17Выборочный метод в статистике

Тема: Выборочный метод в статистике

1. Понятие о выборочном методе, его значение, задачи и

условия применения. Характеристики выборки и способы

отбора данных в выборку

2. Расчет ошибки выборки и определение ее объема.

Малая выборка.

1. Понятие о выборочном методе, его значение,

задачи и условия применения. Характеристики

выборки и способы отбора данных в выборку

В условиях реальной экономики часто использовать сплошное статистическое наблюдение физически невозможно и экономически не целесообразно по причине его трудоемкости. Кроме этого, субъекты рынка и хозяйствования в значительной степени обладают самостоятельностью и привлечь их к статистическим исследованиям часто просто затруднительно. В этом случае используется выборочный метод. Выборочное наблюдение – это несплошное наблюдение, при котором изучению повергаются не все единицы статистической совокупности, а лишь отобранные в определенном порядке.

Цель выборочного наблюдения в том, чтобы по характеристикам выборочных наблюдений судить о характеристиках всей совокупности данных. В торгово-коммерческой деятельности выборочный метод конкретно используется для:

• анализа качества товарной массы на рынке

• изучения спроса населения и степени его удовлетворенности

• изучения эффективности новых форм торговли.

Значение выборочного метода возрастает в современных условиях в связи с сокращением и упрощением статистической государственной отчетности промышленных и торгово-коммерческих фирм.

Выборочный метод используется когда:

• надо сэкономить силы, средства и время при проведении статистического исследования и на обработку информации

• для уточнения результатов сплошного наблюдения

• когда сплошное наблюдение в принципе невозможно (разрушающий метод контроль качества).

При выборочном методе возникает расхождение между характеристиками выборочного наблюдения и характеристиками всей совокупности изучаемых данных. Эти расхождения называются ошибками выборки или ошибками репрезентативности (представительности). Условием применения выборочного метода является возможность рассчитать эту ошибку выборки и принять решение о доверии выборочному наблюдению в том, что оно воспроизводит характеристики сплошного наблюдения. Таким образом, главная задача выборочного метода в том, чтобы на основе выборочных характеристик дать правильное представление о тех же характеристиках сплошного наблюдения.

Основной принцип организации выборочного метода в том, чтобы обеспечить случайность попадания единиц выборочного наблюдения из всей совокупности изучаемых единиц.

Этапы выборочного метода:

‑ обоснование применения выборочного метода

‑ составление программы выборочного исследования и решение организационных вопросов по сбору исходной информации

‑ определение объема выборки, обоснование способов отбора и формирования выборочной совокупности данных

‑ регистрация и сбор данных по изучаемым признакам

‑ статистическая обработка полученных данных

‑ определение ошибки выборочного исследования

‑ распространение выборочных характеристик на всю совокупность.

В статистике принято называть всю совокупность данных, из которых производится отбор, генеральной совокупностью, а совокупность отобранных единиц, которая подвергается выборочному обследованию, называется выборочной совокупностью.

Генеральная и выборочная совокупность характеризуются своими показателями, называемыми соответственно генеральными или выборочными. К ним относятся: а) среднее значение признака, используется для количественных показателей: средняя зарплата, средняя цена, средняя выработка на одного работника и т.д.; б) для альтернативных показателей используется – доля (удельный вес) признака, то есть относительная величина, характеризующаяся наличием изучаемого признака в какой-то доле единиц совокупности. Доля исчисляется как отношение числа единиц наблюдения, обладающих признаком, к общему числу единиц совокупности. Доля называется соответственно генеральной и выборочной долей. Обозначается: р - генеральная, w - выборочная доля. Выборочную долю иногда называют частостью.

Например, генеральная совокупность – 10000 человек. Из них 5200 мужчин. Следовательно: р = 5200/10000 = 0,52. Если из 10000 отобрано в случайном порядке 1000 человек. Из них мужчин оказалось только 500. следовательно: выборочная доля равна 0,5.

Способы отбора. Систему организации отбора единиц из генеральной совокупности называется способом отбора. Различают: повторный и бесповторный отбор.

Повторный – когда отобранные единицы совокупности возвращаются в генеральную совокупность и снова участвуют в отборе.

Бесповторный – когда отобранная однажды единица наблюдения обратно не возвращается в генеральную совокупность (при этом возрастает вероятность других единиц попасть в выборку).

Повторный и бесповторный отбор используется в сочетании с видами отбора: индивидуальный (отбираются отдельные единицы наблюдения), групповой (отбираются группы единиц наблюдения) и смешанный (и то, и другое).

