (4.1) получим, что

= δ sk sk .

(4.2)

msk

Для оценки точности длин линий обычно используют относительную

погрешность.

Если углы в треугольниках примерно равные (≈ 60о), то формула (4.1)

для оценки точности упрощается

m′′

δ sk =

2 k

.

(4.3)

ρ ′′

3

94

Средняя квадратическая погрешность азимута связующей стороны ряда.

В зависимости от способа уравнивания (глава 16) углов в треугольниках для оценки вероятной погрешности азимута связующей стороны используются разные формулы:

- при уравнивании за условие фигур:
m k = m′′	2 k	;	(4.4)
α	3

- при уравнивании за условие направлений:

m k = m′′	2k +	5 .	(4.5)
α	10

Продольный и поперечный сдвиги ряда триангуляции.

Оценка продольного сдвига ряда производится для равносторонних треугольников при уравнивании в них углов любым способом. Для указанной оценки используют формулу:

		m¢¢
	mL = L			4n2 ± 3n + 5 .		(4.6)
		ρ ¢¢
				9n

В формуле (4.6) знак «плюс» при 3n берется при четном N (числе треугольников), знак «минус» - при нечетном.

Поперечный сдвиг ряда равносторонних треугольников определяется

при четном числе N треугольников в ряде по формуле

mq =

L

m¢¢

2n2 + 5n + 5

,

(4.7)

ρ ¢¢

n

а при нечетном – по формуле

mq =

L

m¢¢

n2

+ n + 3 ,

(4.8)

ρ ¢¢

15n

Относительная погрешность диагонали ряда определяется по формуле

δ L =

mL

,

(4.9)

L

средняя квадратическая погрешность азимута диагонали ряда – по формуле

	²		mq	ρ ¢¢ .	(4.10)
	m L	=
			L
	α

Погрешность положения конечной точки ряда относительно его начала:

M = mq2 + mL2 .

(4.11)

Ряд треугольников с двумя базисами и азимутами на его концах.

В данном ряду триангуляции менее надежно определяется длина стороны и ее азимут, находящейся в середине ряда. В связи с этим приводимые ниже формулы дают наибольшие значения при n = k = 0,5N и меньшие значения для треугольников, близких к базисным сторонам.

Средняя квадратическая погрешность связующей стороны ряда

	δ sk =	m	sk	=	mlg s	,	(4.12)
		sk			434300

где

95

mlg s » 1,78 m¢¢	(N - k)k	(4.13)
	N

в логарифмической форме.

Средняя квадратическая погрешность азимута связующей стороны

равна

= m¢¢

1

æ

(5k + 6)2

ö

(4.14)

m

ç

5k + 12 -

÷

α k

25

ç

5N + 12

÷ .

è

ø

Для оценки продольного и поперечного сдвига используются формулы:

mL =

m¢¢L

2n2 - 3n + 10 ;

(4.15)

ρ ¢¢

2

9n

m¢¢L

mq =

n2 + 2n + 12 .

(4.16)

ρ ¢¢

2

15n

Значения δ L , mα k и M вычисляют соответственно по формулам (4.9), (4.10), (4.11).

Всплошной сети триангуляции точность определения дирекционных углов и длин сторон, удаленных от границы сети не менее чем на 4-5 треугольников, примерно одинаковая во всех частях сети. При решении задачи сгущения геодезических и маркшейдерских сетей такие построения встречаются в исключительных случаях, при весьма небольшом числе исходных пунктов, расположенных на больших расстояниях друг от друга.

Всплошных сетях триангуляции погрешность дирекционного угла

оценивают по формуле

mα

≈ 0,16 m′′

,

(4.17)

N − 6,5 + 48 t( N / 2)

а погрешность в логарифме стороны (в шестом знаке) – по формуле

mlg s

≈ 0,35 m′′

N − 6,5 + 48 t( N / 2)

,

(4.18)

N

æ

N

ö

1

1

ç

+ 1÷

где t( N / 2)

æ

ö 4

æ

ö

è

2

ø

.

= ç

2

÷

- ç

2

÷

è

ø

è

ø

Среднюю квадратическую погрешность направлений mT получают по формуле

mT ² = m¢¢	n2 - 3n + 50	-	n2 - 5n + 80 .		(4.19)
	45n		70N

Продольный и поперечный сдвиг концов диагоналей, соединяющих пункты, разделенные n треугольниками, примерно равны друг другу:

	²	L	.	(4.20)
	mL » mq » mT
		ρ ¢¢

Следует иметь ввиду, что приведенные формулы оценки точности построения рядов триангуляции и геодезических сетей триангуляции, как и формулы других геодезичесих построений, дают предварительные величины, по которым принимаются решения о методике выполнения работ. При практическом выполнении фактические значения погрешностей элементов построений могут отличаться в ту или другую сторону.

96

Рассмотрим примеры оценки точности построения рядов триангуляции при равносторонних треугольниках, уравненных за условие фигур, и построения сплошной сети триангуляции.

Пример 4.1. Оценка точности построения ряда треугольников триангуляции с базисом и азимутом на одном его конце.

Исходные данные: L = 15 км; s = 3 км; N = 9; k = 9; n = 5; m" = 2,0". Решение. См. табл. 4.3.

