I.Теоретические основы

1.1 Основные сведения о распределении вероятностей

Для непрерывной случайной величины , имеющей множество реализаций (-∞, +∞), функция распределения вероятной F (x) определяется как вероятность того, что случайная величина , не превышает х, т.е.

=P(<x) (1.1)

Из опред. След =>

В случае, если случайная величина =T -наработка до отказа, то функция распределения вероятности отказов F (t) (функция отказов) является вероятно­стью того, что T<t или отказ наступил на отрезке [0, t). Множество реализаций Т [0, ∞) => Ft(0)=0, F_x(∞)=1.

Вероятность безотказной работы P_H(t) (ВБР) равна («функция надежности)

P_H(t) = 1 - F_T(t) = 1 - P(T<t) = P(Т>t) (1.2)

Таким образом, ВБР - основной показатель безотказности - вероятность того, что отказ за период наработки, равный t, не наступил, т.е. T>t.

Эмпирическая функция распределения случайной величины имеющей множество реализаций (,…)определяется как

(1.3)

1 для х<

Частость наступления отказов определяется плотностью распределения веро­ятности

f (x)= для ВБР (1.4)

f (x)= _(1.5)

Можно решать обратную задачу

F(x)=

P_H(t) = 1 - F_T(t) = 1 - =-=

Функции f(x) и f(t) обладают важным свойством, называемым условием нормировки

(1.6)

1.2.Числовые характеристики случайных величин

Для ответа на практические вопросы надежности часто удобно оперировать числовыми характеристиками распределений. Основными из них являются: мате­матическое ожидание, дисперсия, коэффициент вариации и квантиль.

1.2.1 .Математическое ожидание

По определению математическое ожидание имеет следующий вид:

. ( 1.7)

Величина m_t является средним временем безотказной работы, то есть сред­ней наработкой до отказа.

Среднюю наработку до отказа можно выразить через вероятность безотказ­ной работы. Действительно

(1.8)

Таким образом, средняя наработка до отказа численно равна площади под кривой функции надежности.

В случае эмпирических оценок математическое ожидание оценивается средним временем безотказной работы

(1.9)

Математическое ожидание обладает следующим свойством

М[аХ + bY] = аМ[Х] + bM[Y] (1.10)

где а и в детерминированные постоянные, X и Y - независимые С.В.

1.2.2. Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия случайной величины определяется как матема­тическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

или (1.11)

Дисперсия характеризует рассеяние, имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому часто используют величину, имеющую размерность случай­ной величины. Её называют стандартным отклонением и определяют из соотно­шения

_{(1.12 )}

При обработке эмпирических данных дисперсия оценивается средним квад­ратным отклонением

_(1.13)

Дисперсия независимых С.В. X, Y обладает следующим, легко доказывае­мым, свойством:

D[aX ± bY] = a²D[X] + b²D[X] (1.14)

где а и в - детерминированные постоянные.

1.2.3. Коэффициент вариации.

По определению коэффициент вариации определяется соотношением

или _(1.15)

Он является безразмерной величиной, характеризующей рассеяние случай­ной величины около математического ожидания.

1.2.4. Квантиль.

Квантилью уровня у случайной величины называют значения случайной ве­личины, соответствующие заданной вероятности, то есть квантиль является ре­шением уравнения . Если находится квантилВБР, то этот квантиль Т_y на­зывается у%-ресурсом. Он является корнем уравнения

_(1.16)