- •Глава 1. Варианты контрольных заданий 5
- •Глава 2. Примеры решения задач 21
- •Введение
- •Глава 1. Варианты контрольных заданий Задача № 1
- •Задача № 2
- •Задача № 3
- •Задача № 4
- •Задача № 5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Глава 2. Примеры решения задач Задача № 1
- •Решение
- •Решение системы уравнений матричным методом.
- •Решение системы уравнений по формулам Крамера.
- •Задача № 2
- •Решение
- •Задача № 3
- •Решение
- •Задача № 4
- •Решение
- •Задача № 5
- •Решение
- •Задача №6
- •Решение.
- •Задача №7
- •Решение.
- •Задача №8
- •Приложения
- •Список рекомендуемой литературы
Задача №7
Задача Кобба – Дугласа вычиление объёма продукции или инвестиций.
Инвестор вложил в производство R0тыс.руб. и в течениеnлет планирует непрерывно увеличивать объем инвестиций наaтыс. руб. ежегодно. Ожидаемая доходность инвестиций составляетi%годовых.
Определите
1) современную стоимостьтакого проекта по формуле .
2)наращенную суммутакогопотока платежейпо формуле
Примечание:Современная (текущая, капитализированная) стоимостьявляется одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. Большинство аналитических методов оценки эффективности инвестиционных проектов, кредитных операций основаны именно на определении этой величины.
Наращениемилиростомденежной суммы называют процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов.
R0=10; a=2; n=3; i=8
Решение.
1)Подставляя численные значения величин, получаем:
где использованы обозначения
1.1.Вычислим интеграл , используяметод замены переменной.
Введем новую переменную , тогда .
Для нахождения новых пределов интегрирования составим таблицу:
t |
y |
0 |
-0,08·0=0 |
3 |
-0,08·3=-0,24 |
В результате получаем:
1.2. Вычислим интеграл , применяяметод интегрирования по частям.
Суть метода заключается в использовании формулы .
Сравнивая интеграл I2cэтой формулой, замечаем, что
Отсюда .
В последнем интеграле делаем замену переменных , тогда .
В результате:
Подставляем полученные выражения для u, du, v, dv в формулу интегрирования по частям, получаем
1.3.
2)
Замечание.В указанных в данном учебном пособии приложениях таблица значений функцииу=ехдана с шагом 0,1. Если этой точности недостаточно для решения заданного Вам варианта задания необходимо использовать инженерные калькуляторы или воспользоваться микрокалькулятором с шагом менее 0,1.
Ответ:Современная стоимостьинвестиционного проекта составляет приблизительно34,35 тыс. руб., анаращеннаяза три годасуммаприблизительно равна43,667 руб.
Задача №8
Нахождение общего решения дифференциального уравнения, раскрывающего зависимость спроса и предложения товара от цены.
1. Q(p)=q0 –q1p(t) - зависимость спроса от цены
S(p)=s0–s1 p(t) - зависимость предложения от цены
q0 =10, q1 =2, Q(p)= 10-2p(t)
s0 = -4, s1=4, S(p)=-4+4p(t)
Начальная цена: p(0)=p0=2
Дифференциальное уравнение зависимости цены от времени:
2. к(Q(p(t))-S(p(t)) ) (1), к=0,5
Подставляя численные данные, получаем:
(10-2р+4-4р),
(14-6р),
=7-3р;-7+3р=0. (2).
Начальные условия p(0)=2 (3).
Имеем задачу линейного неоднородного дифференциального уравнения Коши для первого порядка.
3. Найдём решение (2) в виде:
р=uv; р´=u´v+ u v´, т.е. ; (4)
Подставляем (4) в (2)
+3 uv-7=0;
-7=0
4. Полагаем , тогда
5. Решаем (5) =-3и; ;;
, ln│u│=-3t+ln C.
Полагаем, что С=1, тогда ln1=0 иln│u│=-3t,и=е- 3 t (7)
6. Подставляя (7) в (6) получим е- 3 t -7=0; => е- 3 t =7;
=7 е 3 t ; => ,проинтегрируем обе части уравнения,
, получимv=7*e3t+Cилиv=e3t+C(8)
Подставляя (7) и (8) в р=uv,получаем:
р= е- 3 t (e3t+C), р= е- 3 t e3 t + С е- 3 t,
р= е0 + С е- 3 t, р= + С е- 3 t
Найдём С, используя начальное условие p(0)=2 .
2 = + С е0, 2-=С; -=С.
p(t)= -е- 3 t.
8. Найдём равновесную цену р*:
Q(p*) = S(p*); 10-2р*=-4+4 р*; 14=6р*, р*=2 .
Решение можно записать в виде
p(t)= р* - е- 3 t(*)
Примечание р0 - р*=2- = -,
Следовательно (*) имеет вид:
p(t)= р*+ (р0 -р*) е- 3 t.