ЛР № 3

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения. Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Маятник Максвелла представляет собой (рис. 1) массивный диск 2, закрепленный на оси 3, подвешенный на бифилярном подвесе.

Рис. 1. Схема маятника Максвелла

Движение маятника (диска) Максвелла описывается следующей системой уравнений, справедливых для любого твердого тела:

		(1)
		(2)

Первое из уравнений описывает поступательное движение центра масс тела под действием приложенных к телу внешних сил, результирующая которых записана в правой части уравнения (1). Второе уравнение называется уравнением моментов и может быть записано относительно произвольного начала (как неподвижного, так и движущегося). Запись уравнения (2) относительно неподвижного начала может оказаться весьма неудобной, так как законы движения точек приложения сил, вызывающих моменты, до решения системы (1)-(2) неизвестны. Поэтому начало, относительно которого считаются моменты, удобно жестко связать с движущимся телом, то есть выбрать начало в системе отсчета, движущейся вместе с телом (с центром масс тела). Но центр масс тела движется ускоренно, вследствие чего связанная с ним система отсчета неинерциальна. Поэтому при произвольном выборе начала (жестко связанного с движущимся телом) в правой части уравнения (2) должны, появиться в качестве слагаемых моменты сил инерции (появление которых связано с движущейся системой отсчета). Однако, если в качестве начала выбрать сам центр масс тела, то суммарный момент сил инерции (относительно центра масс) обратиться в нуль. Тогда в правой части уравнения (2) под М понимается суммарный момент относительно центра масс всех внешних сил, действующих на тело, а под L в левой части  момент импульса твердого тела при его вращении относительно оси, проходящей через центр масс маятника, то есть относительно оси симметрии маятника.

Так как движение маятника Максвелла  плоское (каждая точка маятника движется в вертикальной плоскости), то второе уравнение упрощается и принимает вид

(3)

где L  проекция момента импульса, а M  проекция момента внешних сил на ось симметрии (ось вращения) маятника.

При вращении тела относительно оси, не меняющей своего направления, в частности, при вращении маятника вокруг оси симметрии, имеет место соотношение

(4)

где I  момент инерции тела относительно упомянутой оси,   угловая скорость вращения относительно этой же оси. На основании (3), (4) можно записать

		(5)
		(5а)

В последней формуле  представляет собой угловое ускорение вращающегося тела.

Так как центр масс маятника движется вдоль вертикали (поднимается или опускается), то уравнение (1) также упрощается

		(6)
		(6а)

где а  означает проекцию ускорения тела, а F  проекцию суммы внешних сил на вертикальное направление.

Таким образом, система уравнений (1)  (2) принимает вид

Решая эти уравнения, можно определить закон движения маятника. Если же ускорение маятника известно, то можно найти момент инерции маятника относительно его оси. Ось симметрии мятника, относительно которой происходит его вращение, названа нами просто осью маятника. Нахождение момента инерции маятника и является целью настоящей работы, когда по измеряемым величинам вычисляется ускорение, а после чего находится момент инерции I.

Внешними силами, действующими на маятник, является сила тяжести mg и суммарная сила натяжения нитей Т (рис. 2).

Рис. 2. Силы, действующие на маятник Максвелла

Принимая за положительное направление вертикали направление вниз, можно переписать уравнение (6) в виде:

(7)

Относительно оси маятника отличным от нуля моментом обладает только сила натяжения нити

(8)

где R  половина внешнего диаметра d оси маятника – стержня, на который наматывается нить (толщиной намотанной нити пренебрегаем). С учетом (8) уравнение (5) принимает вид

(9)

В отсутствие проскальзывания нити, cвязь между угловым ускорением  маятника и ускорением a его центра масс имеет вид:

(10)

Исключая T и  из уравнений (7), (9), (10), можно получить

(11)

Так как движение маятника вниз  равноускоренное, то

(12)

где h – первоначальная высота подъема маятника, а t – время опускания (падения) маятника Максвелла. Подстановка (12) в (11) позволяет получить окончательную расчётную  формулу

(13)

 

Кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна:

где v – скорость центра масс, I – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Пренебрегая силами сопротивления, можно было бы получить нашу расчётную формулу (13) и с помощью закона сохранения механической энергии, приравнивая механические энергии маятника в начальном и конечном положениях, например, для движения вниз

и, учитывая, что в отсутствие проскальзывания нити, линейная скорость движения связана с  угловой скоростью известной формулой

а также то, что для равноускоренного движения маятника вниз высота h связана с конечной скоростью v формулой

.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Как уже было отмечено, маятник Максвелла представляет собой (рис. 2) достаточно массивный диск 2, закрепленный на оси 3, подвешенный на бифилярном подвесе 4, который закреплен на вертикальной стойке 5. Изменяя массу диска, можно изменять момент инерции системы.

