Методичка. Алгебра
.pdfГосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА"
А Л Г Е Б Р А М А Т Р И Ц
САМАРА 2010
Федеральное агенство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА"
АЛГЕБРА МАТРИЦ
Методические указания
САМАРА 2010
Составители: С.Ю. Гоголева, Л.Н. Прокофьев.
УДК 512.8
Алгебра матриц: Метод.указания/Самар. гос. аэрокосм.ун-т. Сост. С.Ю. Гоголева, Л.Н. Прокофьев. Самара, 2010. 32 с.
Содержат теоретические сведения, примеры и варианты индивидуальных заданий по разделу "Матрицы и определители"курса "Алгебра и геометрия".
Предназначены для студентов направлений 010501 - "Прикладная математика и информатика", 010600 - "Прикладные математика и физика"и 230102 - "Автоматизированные системы обработки информации"в качестве руководства при проведении практических занятий и для самостоятельной работы.
Выполнены на кафедре прикладной математики.
Методические указания подготовлены при поддержке Министерства образования и науки РФ, а также программы "Фундаментальные исследования и высшее образование"(BRHE).
Библиограф.: 3назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева.
Рецензент Дегтярев А.А.
|
Содержание |
|
1. |
Понятие матрицы. Операции над матрицами . . . . . . . . . . |
6 |
|
1.1. Теоретические сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
1.2. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
2. |
Определители. Основные методы вычисления определителей . . |
15 |
|
2.1. Теоретические сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
|
2.2. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
3. |
Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
|
3.1. Теоретические сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
|
3.2. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
4. |
Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
4.1. Теоретические сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
4.2. Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
5
1. Понятие матрицы. Операции над матрицами 1.1. Теоретические сведения
Терминология и обозначения.
Пусть m; n 2 N. Матрицей размера m £ n называется совокупность mn чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы.
Матрицу обозначают прописными латинскими буквами, при этом саму таблицу заключают в скобки (либо круглые, либо квадратные, либо двойные вертикальные):
A = µ 4 |
5 |
6 |
¶; B = · 0 |
1 ¸; |
° |
2 |
° |
: |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
° |
1 |
° |
|
|
|
|
|
|
° |
|
° |
|
|
|
|
|
|
° |
|
° |
|
Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: aij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке j-м столбце. В этих обозначениях матрица размера m £ n в общем виде может быть записана следующим образом:
|
|
a11 |
a12 |
: : : a1n |
C |
|
|
|
B a: : : |
a: : : |
:: :: :: |
a: : : |
|
||
A = |
0 a21 |
a22 |
: : : |
a2n |
1 |
: |
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
B |
m1 |
m2 |
|
mn C |
|
Используются обозначения :
A = (aij) – матрица A с элементами aij;
Rm£n – множество всех вещественных матриц размера m £ n.
Матриц размера n £ n называется квадратной матрицей n-го порядка. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональ-
ные элементы aij; i 6= j равны нулю.
Обозначение: diag(a11; : : : ; ann):
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называется скалярной.
Скалярная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной. Отметим, что для каждого порядка n существует своя единичная матрица.
Обозначение: E или I.
Матрица O, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица A = (aij) 2 Rn£n называется верхней (правой) тре-
угольной, если aij = 0 при i > j, и нижней (левой) треугольной, если aij = 0
при i < j.
Матрица A = (aij) 2 Rm£n называется верхней (правой) ступенчатой, если она обладает следующими свойствами:
6
1)если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая;
2)если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1)-й строк расположены в
столбцах с номерами ki и ki+1, то ki < ki+1.
Эти свойства означают, что все нулевые строки являются последними и что все элементы, расположенные слева и под первым ненулевым элементом каждой строки, равны нулю.
Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней (левой)ступенчатой матрицы.
Ступенчатая матрица, у которой ki = i, называется трапециевидной.
Операции над матрицами. Две матрицы A = (aij) и B = (bij) одинакового размера m £ n называются равными, если
aij = bij; |
i = 1; 2; : : : ; m; |
j = 1; 2; : : : ; n |
.
Обозначение: A = B.
Суммой матриц A = (aij) 2 Rm£n и B = (bij) 2 Rm£n называется матрица C = (cij) 2 Rm£n, элементы которой определены равенством:
cij = aij + bij; i = 1; 2; : : : ; m; j = 1; 2; : : : ; n: |
(1) |
Обозначение: C = A + B.
Матрица ¡A = (¡aij) 2 Rm£n называется противоположной к матрице
A = (aij) 2 Rm£n.
