По данным рек-аналогов

Удлинить ряд ежегодных расходов воды в реке В по ряду многолетних наблюдений за стоком воды в реке-аналоге А.

Указания к решению задачи

При недостаточности данных гидрометрических наблюдений на реке В параметры кривой обеспеченности гидрологических характеристик стока или уровней воды необходимо привести к многолетнему периоду используя данные реки-аналога (рек-аналогов) и методы парной или множественной регрессии. При этом необходимо выполнить следующие условия:

- река-аналог или реки-аналоги должны отвечать указанным ниже требованиям;

- число совместных наблюдений на рассматриваемой реке и реках-аналогах должно быть не менее 6 лет при одном аналоге, и не менее 10 лет при двух и более аналогах;

- коэффициент корреляции между стоком в приводимом пункте и пунктах рек-аналогов должен быть не менее 0,7;

Основными требованиями, предъявляемыми к реке-аналогу, являются:

- географическая близость расположения водосборов;

- однородность условий формирования стока реки-аналога и исследуемой реки: сходство климатических условий, однотипность почв и грунтов, гидрогеологических условий, близкие степени озерности, залесенности, заболоченности и распаханности);

- отсутствие факторов, существенно искажающих естественный речной сток (регулирование стока, сбросы и изъятия воды и др.).

Мерой тесноты связи между двумя статистическими рядами служит коэффициент корреляции, определяемый по формуле:

, (5)

где Δ X_i = Х_i – X_c; Δ Y_i = Y_i – Y_c;

X_i и Y_i – соответствующие друг другу (по годам) ежегодные расходы воды с количеством членов n лет;

Х_с , Y_c – средние арифметические значения рядов, т.е. Х_с = ∑ Х_i / n; Y_c = ∑ Y_i / n.

Результаты расчета сведены в табл. 2.

Уравнение регрессии, которое предполагается использовать для удлинения ряда по данным одной реки-аналога, имеет вид:

(6)

где σ_у, σ_х – средние квадратические отклонения, определяемые по формулам:

(7)

При использовании нескольких рек-аналогов (j) удлинение гидрологического ряда производится по уравнению множественной линейной регрессии:

Y_i = K₀ + K₁ * (X₁)_i + K₂ * (X₂)_i + … + K_j * (X_j)_i,

где K₁…K_j – значения стока или уровней воды в реках-аналогах (1…j);

K₀ – свободный член;

K₁…K_j – коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициенты и свободный член этого уравнения определяют методом наименьших квадратов (МНК).

Статистическая обработка удлиненного ряда наблюдений за стоком на реке В и определение параметров кривой обеспеченности проводится в соответствии с указаниями, изложенными в задаче 1.

При использовании графического метода удлинения ряда наблюдений по данным табл. 2 строится график связи между соответствующими расходами воды. Недостающие значения расхода воды для рассматриваемой реки определяются приближенно по этому графику. При этом целесообразно построить такие графики для нескольких рек-аналогов, из которых для удлинения ряда принимают график, имеющий наибольший коэффициент корреляции. Этот метод допускается применять на начальных этапах проектирования гидротехнических сооружений.

Пример

Исходные данные:

Для выбранного варианта из прил. 1 используем два ряда параллельных наблюдений по реке А и В продолжительностью 11 лет (1992 – 2002 гг.).

1. Установлено, что река А может являться рекой-аналогом, так как отвечает требованиям, предъявляемым к рекам-аналогам, и имеет более длительный период гидрометрических наблюдений по сравнению с рекой В.

Для приведения кратковременных наблюдений на реке В к многолетнему периоду применим метод парной регрессии.

Результаты расчета параметров, необходимых для определения коэффициентов корреляции и регрессии, сведены в табл. 2.

Вычислим средние значения:

Хс = ∑Х_i / 11 = 3801 / 11 = 345,5 м³/с;

Yc = ∑ Y_i / 11 = 2245/ 11 = 204,1 м³/с.

Отклонения от средних арифметических значений будут равны:

Δ Xi = Хi – Xc; Δ Yi = Yi – Yc.

Коэффициент корреляции определим по формуле (5):

Таблица 2

Годы	Xi, м^3/с	Yi, м^3/с	ΔXi, м^3/с	ΔYi, м^3/с	ΔXi *ΔYi,	ΔXi^2	ΔYi^2
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002	374 200 346 491 472 329 302 477 245 337 228	191 124 193 281 315 173 151 308 137 203 169	28.5 -145.5 0.5 145.5 126,5 -16,5 -43,5 131,5 -100,5 -85 -117,5	-13.1 -80.1 -11.1 76.9 110,9 -31,1 -53,1 103,9 -67,1 -1,1 -35,1	-373 11655 -6 11151 13973 513 2310 13663 6744 9 4124	812 21170 0 10585 16002 272 1858 17292 10100 72 13806	172 6416 123 5914 12299 967 2820 10795 4502 1 1232
-	∑Xi = 3801	∑Yi = 2245	-	-	∑ΔXi *ΔYi =63763	∑ΔXi^2 =91969	∑ΔYi^2 =45241

Для удлинения ряда воспользуемся уравнением регрессии (6), в котором:

Таким образом, выполнено условие возможности применения метода парной регрессии для удлинения данного гидрологического ряда, т.е.: коэффициент корреляции r > 0.7.

2. Прямую связи расходов рек А и В построим по двум значениям X_i, охватывающим весь ряд наблюдений на реке А:

X₁ = 600 м³/с. Эта величина больше X_max = 576 м³/с.

Х₂ = 150 м³/с. Эта величина меньше Х_min = 185 м³/с.

Y₁ = 204,1 + 0,99 * (67,3/95,9) * (600 – 345,5) = 379,7 м³/с;

Y₂ = 204,1 + 0,99 * (67,3/95,9) * (150 – 345,5) = 69,2 м³/с.

После построения прямой связи, нанесем на график точки с соответствующими значениями X_i и Y_i (табл. 2), которые должны находиться рядом с прямой (рис. 1).

3. По уравнению регрессии (6) определим 20 недостающих расходов воды (до n = 31) в реке В для соответствующих значений расходов воды в реке А. Определенные значения расходов воды в реке В, заключенные в скобках, приводятся в отчете.

Река (В), Y_i , м³/с

Река (А), X_i , м³/с

Рис. 1. Прямая связи расходов рек А и В. (Точками показаны расходы воды за 11 лет параллельных наблюдений).