				Таблица 4.3
№	Наименование	оцениваемой	Расчетная	Значение
№	величины		формула	погрешности
п/п

1СКП стороны треугольника k:

	- относительная;		(4.3)	1:41900
	- абсолютная		(4.2)	0,072 м
2	СКП азимута связующей стороны		(4.4)	4,9"
	треугольника k
3	Продольный сдвиг ряда		(4.6)	0,206 м
4	Поперечный сдвиг ряда		(4.8)	0,096 м
5	Относительная	погрешность	(4.9)	1:72800
	длины диагонали ряда
6	СКП азимута диагонали ряда		(4.10)	1,3"
7	СКП конечной точки ряда		(4.11)	0,227 м
Пример 4.2. Оценка точности построения сплошной сети триангуляции.
Исходные данные: N = 20; n = 5; m" = 2,0"; s = 2 км.
Решение. См. табл. 4.4.				Таблица 4.4
№№	Наименование оцениваемой величины		Расчетная	Значение
п/			формула	погрешности
п	Значение параметра t(N/2)
1			(4.18)-	0,031
			ссылка

2СКП логарифма стороны

	- абсолютная;	(4.18)	2,7
	- относительная	из (4.2)	1:160850
3	СКП дирекционного угла	(4.17)	1,2"
4	Продольный и поперечный сдвиги	(4.20)	0,044 м
	ряда
5	СКП направления	(4.19)	0,9"

§ 37. Оценка точности построения звена полигонометрии

Все формулы, приводимые ниже, предусматривают построение вытянутого полигонометрического хода с базисами на его концах (рис. 4.5 б). При этом ход уравнен за условие дирекционных углов (гл. 16).

Для оценки средней квадратической погрешности азимута стороны

звена с номером k используется формула

97

mα k = m′′		k(n + 1 − k)		.	(4.21)
		n + 1

Очевидно, что при обязательном наличии исходных сторон в начале и конце звена полигонометрического хода наиболее слабой по точности определения координат будет средняя (центральная) точка хода с номером n/2 в предположении, что длины сторон и углы измерены равноточно. Практически, при оценках, можно полагать, что наиболее слабая точка находится в середине длины хода на расстоянии L/2 от его концов.

Средняя квадратическая погрешность стороны полигонометрического хода, измеренной на местности, зависит от точности используемого светодальномера (гл. 6). При оценке точности можно принимать, что mс ≈ s·10-6.

Продольный и поперечный сдвиги конечной точки звена относительно начальной равны:

								;	(4.22)
	mL =		ms2 n + mc2 n2
				m′′			.
	mq =	L				n + 3			(4.23)
				ρ ′′
					12

Если полигонометрический ход значительно изогнут, то ожидаемая линейная погрешность в определении координат любой его точки может быть оценена по формуле

i
M = ms2 n + mρ ′′′′ åi= 0	Di2 .	(4.24)

где Di – расстояния от каждой вершины до центра тяжести изогнутого хода.

Пример 4.3. Оценка точности построения звена полигонометрии.

Исходные данные: L = 6 км; s = 600 м; n = 10; k = 5; m" = 2,0";				ms	= 1:50000
(ms = =0,012 м); mc = s · 10-6 = 0,001 м.				s
Решение. См. табл. 4.5.				Таблица 4.5
№№	Наименование оцениваемой величины	Расчетная	Значение
п/п		формула	погрешности
1	СКП стороны:
	- относительная;	исх.		1:50000
	- абсолютная	данные
		исх.		0,012 м
		данные
2	СКП азимута стороны k	(4.21)		3,3"
3	Продольный сдвиг ряда	(4.22)		0,039 м
4	Поперечный сдвиг ряда	(4.23)		0,061 м
5	Относительная погрешность длины	(4.9)		1:153850
	диагонали ряда
6	СКП азимута диагонали ряда	(4.10)		2,1"
7	СКП конечной точки ряда	(4.11)		0,072 м

§ 38. Оценка точности построения сетей трилатерации

98

Использование метода трилатерации при сгущении геодезических и маркшейдерских сетей в настоящее время стало возможным благодаря появлению на рынке геодезических приборов точных и высокоточных светодальномеров, а также электронных тахеометров. При использовании светодальномеров измеряют только длины сторон сетей, а при использовании электронных тахеометров реализуется как измерение длин сторон, так и измерение углов. Такие сети относятся к линейно-угловым сетям (построениям).

Оценка точности рядов и сетей трилатерации основана на погрешностях вычисления углов в треугольниках через погрешности измеренных его сторон.

Для ряда трилатерации средняя квадратическая погрешность азимута связующей стороны

m k =

ms

ρ

¢¢

4

×

N - k

k

,

(4.25)

s

3

N

продольный сдвиг ряда

α

mL =

ms

N

2 - 1

,

(4.26)

поперечный сдвиг ряда

2

N

ms

.

(4.27)

mq =

(N − 1)(N 2 + N + 48)

6

Для сплошной сети трилатерации продольный сдвиг диагонали ряда, соединяющей пункты, разделенные рядом треугольников, оценивается по формуле

mL = ms		(N + 15)(k + 11)	,		(4.28)
поперечный сдвиг – по формуле		10(N + 25)
mq = ms	(N + 15)(5k 2 + 12k + 8) .				(4.29)
		30(N + 25)

Пример 4.4. Оценка точности построения ряда трилатерации. Исходные данные: N = 10; k = 5; s = 2,0 км; ms = 0,005 м; L = 20 км. Решение. См. табл. 4.6.

				Таблица 4.6
№	Наименование	оцениваемой	Расчетная	Значение
№	величины		формула	погрешности
п/п

1СКП стороны:

	- относительная;		исх.	1:400000
	- абсолютная		данные	0,005 м
			исх.
	СКП азимута стороны k		данные
2			(4.25)	0,9"
3	Продольный сдвиг ряда		(4.28)	0,008 м
4	Поперечный сдвиг ряда		(4.29)	0,031 м
5	Относительная	погрешность	(4.9)	1:153850

99