Случайные величины Часть 1
.pdfСАМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА КАФЕДРА «ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА»
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Курс лекций для студентов, обучающихся по направлению
010400.62 Прикладная математика и информатика
Часть 2 Случайные величины
Лектор: к.ф.-м.н., доцент Коломиец Э.И.
САМАРА 2012
2.1. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Интуитивное представление о случайной величине
Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.
Примеры случайных величин:
а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений); б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);
в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений). Обозначают случайные величины прописными буквами латинского
алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….
Определение случайной величины
Пусть задано некоторое вероятностное пространство ( , , P) .
Определение. |
Функция |
X |
X ( |
) : |
|
называется |
случайной |
||||
величиной, если для любого x |
множество |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
{ : X ( ) x} ( X x) |
|
|
|
||||
является событием, то есть ( X |
x) |
. |
|
|
|
|
|
||||
Смысл приведенного определения случайной величины состоит в |
|||||||||||
требовании |
того, |
чтобы |
у подмножества ( X x) |
была |
определена его |
||||||
вероятность при любом x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение. |
Говорят, |
что |
функция |
X |
X ( ) : |
|
является |
||||
-измеримой, если множество { |
: X ( |
) |
x} |
для любого x |
. |
|
|||||
Таким образом, случайная величина есть |
-измеримая |
функция, |
|||||||||
ставящая |
в |
соответствие |
каждому |
элементарному |
исходу |
число |
|||||
X ( ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения случайной величины и свойств |
-алгебры вытекает, что |
событиями являются также следующие подмножества, связанные со случайной величиной X :
|
|
|
|
(X |
x) (X x) ; |
||
(x1 |
X x2 ) ( X x2 ) ( X x1) ; |
( X x) |
X x |
1 |
; |
|
|
||||
n |
||||
|
n 1 |
|
||
|
|
|
2
( X x) |
x X x |
1 |
, |
|
|
||||
n |
||||
|
n 1 |
|
||
|
|
|
и любые другие, получающиеся из них с помощью выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, приведенное определение случайной величины эквивалентно тому, что попадание случайной величины
X |
в любое борелевское множество на числовой прямой является событием: |
|||||
{ |
: X ( ) B} |
для любого B |
( |
) . |
|
|
|
Заметим, что, если в -алгебре |
содержатся все подмножества |
(как, |
|||
например, в случае конечного или |
счетного |
), то случайной величиной |
||||
является любая числовая функция X |
X ( ) . В общем случае это не так. |
|
Определение функции распределения случайной величины
Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и делать это одним и тем же способом для любых случайных величин, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.
Определение. |
Функцией распределения |
случайной величины |
X |
|
называется функция |
FX (x) F(x) : |
0,1 , определенная при каждом |
x |
|
равенством: |
|
|
|
|
|
F (x) P{ : X ( ) x} P( X x) . |
|
||
Из определения случайной величины следует, что ее функция |
||||
распределения F (x) |
определена для любого x |
. |
|
Геометрически функция распределения F (x) означает вероятность попадания случайной точки X левее заданной точки õ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
X ( 2 ) |
X ( |
1 ) |
|||
|
|
|
||||
Свойства функции распределения |
|
|
|
|||
Функция распределения F (x) |
является исчерпывающей вероятностной |
характеристикой случайной величины, поскольку позволяет определять вероятности любых событий с ней связанных. Это вытекает из следующих ее свойств функции распределения.