Свойства операции сложения:
8 A; B; C 2 Rm£n и O 2 Rm£n
1.A + B = B + A;
2.(A + B) + C = A + (B + C);
3.A + O = O + A = A;
4.A + (¡A) = ¡A + A = O.
Разностью матриц A = (aij) 2 Rm£n и B = (bij) 2 Rm£n называется матрица X = (xij) 2 Rm£n такая, что A = B + X.
Обозначение: X = A ¡ B.
Очевидно, что для 8 A; B 2 Rm£n существует единственная разность A ¡ B, при этом
A ¡ B = A + (¡B) = (aij ¡ bij):
Произведением матрицы A = (aij) 2 Rm£n на число ® 2 R называется матрица C = (cij) 2 Rm£n, элементы которой определены равенством:
cij = ®aij; |
i = 1; 2; : : : ; m; |
j = 1; 2; : : : ; n: |
(2) |
7
Обозначение: C = ®A.
Свойства операции умножения матрицы на число:
8 A; B 2 Rm£n и ®; ¯ 2 R
1.(®¯)A = ®(¯A);
2.®(A + B) = ®A + ®B;
3.(® + ¯)A = ®A + ¯A;
4.1 ¢ A = A;
5.¡A = (¡1)A.
Произведением матриц A = (aij) 2 Rm£n и B = (bij) 2 Rn£k называется матрица C = (cij) 2 Rm£k, элементы которой определены равенством:
|
n |
|
|
|
cij = |
Xs |
i = 1; 2; : : : ; m; |
j = 1; 2; : : : ; k: |
(3) |
aisbsj; |
||||
|
=1 |
|
|
|
Обозначение: C = AB.
!Произведение AB определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Свойства операции умножения матриц: 1. (AB)C = A(BC);
2. ®(AB) = (®A)B = A(®B); 8® 2 R;
3. A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC,
выполненные для любых матриц A; B; C, для которых левые части равенств имееют смысл.
Целой положительной степенью Ak (k > 1) квадратной матрицы называется произведение k матриц, каждая из которых равна A.
Нулевой степенью квадратной матрицы A называется единичная матрица E того же порядка, что и A, т. е. A0 = E.
Пусть A = (aij) 2 Rm£n. Матрица AT = (atij) 2 Rn£mназывается транс-
понированной к матрице A, если |
|
|
aijt = aji; |
i = 1; 2; : : : ; n; |
j = 1; 2; : : : ; m: |
Переход от матрицы A к AT называется транспонированием матрицы A. При транспонировании матрицы A ее строки становятся столбцами AT с теми же номерами, а столбцы – строками.
Свойства операции транспонирования матриц: 1. (A + B)T = AT + BT ;
2. (®A)T = ®AT ; 8® 2 R;
3.(AB)T = BT AT ;
4.(AT )T = A,
выполненные для любых матриц A; B, для которых левые части равенств имееют смысл.
8
П р и м е р 1. Найти произведение матриц A = µ |
1 |
2 |
3 |
¶ |
||||
4 |
5 |
0 |
||||||
и B = |
0 |
2 |
0 |
1. |
|
|
|
|
|
@ |
1 |
1 |
A |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
Решение. A 2 R2£3; B 2 R3£2 ) произведение AB определено (число
столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B и равно трем) и AB = C 2 R2£2.
По формуле (3) находим
AB = |
4 |
5 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
1 = C = |
c21 |
c22 |
= |
|
|
|
µ |
|
|
|
¶ |
1 |
3 |
µ |
¶ |
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
@ |
1 |
1 |
A |
c11 |
c12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= µ |
|
|
|
|
|
|
|
¶ = µ |
|
|
¶; |
||
1 1 + 2 2 + 3 1 |
1 1 + 2 0 + 3 3 |
8 10 |
|||||||||||
4 ¢¢ 1 + 5 ¢¢ 2 + 0 ¢¢ |
1 |
4 ¢¢ 1 + 5 ¢¢ 0 + 0 ¢¢ 3 |
14 4 |
т.е. cij – элементы матрицы C, которые получаются перемножением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.
П р и м е р 2. Найти значение многочлена f(C), если f(x) = x2 ¡2x+5; |
||||||||||||||||||
|
|
µ |
0 |
1 |
2 |
¶ |
|
|
0 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ¡3 1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
C = AB; A = |
|
и B = |
@ |
0 |
1 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
A |
|
µ |
|
|
¶ |
|
Решение. По формуле (3) C = AB = |
µ |
4 |
¡1 |
¶ |
|
12 |
¡7 |
|||||||||||
|
4 |
¡2 |
; C2 = CC = |
8 |
¡6 |
; |
||||||||||||
Используя формулы (1) и (3) вычисляем |
|
|
|
|
¶ µ |
|
|
¶ |
||||||||||
|
¡ |
|
|
µ 12 |
¡7 |
¶¡ |
µ |
4 |
¡1 ¶ µ |
0 1 |
4 0 |
|||||||
f(C) = C2 |
|
2C+5E = |
8 ¡6 |
|
2 |
4 ¡2 |
|
+5 |
1 0 |
= |
5 ¡2 |
: |
1.2. Задание
1. Найти произведения матриц AB; BA; BC; CB; AC; CA, если они определены.