Стойка покоится на массивном основании 1.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Отметьте высоту первоначального подъёма маятника  она в данной работе постоянна и равнаh=0.4 м. Цена деления линейки при определении высоты равнялась 1 см=0.01 м. Обратите внимание на необходимость записывать данные в системе СИ, то есть, в метрах. Внесите это значение в таблицу измерений.

 

2. Диаметр стержня – оси маятника в данной работе был измерен штангенциркулем с приборной погрешностью d=0.0001 м. Запишите в таблицу 1 диаметр стержня d_C=0.01 м и погрешность в его определении d=0.0001 м. Эти значения постоянны во всех опытах.

3. Выберите значение массы маятника m. Выбор производится мышью с помощью нажатия ей на кнопки со значками «+» или «-». Оптимальным для выбора является значение массы от 3 до 15 кг. Запишите в таблицу 1 выбранную массу маятника m.

В данной работе считается, что масса сравнительно тонкого стержня – оси маятника – много меньше массы диска. Также принято , что масса всего маятника m включает массу диска и массу стержня, то есть взвешивание проводилось всего тела – маятника. Учтите, что масса маятника в данной работе определена при взвешивании тела на весах с точностью m=0.01 кг.

 

4. Нажмите мышкой кнопку «СТАРТ». Маятник начнёт опускаться вниз. Следите за его движением вниз. При достижении маятником нижнего крайнего положения нажмите мышкой кнопку «СТОП».

После остановки маятника запишите в таблицу 1 для массы m₁ время t₁ равноускоренного движения тела, измеренное секундомером и показанное в секундах на табло над появившейся кнопкой «СБРОС». Время необходимо записывать в системе СИ, то есть в секундах. Приборная погрешность секундомера составляет 0.001 с.

5. Нажмите кнопку «СБРОС».

6. Повторите пункты 4 – 6 ещё четыре раза, записывая каждый раз в таблицу 1 результаты измерения времени t₁.

 

7. Выберите, как в пункте 3, другое значение массы маятника m₂, отличающееся от первого значенияm₁ не менее, чем на 6 кг. Запишите в таблицу измерений 2 выбранное значение массы m₂.

 

8. Повторите измерения п. 4 – 6 для выбранного значения массы m₂. Запишите пять полученных значений времени t₂ движения маятника массой m₂ в таблицу результатов 2.

9. Переходим к расчётам. Расчёты производятся для каждой из масс m₁ и m₂ по отдельности, и для каждой массы заполняется своя таблица расчётов. Последующие пункты 10  18 должны быть проделаны для каждой массы  по отдельности.

10. Вычислите среднее значение времени <t>.

11. Найдите отклонения каждого из пяти измерений t₁ от среднего значения времени <t>.

12. Возведите в квадрат каждое отклонение и просуммируйте квадраты отклонений.

13. Рассчитайте среднее квадратичное отклонение , применив для его расчёта  формулу для выборочной оценки S(<t>) стандартного отклонения результата измерения по формуле из теории погрешностей

Буквой n обозначено число измерений, в нашем случае n=5.

 

14. Умножив вычисленное значение среднего квадратичного отклонения на коэффициент Стьюдента, найдём полуширину доверительного интервала в определении времени:

где t_P() – коэффициент Стьюдента, соответствующий вероятности Р и числу степеней свободы = n-1. Для n=5 измерений при рекомендуемой доверительной вероятности P=0.9 из таблицы коэффициентов Стьюдента находим t_0.9(5-1)=2.13.

15. Приборная погрешность в определении времени в нашем случае значительно меньше случайной, поэтому приборная погрешность в определении времени в данном случае не учитывается.

Тогда результат измерения времени t запишем в виде:

16. Произведите расчет относительной погрешности в определении времени E_t (в процентах) по формуле

17. Вычислите момент инерции маятника по формуле

(13а)

18. Рассчитайте относительную E_I и абсолютную I погрешности соответственно по формулам

(14)

(15)

19. Оформите отчёт по работе.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

На рис.3 представлена реальная лабораторная установка, используемая для выполнения данной работы.

ВИДЕО

Рис.3. Лабораторная установка "Маятник Максвелла"

После ознакомления с принципом работы установки необходимо проделать работу на виртуальной лабораторной установке:

РЕКОМЕНДАЦИИ по оформлению отчета по лабораторным работам (физика)

1. Отчет оформляют в электронном виде в редакторе Word

2. Объем отчета составляет 2-3 страницы.

3. В отчете необходимо указать:

3.1 Фамилию, имя, отчество студента;

3.2 Номер группы;

3.3 Дисциплину;

3.4 Фамилию, имя, отчество преподавателя;

4. Рекомендуемая структура отчета:

          4.1 Название работы;

          4.2 Цель работы;

          4.3 Таблицы измерений и таблицы расчетов, сохраненные в виде отдельного файла.

          4.5 Формулы и законы, используемые для расчетов;

          4.6 Результаты расчетов, не вошедшие в таблицу расчётов;

          4.7 Выводы, которые можно сделать из работы.