F0). 0 F (x) |
1 для любого x |
. |
|
|
(свойство следует из определения, так как F (x) - вероятность). |
||||
F1). Функция распределения F (x) является функцией неубывающей: |
||||
если x1 x2 , то F (x1) F (x2 ) . |
|
|
|
|
▲ Если x1 |
x2 , то ( X |
x1) |
( X |
x2 ) . Поэтому в силу свойства 3 |
вероятности F (x1) |
P( X x1) |
P( X |
x2 ) |
F (x2 ) ■. |
3
|
F2). F ( |
|
) |
lim F( |
n) |
|
0, |
F( |
) |
|
lim F(n) |
1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в |
||||||||||||||||||||||||||
следующем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F ( |
) |
P( X |
|
|
|
) |
|
P( |
) |
0 в силу свойства 2 вероятности; |
|
|
|
|||||||||||||
|
F ( |
) |
P( X |
|
|
|
) |
|
P( |
) |
1 в силу аксиомы нормированности Р2). |
|
|||||||||||||||
|
Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы |
||||||||||||||||||||||||||
непрерывности Р4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим |
события |
Bn |
( X |
n), |
n |
1, 2,.... Нетрудно |
заметить, |
что |
||||||||||||||||||
последовательность событий |
{Bn}n 1 |
удовлетворяет свойствам: |
1) |
Bn 1 |
Bn ; |
||||||||||||||||||||||
2) |
Bn |
. Поэтому в силу аксиомы непрерывности |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim P(Bn ) |
lim F ( |
n) |
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Свойствам |
аксиомы |
непрерывности |
удовлетворяют |
также |
события |
|||||||||||||||||||||
Cn |
( X |
n) , |
|
n 1, 2,... |
|
|
и |
поэтому |
|
|
lim P(Cn ) |
0 . |
|
Поскольку |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (n) |
P( X |
n) |
1 |
|
P(Cn ) , то lim F (n) |
|
1 ■. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F3). Функция распределения F (x) является функцией непрерывной слева, |
||||||||||||||||||||||||||
то есть для любого x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x 0) F (x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где F(x |
0) |
lim F(x |
1 |
) - предел слева функции распределения в точке х. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ Рассмотрим события |
Bn (x |
1 |
|
X |
x) , |
n |
1, 2,.... В силу аксиомы |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
непрерывности lim P(Bn ) |
0 . Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) P(X x) P(x |
|
1 |
|
X x) P( X x |
|
1 |
) P(B ) F(x |
1 |
) , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то F(x) |
lim F(x |
|
1 |
) |
F(x |
0) ■. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Отметим, что если функцию распределения определить как |
||||||||||||||||||||||||||
F (x) P( X |
x) , то она будет функцией непрерывной справа. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Замечание. Свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс функций |
||||||||||||||||||||||||||
распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства). |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Если функция F : |
|
|
|
0,1 |
удовлетворяет свойствам F1), F2) и F3), то F |
|||||||||||||||||||||
есть |
функция |
распределения |
некоторой |
случайной |
величины |
X , |
то |
есть |
|||||||||||||||||||
найдется вероятностное пространство ( , |
, P) и такая случайная величина на |
||||||||||||||||||||||||||
этом пространстве, что FX (x) |
F (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
F4). Для любого x
|
|
|
P( X x) F (x 0) F (x) |
F (x) , |
|
|
|||
где |
F(x |
0) |
lim F(x |
|
1 |
) - предел справа функции распределения в точке х, |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
F (x) |
F (x |
0) F (x) |
- величина скачка функции распределения в точке x . |
|
|||||
|
Следствие. Если |
|
функция распределения непрерывна в точке |
x , |
то |
||||
P( X |
x) 0 . |
Если функция распределения непрерывна для любого x |
, |
то |
P( X x) 0 для любого x |
. |
|
|
|
▲ Поскольку справедливо представление |
|
|
||
( X x |
1 |
) (X x) (X x) (x X x |
1 |
) |
|
|
|||
|
n |
|
n |
и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности
|
F(x |
|
1 |
) F(x) P( X x) P(x X x |
1 |
) . |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
Доказательство свойства следует из того, что последовательность |
||||||||||
событий B (x |
X |
x |
|
1 |
) , n 1, 2,... удовлетворяет аксиоме непрерывности и |
|||||
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
поэтому lim P(x |
X |
x |
|
|
1 |
) 0 ■. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
F5). Для любого x
P( X x) F (x 0) .
▲ Действительно,
P( X x) P( X x) P( X x) F (x) F (x) F (x 0) ■.
Замечание. Геометрически свойства F3), F4) и F5) означают следующее. В точках x , где функция распределения имеет разрыв 1 рода, то есть когда F (x 0) F (x 0) , за значение функции распределения принимается левое
(нижнее, меньшее). При этом вероятность события ( X x) является ненулевой и ее значение равно величине скачка F (x) . В точках непрерывности функции распределения свойства F3) F4) и F5) содержательными не являются.
5
F(x)
x |
x |
|
F6). Вероятность попадания случайной величины X в интервал [a,b) определяется как приращение функции распределения на этом интервале:
для любых a,b |
: a |
b |
|
|
|
P(a X b) F (b) F (a) . |
|||
▲ Поскольку ( X |
b) |
( X |
a) |
(a X b) и события в сумме являются |
несовместными, то в силу аддитивности вероятности |
||||
|
P( X b) P( X a) P(a X b) |
|||
или, что эквивалентно, |
|
|
|
|
|
F (b) F (a) P(a X b) ■. |
|||
F7). P(a X b) |
F (b |
0) |
F (a) . |
|
F8). P(a X b) |
F (b) |
F (a 0) . |
||
F9). P(a X b) |
F (b |
0) |
F (a |
0) . |
(Доказать свойства F7), F8) и F9) самостоятельно).
В общем случае график функции распределения может иметь вид:
F(x)
|
1 |
|
|
|
P(X b) |
|
|
P( X a) |
P(x1 X x2 ) |
|
|
x1 |
a x2 b |
x |
|
6
В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.