1. A = ¡ 1 2 3 ¢, |
B = ¡ 0 |
4 ¡1 ¢T , |
C = ¡ 2 |
4 ¢T : |
|||
2. A = µ 1 |
2 ¶, |
B = ¡ 1 |
¡1 ¢ |
|
, |
C = ¡ 1 |
4 ¢: |
2 |
0 |
|
|
T |
|
|
|
3. A = ¡ ¡1 3 ¢, |
B = ¡ 1 |
2 ¢T , |
|
C = ¡ 2 |
0 ¡4 ¢T : |
9
4. |
A = ¡ 2 |
0 |
1 ¢, |
|
|
||
5. |
A = ¡ 2 |
3 |
¢, |
|
|
|
|
6. |
A = ¡ 2 |
0 |
1 ¢T , |
|
|||
7. |
A = ¡ 1 |
¡1 |
1 ¢, |
|
|||
8. |
A = µ |
2 |
¡1 |
3 |
¶ |
, |
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
A = ¡ 1 |
3 |
¢, |
|
|
|
|
|
µ 1 |
|
¡1 ¶ |
|
|
10.A =
11.A = ¡ 2 ¡3 ¢T ,
12.A = ¡ 9 ¡3 ¢,2 1 ,
13. |
A = ¡ 3 |
1 |
|
¡2 |
¢T , |
|
14. |
A = ¡ ¡1 |
|
5 |
3 |
¢T , |
|
|
µ |
3 |
|
0 |
5 |
¶ |
15. |
A = |
1 |
¡4 2 |
, |
||
16. |
A = ¡ 1 |
¡2 |
5 |
¢, |
||
17. |
A = ¡ 4 |
1 |
|
¡3 |
¢, |
|
18. |
A = ¡ 1 |
3 |
¢T , |
|
µ |
2 |
¡1 |
4 |
¶ |
B = |
1 |
¡2 |
0 |
, |
B = ¡ ¡1 1 ¢T ,
B = ¡ 1 |
¡1 ¢, |
|
||
B = µ |
0 |
2 |
¶, |
|
|
2 |
0 |
|
|
B = ¡ 1 |
2 ¢T , |
|
||
B = µ |
1 |
2 |
¶, |
|
µ |
2 |
0 |
|
¶ |
1 |
1 |
1 |
||
B = |
1 |
¡2 1 |
, |
B = ¡ 0 3 ¡1 ¢T ,
B = ¡ 2 |
2 |
¢T , |
|
|
|
||
B = ¡ 3 |
4 |
¢T , |
|
|
|
||
B = µ |
2 |
4 |
1 |
¶, |
|
||
0 |
¡2 |
3 |
|
||||
B = ¡ 3 |
¡1 ¢T , |
|
|
|
|||
B = ¡ 3 |
4 |
¢, |
¶ |
|
|
|
|
µ |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
B = |
¡3 |
0 |
, |
¶ |
|
|
|
B = µ |
5 |
2 |
|
¡3 |
T |
, |
|
|
4 |
1 |
|
4 |
|
|
|
C = ¡ 3 3 1 ¢T :
µ |
2 |
¡1 |
3 |
¶ |
C = |
1 |
¡2 |
0 |
: |
C = ¡ 2 3 1 ¢:
C = ¡ 2 ¡1 3 ¢T :
C = ¡ 1 0 ¡1 ¢:
C = ¡ 2 4 0 ¢T :
C = ¡ 1 ¡2 ¢T :
C = ¡ ¡7 2 3 ¢:
µ |
5 |
|
2 |
¶ |
|
C = |
4 |
¡1 |
: |
|
|
C = ¡ 3 |
3 |
¢: |
|
|
|
C = ¡ 2 |
1 |
¡3 ¢: |
|
||
C = ¡ 4 |
4 |
¢: |
|
|
|
C = ¡ 3 |
2 |
1 ¢T : |
|
||
C = ¡ 2 |
¡3 |
4 ¢: |
¶ |
||
µ |
3 |
¡2 |
4 |
||
|
1 |
|
0 |
¡1 |
T |
C = |
|
: |
10