Способы формирования выборки – это правила образования выборочной совокупности. Включают:

• Случайная выборка – включение единиц в выборку осуществляется случайно;

• Механическая выборка – отбор из генеральной совокупности осуществляется каким-то механическим порядком;

• Типическая выборка – генеральная совокупность разделяется на группы по какому-либо признаку, а затем из каждой группы делается выборка;

• Серийная выборка – производится отбор не единиц, а групп, внутри групп – сплошное наблюдение;

• Моментная выборка – когда выбирается отрезок времени, а внутри него – регистрация наблюдения;

• Многоступенчатая выборка – сначала выборка больших групп, затем поменьше… до отбора отдельных единиц

• Комбинированная – в разной степени комбинации перечисленных способов выборки.

2. Расчет ошибки выборки и определение ее объема.

Малая выборка.

Выборочная совокупность характеризуется средней и предельной ошибкой выборки. Средняя ошибка выборки определяется для количественного признака и для альтернативного признака.

Если обозначить: – средняя генеральной совокупности, – средняя выборочной совокупности, то

где µ ‑ называется средней ошибкой выборки. Она равна среднеквадратическому отклонению вариантов выборочной средней от генеральной средней и исчисляется как

То есть, средняя ошибка выборки зависит от колеблемости признака, рассеянности данных в генеральной совокупности и от числа отобранных единиц – (n)

Квадрат расхождения между и обратно пропорционален числу отобранных единиц, то есть объему выборки. Следовательно, чтобы уменьшить ошибку выборки надо увеличивать его объем. Но как правило, неизвестно, поэтому его заменяют .

(В математической статистике показано, что , т.е. несколько меньше ), тогда при замене для количественного признака имеем

Для альтернативного признака:

Средняя ошибка доли, то есть ошибка выборки для альтернативного показателя как известно равна

,

где р – доля признака в генеральной совокупности, а q=1-p. Подставляя в , получаем: ,

где р и q для генеральной совокупности неизвестны, а известны только для выборочной совокупности. Заменяя их на w и (1-w), получаем и ,

где w – выборочная доля, n – объем выборки. Эти формулы характерны для повторного отбора, для бесповторного отбора вводится уточняющий сомножитель .

Таким образом, формулы для расчета средней ошибки выборки и средней ошибки доли при повторном и бесповторном отборе:

Сомножитель показывает, что численность единиц в генеральной совокупности сокращается в процессе выборки. Формулы для повторного отбора применяют, когда даже при бесповторном отборе объем выборки

< 5%, то есть ошибкой можно пренебречь.

О средней ошибке выборки можно судить лишь с определенной вероятностью, на величину которой указывает коэффициент доверия t. В свою очередь коэффициент доверия задает с какой вероятностью можно гарантировать результаты выборочного наблюдения. Выбор t определяется тем обстоятельством что, чем больше допускается ошибка в измерении результатов выборки, тем с большей степенью уверенности можно гарантировать предсказуемость выборочного наблюдения.

Обычно t = 1, 2, 3. То есть чем больше t, тем больше вероятность утверждения: и

где - называется предельной ошибкой выборки и тогда:

Пример (альтернативный показатель):

Доля продовольственных товаров в обороте торга = 0,6. При t =2 известно ∆ = ± 0,05, то есть с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля продовольственных товаров в генеральной совокупности равна

0,6 - 0,05 ≤ р ≤ 0,6 + 0,05, то есть находится в пределах 55% ≤ р ≤ 65%.

При выборочном наблюдении возникает задача – рассчитать численность выборки таким образом, чтобы ошибка выборки не превышала заданных размеров, то есть исходя из допустимой ошибки выборки установить уровень гарантии предсказуемости результата.

Объем выборки устанавливается по разному для средней выборочной количественного признака и для доли единиц альтернативного признака.

Для средней:

и

То есть, необходимый объем выборки при измерении средней равен дисперсии, деленной на квадрат заданной точности (допустимой ошибки выборки).

Если принять коэффициент доверия , то ,

То есть надо знать меру рассеянности, колеблемости признака. Если она неизвестна, то ее можно найти приближенно по величине предполагаемого размаха вариации (разности между максимальным и минимальным значением признака), так как при нормальном распределении с вероятностью 0,997 можно утверждать, что и

Для доли:

если , то

То есть объем выборки равен произведению доли признака на его дополнение и деленной на квадрат заданной точности. Если ввести t коэффициент доверия, то

При этом если разброс неизвестен по генеральной совокупности, то он принимается равным 0,5, а дисперсия равна 0,25.

Эти формулы показывают, что с увеличением допустимой ошибки значительно уменьшается необходимый объем выборки. Если ∆ увеличить в 2 раза, то объем выборки уменьшится в 4 раза. При бесповторном отборе вывод аналогичен:

- объем выборки для средней величины количественного признака

- объем выборки для доли альтернативного признака.

Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность осуществляется прямым пересчетом найденных величин на всю их совокупность.

