sterg_sistemy
.pdfГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА»
РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОСТОЯННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ
САМАРА 2010
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА»
РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОСТОЯННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний
С А М А Р А И з д а т е л ь с т в о С Г А У
2 0 1 0
2
Составители: С.И. Иванов, В.Ф. Павлов, А.П. Филатов, В.К. Шадрин
Рецензент канд. техн. наук, доц. В.А. Мехеда
УДК 539.3/8 (076.5)
Расчёт на прочность стержневых систем при постоянных и циклически изменяющихся напряжениях: Задания и методические указания к расчётнопроектировочным работам / сост. С.И. Иванов, В.Ф. Павлов, А.П. Филатов, В.К. Шадрин. – Самара: Изд-во СГАУ, 2010. – 56 с.
Приведены расчётные схемы и исходные данные к курсовым и расчётнопроектировочным работам по сопротивлению материалов, охватывающий основные разделы второй части курса.
Изложены методика выполнения работ, основные требования к оформлению, даны контрольные вопросы, рассмотрены примеры выполнения работ.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей очной, очно-заочной и заочной форм обучения, изучающих дисциплины «Сопротивление материалов», «Прикладная механика», «Механика материалов и конструкций», «Общая теория механики материалов и конструкций».
© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2010
3
1 РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ
1.1 Задание
Заданы схема плоской статически определимой рамы (рис. 1, 2), размеры и действующие нагрузки (табл. 1).
Требуется:
построить эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов; подобрать размеры поперечного сечения; определить линейное и угловое перемещения заданного сечения рамы.
В пояснительной записке следует представить схему рамы, выполненную в масштабе, эпюры поперечных сил, нормальных сил и изгибающих моментов, эпюры от единичных нагрузок и все необходимые расчеты.
1.2Порядок выполнения работы
1По данным таблицы 1, изображают в масштабе схему рамы (рис. 1 или рис. 2), соответствующей заданному шифру.
2.Определяют реакции опор рамы.
3Строят эпюры нормальных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов М на каждом участке рамы. Для криволинейных участков предварительно записывают аналитические выражения для N, Q и М.
4Подбирают размеры поперечного сечения рамы из условия прочности при изгибе по нормальным напряжениям. В расчетах учитывают, что материал рамы - Ст. 3 с допускаемым напряжением [σ] = 160МПа.
5Проверяют прочность подобранного сечения с учетом действия нормальной
силы.
6Определяют линейные и угловое перемещения в заданном сечении рамы с помощью интеграла Мора. На прямолинейных участках интегралы вычисляют способом Верещагина.
4
1 |
F1 |
|
q2 |
|
|
2 |
|
m1 |
В |
|
|
|
l2 |
|
|
F2 |
|
||||||
|
А |
|
|
|
|
|
q1 |
|
|||
|
1 |
|
|
l3 |
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
q2 |
|
1 |
|
||
|
l |
F2 |
q1 |
|
|
m2 |
l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m1 |
В |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
F2 |
|
|
F1 |
4 |
|
l1 |
l3 |
|
||
|
|
q2 |
|
m2 |
В |
|
F1 |
|
В |
q1 |
А |
|
3 |
|
l1 |
|
2 |
m2 |
F2 |
||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|
m1 |
|
l |
|
|
|
q2 |
2 |
|
|
|
А |
|
|
m1 |
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
m1 |
|
F1 |
|
|
6 |
F2 |
l3 |
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
В |
q1 |
|
||||
|
В |
|
q2 |
F2 |
|
|
|
А m1 |
|
||
|
l1 |
|
2 |
|
m2 |
1 |
|||||
|
|
|
l3 |
l |
|
|
|
q2 |
l |
||
|
|
m2 |
|
q1 |
|
|
|
F1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
А |
q1 |
|
m1 |
8 |
А |
F1 |
|
|
||
|
F2m2 |
|
|
|
|
|
m2 |
||||
|
|
|
|
|
q2 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||
|
|
l2 |
|
l3 |
|
l1 |
