- •7.Дать определения а)числовой последовательности,б)ограниченной числовой послед в)предела числовой последовательности
- •9. Сформ-ь и док-ть св-ва последоват всязанные с неравенст
- •10. Сформулировать и док-ть теорему о пределе «зажатой» послед.
- •13.Теорема о связи членов сходящ последоват со своим пределом и беск малой
- •14. Теорема об арифмет операциях со сходящ послед
- •15. Определение точных верх и ниж граней числовых сножеств. Теорема о существовании точных граней огранич числ множ.
- •16.Признак сходимости монотонной последовательности.
- •17. Число e. Второй замечательный предел.
- •18.Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •19. Предельные точки. Фундаментальные последовате. Критерий коши.
- •20.Конечный предел функции в точке при . Определение по Коши и п Гейне. Геометр интерпретация. Эквивалентность опр предела.
- •21.Одностороние пределы. Теорема о существовании предела в точке.
- •48. Определение производной. Односторонние произ. Примеры без произв.
- •61.Теорема Коши о конечных приращ
- •63.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •65. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •66.Теорема о необходимых и достаточных условиях возраст и убывания дифф функции.
- •67.Необходимое условие существования экстремума
- •69.Второй достаточный признак существования экстремума.
7.Дать определения а)числовой последовательности,б)ограниченной числовой послед в)предела числовой последовательности
Опр1: Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие по определенному закону единственное число . Тогда множество пронумерованных чисел х1,х2,х3 и т.д называется числовой последовательностью. Обычно обозначают так
Опр1: Числовой последовательностью называется отображение . Обычно последовательность задают с помощью формулы, позволяющей вычислить ее элемент по номеруn.
Опр3: Последовательностьназывается:
Ограниченной сверху, если ;
Ограниченной снизу, если ;
Ограниченной, если .
Легко видно, что свойства последовательности быть ограниченной означает, что
Опр4: Число а называется пределом последовательности n, что все члены последовательности с номером >n будут удовлетворять неравенству (1). При этом принято писать. Опр4 можно записать с помощью символов мат логики. В результатах получим(2)
8.Сформулировать и доказать сво-ва сходящейся последоват.
Т1: Любая окрестность предела сходящ последоват содержит все члены последовательности, за исключением их конечного числа.
Док-во: т.е
Т2:Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Док-во: Предположим противное. Пусть последовательность xn имеет 2 предела а1 и а2, причем a1<a2. Т.к. а1≠а2 то согласно принципу отдельности Хаусдорфа,
Возьмем данное и зафиксируем его т.к
Если взять N=max{N1,N2}, то мы получим, что такое, чтоN>N , что противоречит свойству Хаусдорфа.
Т3: Если последовательность сходится, то она ограничена.
Нам нужно доказать, что если , то, т.ка значит и длянайдется такой номерN, что , дляn>N:|. Выберем в качестве числаM=max{|} Тогда #.
9. Сформ-ь и док-ть св-ва последоват всязанные с неравенст
Т1: пусть a<b тогда сущ NϵN для любого n>N: xn<yn. Док-во: тк a≠b то по св-ву отделимости Хаусдорфа зафиксираналогичвозьмемN=max{N1,N2} и получим что одновременно все и все. Т2: еслиxn≤yn то a≤b Докво: предположим противное, тогда согласно Т1 все члеы послед xn yn с некотрого номера начнут удовл неравенству xn >yn что противоречит условию теоремы.
10. Сформулировать и док-ть теорему о пределе «зажатой» послед.
Пусть числовые послед {xn} {yn} {zn} удовлет условию сущ N0ϵN для любого n>N0 xn≤yn≤zn (*) если {xn} и{zn} сход к одному и тому же пределу то и {yn} сходится к этому пределу. Док-во: => (**) аналогично(***) возьмемN=max{N0,N1,N2} и получим =><=>|yn-a|<=>
11.Бесконечно большие и малые последовательности.
Опр: Последовательность {Xn} называется бесконечно большой если ее предел равен бесконечности(-+).
Опр:
T8: Пусть иявляются б.м.н. Тогда последоваттак же являются б.м.п
Док-во: Докажем что - б.м.п. Возьмеми зафиксируем его. Т.к– б.м.п
–б.м.п. В результате мы получили, что
T10: Если
12.Теорема о произведении ограниченной послед на бесконечно малую.
Т9: Произведение ограниченной последовательностина б.м.п
Док-во: Т.к то. Т.к.б.м.п, тов результате получаем что.
13.Теорема о связи членов сходящ последоват со своим пределом и беск малой
T11: Послед {} сходится к пределуa существует бесконечно малая}:
Док-во: () Пусть
()
Докажем, что .
Т.к.