Пример: по выборочному наблюдению найдена урожайность зерновых с 1га. (18м/га). Всего 1000га. Валовой сбор = 18000 ц., но предельная ошибка выборки = 1ц/га, то есть это отклонение выборочной средней от генеральной средней. Тогда 17 ≤ х ≤ 19 и валовой сбор изменяется от 17000 до 19000 центнеров.

Существует также способ коэффициентов, когда выборочное наблюдение используется для уточнения результатов сплошного обследования. Исчисляют поправочный коэффициент и корректируют данные сплошного наблюдения.

Пример: По переписи населения области установлена численность детей до 18-летнего возраста в количестве 10000 человек. Но в части районов области проводилось выборочное обследование населения. По данным сплошного учета там было 1100 человек, по данным выборочного учета 1109 человек. Следовательно, не было учтено 9 человек, что составляет ошибку (9/1100)*100% = 0,82%. Это и есть поправочный коэффициент. Делают перерасчет всего количества детей по данным сплошного учета: 0,82%*10000/100% = 82 человека, общее число детей до 18 летнего возраста с поправкой составляет 10000+82 = 10082 человек.

Задача: В ЦУМе было отобрано в порядке механической выборки 500 человек для определения доли продавцов со стажем работы 20 лет и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,33, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.

Решение: при повторном отборе:

При бесповторном отборе:

Вывод: небольшая выборка объясняется очень малой вариацией признака (доли продавцов со стажем более 20 лет).

Малая выборка – это несплошное статистическое наблюдение, когда выборочная совокупность образуется из небольшого числа единиц генеральной совокупности (не более 30 единиц). В торговле малая выборка используется при контроле качества товарной массы с использованием разрушающего метода испытаний обследуемых образцов.

В математической статистике доказано . Сомножителем в малых выборках пренебрегать нельзя, так как он не стремится к 1. Заменяя и получаем

или

Средняя ошибка малой выборки

Предельная ошибка малой выборки

Но при n < 20 величина t подчиняется другому распределению, чем при обычной выборке. Это распределение Стьюдента – где t зависит от самого t и от численности выборки. То есть уверенность, степень гарантии того, что ∆ малой выборки не превзойдет t - кратную среднюю ошибку зависит и от численности выборки. Определяют t по специальным таблицам

Контрольные вопросы

1. В чем преимущества выборочного метода в сравнении с другими видами статистического наблюдения?

2. Основная цель и задачи выборочного метода?

3. Что такое «ошибка репрезентативности»?

4. В чем отличия между способами повторного и бесповторного отбора единиц изучаемой статистической совокупности в выборку?

5. Каковы особенности формул расчета ошибки выборки при анализе?

6. В чем отличия показателей «средней» и «предельной» ошибки выборки, значение «коэффициента доверия»?

7. Каковы основные принципы и методы (формулы) определения оптимальной численности выборки?

8. В чем особенность различных способов выборки и как определяется при этом ошибка выборки?

9. Малая выборка и ее особенности

10. В какой форме записываются результаты выборочного метода?

ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ

1. Выборочный метод в статистических исследованиях используется для:

а) экономии времени и снижения затрат на проведение статистического исследования

б) повышения точности прогноза

в) анализа факторов взаимосвязи

2. Выборочный метод в торговле используется

а) при анализе ритмичности оптовых поставок

б) при прогнозировании товарооборота

в) при разрушающих методах контроля качества товаров

3. Ошибка репрезентативности обусловлена

а) самим методом выборочного исследования

б) большой погрешностью зарегистрированных данных

4. Коэффициент доверия в выборочном методе может принимать значения:

а) 1, 2, 3

б) 4, 5, 6

в) 7, 8, 9

5. Выборка может быть: а) случайная, б) механическая, в) типическая, серийная, д) техническая

а) а, б, в, г,

б) а, б, в, д

в) б, в, г, д

6. Необходимая численность выборочной совокупности определяется:

а) колеблемостью признака

б) условиями формирования выборочной совокупности

7. Выборочная совокупность отличается от генеральной

а) разными единицами измерения наблюдаемых объектов

б) разным объемом единиц непосредственного наблюдения

в) разным числом зарегистрированных наблюдений

8. Средняя ошибка выборки

а) прямо пропорциональна рассеяности данных

б) обратно пропорциональна разбросу варьирующего признака

в) никак не зависит от колеблемости данных

9. Повторный отбор отличается от бесповторного тем, что

а) отбор повторяется, если в процессе выборки произошел сбой

б) отобранная однажды единица наблюдения возвращается в генеральную совокупность

в) повторяется несколько раз расчет средней ошибки выборки

9. Малая выборка это выборка объемом

а) 4-5 единиц изучаемой совокупности

б) до 50 единиц изучаемой совокупности

в) до 30 единиц изучаемой совокупности