m1 |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
||||
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
F |
|
|
|
|
|
l1 |
q1 |
l |
|
|
|
1 |
В |
|
|
|
|
|
|||
9 |
m2 |
|
l1 |
|
m1 |
|
10 |
m2 |
l2 |
l3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
||
|
|
В |
q2 |
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
q1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
q1 |
|
q2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|||
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 Статически определимые рамы |
|
|||||||
|
|
|
|
с прямолинейными участками |
|
|
5
1 |
q2 |
|
|
|
m1 |
||
m2 |
R |
||
А F2 |
/2 |
||
|
|||
|
l1 |
l |
|
|
|
2 |
|
|
F1 |
/2 |
|
|
q1l |
||
|
|
2 |
|
|
|
В |
3 |
|
q2 |
|
|
|
|
R |
F2 |
|
|
|
|
||
|
|
А m1 |
q1 |
|
|
|
l1 |
F1 |
2 |
|
|
|
|
l |
5 |
|
|
m2 |
В |
|
q2 |
|
|
|
|
|
R |
m2 |
|
|
В |
|
||
|
А |
m1 |
/2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
F1 l1 |
|
l |
|
|
|
|
F2 |
/2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
А |
7 |
|
А |
F1 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
q1 |
|
|
lq2 |
|
|
|
|
m2 |
|
В |
|
|
l2 |
F2 R |
|
|
|
|
|
m1 |
|
9
|
q2 |
l1 |
В m1 |
F2 |
R |
||
2 |
А |
F1 |
|
q1 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
m2 |
|
|
2 |
|
|
q2 |
R |
В |
А |
||
F1 |
F2 |
1 |
l2 |
m1 |
l |
|
m2 |
q1 |
|
|
4 |
q2 |
|
|
|
|
|
R |
В m2 |
|
А |
|
|
||
F1 |
l1 |
m1 |
F2 |
l2 |
|
||||
|
|
|
|
q1 |
6 |
|
|
q1 |
А |
|
R |
||
m2 |
F1 |
|
l2 |
1 |
|
F2 |
l |
|
m1 |
q2 |
|
В |
||
|
8 |
|
|
В |
|
А R |
F1 |
q2 |
|
l2/2 |
l2/2 |
|
1 |
q1F2 |
|
|
l |
|
|
10 |
l2 |
|
|
А q1 |
В m2 |
|
|
R |
F2 |
||
F1 |
l1
q2
Рисунок 2 Статически определимые рамы с криволинейными участками
6
Таблица 1 Параметры для статически определимых рам
№ строки |
№ схемы |
14
21
37
42
53
610
74
85
99
0 6
А
m1, |
m2, |
F1, |
|
F 2, |
q1, |
q2, |
l1,·м |
l2,·м |
l3,·м |
R, м |
Сече- |
|
|
Форма поперечного |
|||
кН·м |
кН·м |
кН |
|
кН |
кН/м |
кН/м |
|
|
|
|
ние |
|
|
|
|
|
сечения |
20 |
0 |
40 |
|
0 |
15 |
0 |
3 |
2 |
4 |
1 |
А |
|
I - двутавр |
||||
0 |
40 |
0 |
|
30 |
0 |
20 |
4 |
3 |
2 |
1,5 |
В |
|
┘└ - два неравнобоких |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уголка |
||||
-50 |
0 |
30 |
|
0 |
10 |
0 |
2 |
4 |
4 |
2 |
А |
|
I I – два двутавра |
||||
0 |
-40 |
0 |
|
20 |
0 |
-15 |
3 |
2 |
2 |
2,5 |
В |
|
○ - круг |
||||
30 |
0 |
-20 |
|
0 |
-10 |
0 |
4 |
4 |
2 |
1 |
А |
|
[ ]– два швеллера |
||||
0 |
-30 |
0 |
|
-30 |
0 |
10 |
2 |
3 |
4 |
1,5 |
В |
|
□- квадрат |
||||
40 |
0 |
-30 |
|
0 |
20 |
0 |
2 |
2 |
4 |
2 |
А |
|
|
|
|
|
– два швеллера |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
] [ – два швеллера |
||||||||||||||||
0 |
-20 |
0 |
|
40 |
0 |
-20 |
3 |
3 |
2 |
2,5 |
В |
||||||
-30 |
0 |
-40 |
|
0 |
-15 |
0 |
5 |
4 |
3 |
1 |
А |
|
- |
|
|
|
- четыре |
|
|
|
|
|
равнополочных уголка |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
30 |
0 |
|
-20 |
0 |
15 |
3 |
5 |
4 |
2 |
В |
|
I - двутавр |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
в |
|
г |
д |
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
1.3 Пример выполнения работы |
|
|||
Для рамы, изображенной на рисунке 3, построить эпюры нормальных |
||||||
|
z1 |
z2 |
C |
сил, поперечных сил и |
||
А |
|
D |
HC |
изгибающих |
моментов, |
|
|
|
l= 2 м |
VC = 25 кН |
подобрать размеры поперечного |
||
q= 20 кН/·м φ |
R = 2 м |
сечения и определить линейные |
||||
|
|
|
и угловое перемещения сечения |
|||
B |
|
|
|
|||
m= 40 кН·м |
|
А при следующих данных: |
||||
|
RB = 15 кН |
|
q = 20 кН/м, m = 40 кН·м, |
|||
|
|
l = R = 2 м, поперечное сечение |
||||
Рисунок 3 – Расчётная схема рамы |
||||||
— ][ — два швеллера. |
|
|||||
|
|
|
|
|
Определим реакции опор:
mC |
VB 4 40 20 2 3 0, |
|
VB 20 кН; |
x H C 0; |
mB VC 4 40 20 2 1 0, |
|
VC 20 кН. |
|
Проводим проверку:
y 20 20 2 20 40 40 0.
