2.3. Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа, рассмотренный выше, позволяет рассчитать любую электрическую схему. Однако в случае сильно разветвленных цепей приходится решать систему с большим числом уравнений, поэтому естественно стремление найти менее трудоемкие методы расчета цепей. Одним из наиболее распространенных является метод контурных токов, предложенный Максвеллом.

Этот метод позволяет уменьшать общее число р совместно решаемых уравнений на (q – 1)и свести систему кp– (q– 1) уравнениям, составленным по второму закону Кирхгофа.

В основу данного метода положено понятие о контурных токах, под которым понимают условные токи, замыкающиеся только посвоимконтурам.

Рассмотрим схему на рисунке 25а, разбитую на три независимых контура (на рисунке 25б показаны сами контуры 1,2,3и направления, по которым замыкаются контурные токиI₁₁,I₂₂,I₃₃). Направления контурных токов выбираются произвольно.

Рис. 25

В этом методе должны выполняться следующие условия:

1. Обход контура при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо делать по направлению контурного тока.

2. В ветви, принадлежащей только данному контуру, контурный ток должен быть равен по абсолютному значению реальному току(по знаку реальный ток может оказаться противоположным по направлению).

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются с учетом падений напряжений, создаваемых в смежных ветвях контурными токами смежных контуров.

Реальные токи в смежных ветвях определяются алгебраическим суммированием соответствующих контурных токов. Для этого необходимо задаться направлениями реальных токов (рис. 25 а) и наложить на них направления контурных токов из рисунка 25б^.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров, обходя их по направлению контурных токов, показанных на рисунке 25б.

П

(51)

ервый контур:

.

В

(52)

торой контур:

.

Т

(53)

ретий контур:

.

Решив систему из трех уравнений (51), (52), (53), получим величины контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃.

С учетом показанных направлений реальных токов на рисунке 25а и направлений контурных токов на рисунке 25б реальные токи рассчитываются следующим образом:

.

2.4. Метод узловых потенциалов

Этот метод, предложенный Максвеллом, позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до q– 1, то есть до числа независимых узлов в схеме цепи.

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:

1. один узел схемы принимается базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов (напряжений) между узлами, а не от действительных значений потенциалов;

2. для остальных q – 1 узлов составляются уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;

3. решением составленной системы уравнений определяются потенциалы q – 1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (7).

Применение этого метода эффективно при наличии значительного числа ветвей р, включенных между небольшим числом узловqэлектрической цепи.

Рассмотрим порядок расчета этим методом применительно к цепи, которая имеет два узла или может быть сведена к таковой после эквивалентных преобразований более сложной цепи. Этот метод получил самостоятельное название –метод двух узлов – и широко применяется при расчете и анализе цепей постоянного и трехфазного тока.

На рисунке 26 показана такая схема с тремя параллельными ветвями (k= 3), в каждую из которых включен источник э.д.с. и резистор. Каждая из ветвей включена между двумя узлами1и2и находится под одной и той же разностью потенциалов (напряжениемU₁₂). Применение метода узловых потенциалов для схемы с двумя узлами (рис. 26) (q– 1 = 2 – 1 =1) требует решения одного уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа, независимо от числа параллельно включенных ветвей между узлами1и2.

Примем потенциал узла 2за базисный и будем считать положительными э.д.с., действующие от узла2к узлу1. Токи ветвей примем также направленными от узла2к узлу1(на рисунке 26 они не показаны).

Запишем выражения для тока k-той ветвиI_kв соответствии собобщенным законом Ома(7а) и схемой на рисунке 4а.

(54)

где U₁₂= –U₂₁– узловое напряжение цепи (рис. 26);

Е_k– э.д.с.k-той ветви;

R_k– сопротивление резистораk-той ветви;

– проводимостьk-той ветви.

В соответствии с первым законом Кирхгофа для любого из двух узлов справедливо равенство

(55)

Переписав выражение (55) в виде

,

получим формулу для узлового напряжения цепи U₁₂:

(56)

.

Зная узловое напряжение(56), можно рассчитатьтоки в ветвях по формуле(54).

Для рассматриваемого случая n= 3 (рис. 26):

узловое напряжение

;

токи в ветвях