2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение. Случайная |
величина |
X , заданная на вероятностном |
||||||
пространстве ( |
, , P) , |
называется дискретной, если множество ее возможных |
||||||
значений |
конечно или счетно: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
{x1, x2 ,..., xn} или |
{x1, x2 ,..., xn ,...}. |
|
|
||
Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной |
||||||||
величины |
X |
достаточно указать |
все ее |
возможные значения |
xk |
и |
||
вероятности pk |
P( X xk ) , с которыми эти значения принимаются, |
k |
1,2, . |
|||||
При этом, поскольку события |
( X |
xk ) , k |
1,2, , образуют полную группу |
|||||
событий, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( X |
xk ) |
pk |
1 (условие нормировки). |
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
Подобную информацию о дискретной случайной величине записывают в виде таблицы:
X |
x1 |
x2 |
|
xn |
|
(2.1) |
P |
p1 |
p2 |
|
pn |
|
|
|
|
|
которую называют законом распределения дискретной случайной величины X или рядом распределения.
Закон распределения (2.1) является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем функция распределения, и его задание полностью эквивалентно заданию функции распределения.
Действительно, функция распределения дискретной случайной величины определяется по закону распределения (2.1) с помощью формулы:
F (x) P( X x) |
pk . (2.2) |
k: xk x
Подробнее в случае конечного числа значений дискретной случайной величины формула (2.2) выглядит следующим образом:
7
|
|
0, |
x |
x1; |
|
|
|
|
|
p1, |
x1 |
x |
x2 ; |
|
|
|
F (x) |
p1 |
p2 , x2 |
x x3; |
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
pk |
1 , x |
xn . |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
График функции распределения дискретной случайной величины |
|||||||
является |
кусочно-постоянным |
со |
скачками в |
точках xk |
равными |
||
pk P( X |
xk ) F (xk ) , k 1,2, |
, n . |
Это означает, |
что закон |
распределения |
(2.1) по функции распределения (2.2) всегда можно однозначно восстановить.
1 F(x)
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
|
|
|
|
pk |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x1 |
x2 |
0 |
xk 1 |
xk |
xn 1 xn |
||
|
|
|||||||
|
Вероятность |
попадания |
дискретной |
случайной |
величины X в любое |
|||
борелевское множество |
на |
числовой |
прямой B |
( ) определяется по |
||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
P( X B) |
k: xk |
pk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
Отметим, что через функцию распределения вероятность P( X B) в явном виде может и не выражаться.
2.3.Важнейшие дискретные случайные величины
иих законы распределения
1.Вырожденная случайная величина.
Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: X X ( ) C для любого .
Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:
X С
P 1
8
Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:
|
F (x) |
0, x |
C; |
|
1 , x C. |
||
|
|
||
|
F(x) |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
С |
x |
2. Индикаторная случайная величина. |
|
||
С любым случайным событием А можно связать случайную величину |
|||
вида: |
|
|
|
X |
I A ( ) |
1, |
A; . |
|
|
0 , |
A. |
Случайная величина X |
I A называется индикатором случайного события |
А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения x1 0 и x2 1, при этом
P( X 1) P( A) p , P(X 0) P( A) 1 p q .
Закон распределения индикаторной случайной величины имеет вид:
X 0 1
P q p
Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:
|
0, x |
0; |
F (x) |
q , 0 |
x 1; |
|
1 , x |
1. |
F(x) |
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
0 |
1 |
x |
3. Биномиальная случайная величина.
Биномиальной называется дискретная случайная величина X , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Множество возможных значений биномиальной случайной величины:
{0,1,...,n} {xk k, k 0,n} .
9
Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p P(X k) P (k) Ck pk qn k , k 0,n . |
||||||||||
k |
|
n |
n |
|||||||
Закон распределения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
|
1 |
|
|
n |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
P |
qn |
npqn 1 |
|
|
pn |
|
и называется биномиальным законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:
n |
n |
|
p |
Ck pk qn k |
( p q)n 1. |
k |
n |
|
k 0 |
k 0 |
|
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины:
XBi(n, p) .
4.Геометрическая случайная величина.
Геометрической называется дискретная случайная величина X , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:
{1, 2,..., n,...} {xk k, k 1, 2,...} .
Вероятности значений определяются по формуле:
|
p |
P(X |
k) |
qk 1 p, k 1,2,.... |
||
|
k |
|
|
|
|
|
Закон распределения имеет вид: |
|
|
|
|||
|
X |
|
2 |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|||
|
P |
p |
qp |
|
qn 1 p |
|
и называется геометрическим законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
p |
qk 1 p |
p |
1 |
|
p |
1 . |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
k |
|
|
1 q |
|
p |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины:
XG( p) .
5.Пуассоновская случайная величина.
10