Строим эпюру нормальных сил (рис. 4, а). На участке BD
N ( ) VB sin 20 sin , при 0 |
N 0, при |
|
|
N 20 кН. |
|||
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
На других участках нормальные силы отсутствуют. |
|
|
|
||||
Строим эпюру поперечных сил Q (рис. 4, б). |
|
|
|
||||
На участке BD |
|
|
|
|
|
|
|
Q( ) VB cos 20 cos , при 0 Q 20 кН , при |
N 0. |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
На участке CD. Q VC 20 кН.
На участке AD Q q z 20 z, |
при z = 0 Q = 0, при z = 2 м Q= 40 KH. |
|
N , кН |
Q , кН |
М , кН·м |
а) 20
+
40 |
|
40 |
20 |
|
|
+ |
в) |
80 |
б) |
40 |
|
|
|
- |
40 |
20 |
|
Рисунок 4 – Эпюры внутренних сил
Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 4, в). На участке BD
M ( ) m VB R sin 40 20 2 sin ,
при 0 |
M 40 кН м, при |
|
M 80 кН м.. |
|
|||
|
2 |
|
8
На участке AD M |
q z 2 |
|
20 z 2 |
, при z = 0 M = 0, при z = 2 м |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
M= 40 KH·М. |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подберём поперечное сечение составленное из двух швеллеров из |
||||||||||||||||||||||
условия прочности только при изгибе |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
J ][ |
|
|
|
2 J ] |
|
|
|
|
|
|||||||||||
W ][ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 W ] |
|
|
|
|
|
|||||
у |
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
наиб |
|
|
|
|
наиб |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
] |
|
M |
|
наиб |
|
|
|
|
|
|
80 103 |
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
W x |
|
|
|
|
|
|
250 см |
|
. |
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 160 106 |
|
|
|||||||||||||||||
Полученному значению удовлетворяет швеллер № 24а с |
||||||||||||||||||||||
характеристиками: W ] = 265 см3, J ] |
= 3180 см4, A] = 32,9 см2. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
Проверим подобранное сечение по полному условию прочности:
|
|
|
|
|
M |
наиб |
|
|
N |
|
|
|
80 10 |
3 |
|
20 10 |
3 |
154,0 МПа < , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
наиб |
|
|
2 W ]x |
2 A ] |
|
2 265 10 6 |
|
2 32,9 10 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
условие прочности выполняется.
Определим вертикальное перемещение сечения А. Приложим в направлении искомого перемещения единичную силу, определим реакции опор от единичного нагружения и построим эпюру изгибающих моментов M1 (рис. 5, а).
А С
а) 1
φ
B
1
А |
С |
б) 1 |
1 |
|
|
φ |
|
|
|
B |
|
|
|
в) |
А |
1 |
1/4 |
С |
|
|
φ |
|
|
2
2
M 1 , м
M 2 , м
1 |
|
|
1/2 |
|
1/2 |
M 3 |
, м |
B
1/4
Рисунок 5 – Эпюры моментов от единичных нагружений
9
На участке BD интеграл вычислим непосредственно, на участке AD- способом Верещагина; на участке CD интеграл равен нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
||
E J x A |
(40 40 sin ) 2.sin 2 d |
40 2 |
2 |
||||||||||
3 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 (40 1 40 |
|
) 40 325,7кН м3. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
325,7 103 |
25,60мм. |
|
|
|
|
|||||
2 1011 2 3180 10 8 |
|
|
|
|
|
Горизонтальное перемещение сечения А равно нулю, т. к. эпюры M 2 нулевые (рис. 5, б).
Определим угол поворота сечения А. Приложим в сечении А единичный момент (рис. 5, в), определим реакции опор от единичного нагружения и построим эпюру изгибающих моментов M 3
Вычисляем интеграл Мора:
E J x A M M 2 dz M M 2 dz M M 2 dz
|
|
|
|
BD |
|
AD |
|
|
|
|
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||
|
|
|
(40 40 sin ) |
.sin 2 d |
40 2 1 |
40 2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 (40 1 40 |
|
) |
80 |
|
40 |
84,75кН м3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
84,75 103 |
|
|
6,663 10 |
3 |
рад. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 10 |
11 2 3180 10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак «минус» указывает на то, что поворот происходит в сторону, противоположную направлению единичного момента (рис. 10, в), т.е сечение А поворачивается по часовой стрелке.
1.4 Контрольные вопросы
1 Какую конструкцию называют плоской рамой?
2 Как определяют внутренние усилия в плоской раме?
3 Какие правила знаков используют при определении внутренних усилий в плоской раме?
4 Из какого условия прочности подбирают поперечное сечение плоской рамы?
5 Как записывается полное условие прочности для плоской рамы?
6 Как записывается интеграл Мора при определении перемещений в плоских рамах?
7 В чем заключается способ Верещагина для вычисления интеграла Мора?
8 В чем заключается разница вычисления угловых и линейных перемещений с помощью интеграла Мора?
9 Как и для чего строят расслоенные эпюры?
10