Lab Bernulli

Уравнение Даниила Бернулли

Цель работы — познакомиться с энергетическим и геометрическим смыслом уравнения Бернулли.

Теоретическое введение

Уравнение Бернулли представляет собой гидравлическую форму записи закона сохранения и превращения энергии. Для двух сечений в потоке реальной (вязкой) несжимаемой жидкости оно имеет вид

z1

+

p1

+

1v12

= z2

+

p2

+

2v22

+ hw:

(1)

2g

2g

Здесь z — высота расположения любой точки рассматриваемого живого сечения в потоке жидкости над некоторой плоскостью, называемой плоскостью сравнения;

p — гидродинамическое давление в той же точке живого сечения;

— вес единицы объёма жидкости;

— корректив кинетической энергии, учитывающий неравномерность распре-

деления скоростей в рассматриваемом живом сечении потока;

v — средняя скорость движения жидкости в рассматриваемом живом сечении; g — ускорение свободного падения.

Левая часть уравнения Бернулли представляет собой полный напор жидкости в живом сечении 1 (номер сечения указан индексами членов уравнения).

Напор — это важнейшее понятие гидравлики! Напором называют удельную механическую энергию, отнесённую к единице веса жидкости.

Единица измерения напора — метр1, и это очень удобно для графического пояснения уравнения. Однако, если говорить об энергетическом смысле уравнения, то

можно предложить равенство	:	(2)
1[ì] = 1 Í
Äæ
Напор обозначается H, поэтому уравнение Бернулли можно записать упрощённо
H1 = H2 + hw		(3)

1Более точно можно сказать, что единица измерения напора — это метр столба той жидкости, для которой записано уравнение.

1

В соответствии с законом сохранения и превращения энергии H2 < H1, так как жидкость теряет часть своей энергии при движении2. Очевидно, что hw в уравнении Бернулли представляет собой потерю удельной энергии жидкости на пути между двумя рассматриваемыми живыми сечениями потока. А поскольку удельная энергия — это напор, hw называется потерей напора. Рис. 1 даёт наглядное представление об этой величине.

Важно понять смысл членов уравнения, из которых складывается напор.

z — это запас энергии, который возникает из-за поднятия жидкости на некоторую высоту3. Эта энергия относится к потенциальной.

p — это часть энергии, которую жидкость получает от давления в ней4. Эта энергия также относится к потенциальной.

v2

2g — это удельная кинетическая энергия. Совершенно очевидно, что движу-

щаяся жидкость обладает этой энергией и это проявится при любой попытке изменить её скорость5.

Рис. 1: Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

2Энергия обычно переходит в тепло. Иногда энергия жидкости расходуется на приведение в движение различных тел или механизмов, например, турбин гидроэлектростанций.

3Например, из бака водонапорной башни вода самотёком может течь по трубе в любую точку, находящуюся ниже уровня воды в баке.

4Очевидно, что высота фонтана зависит от давления воды перед выходом в атмосферу. То есть дополнительное давление в жидкости позволяет ей не только течь вниз, но и подниматься выше начального уровня.

5Например, быстрое закрытие задвижки в водопроводе приводит к большому повышению давления в трубе. Это объясняется переходом кинетической энергии каждой частицы остановленной жидкости из кинетической в потенциальную.

2

При записи уравнения Бернулли для сечений выбирается один горизонтальный уровень, от которого отмеряется высота z (см. рис. 1. Этот уровень называется плоскостью сравнения (сравниваются напоры в сечениях).

В сущности, напор приближённо равен максимальной высоте, на которую вода может подняться из данного живого сечении относительно плоскости сравнения О– О (см. рис. 1).

На рис.1 показано, как следует представлять члены уравнения графически. Все три составляющих напора последовательно откладываются вверх от плоскости сравнения О–О. При этом z называют геометрической (или геодезической) высотой,

	p	— пьезометрической высотой,	v2	— скоростной высотой.
			2g

На рис.1 в сечениях 1–1 и 2–2 показаны вертикальные пьезометры6. Вода в

пьезометрах поднимается до уровня z + p . По уровням воды в пьезометрах на рис.1 построена линия P –P , которая называется пьезометрической линией. Пьезометрическая линия может на некоторых участках повышаться, если скорость потока быстро уменьшается и энергия частично переходит из кинетической в потенциальную. Уклон пьезометрической линии называется пьезометрическим уклоном. При понижении линии пьезометрический уклон положителен.

Выше пьезометрической линии P –P на рис.1 построена так называемая напорная линия H–H. Напорная линия строится по значениям полного напора z + p + 2vg2 . Напорная линия понижается всегда, кроме случаев, когда вода на участке между сечениями получает механическую энергию извне (например, от насоса). Уклон напорной линии называется гидравлическим уклоном. Гидравлический уклон также считается положительным при понижении линии (поэтому он всегда положителен).

Выполнение лабораторной работы

При выполнении лабораторной работы заполняется таблица 1 (см. стр. 4).

Исходные данные и величины, которые измеряются на лабораторной установке

диаметры живых сечений — di (см);

длины участков между сечениями li (i+1) (см);

пьезометрические высоты в сечениях 1–9 — значения hp = pi (см);

объём жидкости, прошедшей через расходомер — W (ñì3);

время прохождения объёма W — t (с);

6Пьезометр — это открытая в атмосферу трубка. В лаборатории это стеклянные трубки, подключенные к каждому сечению с помощью резиновых шлангов

3

значения zi для всех девяти рассматриваемых сечений лабораторной установки принимаются равными нулю, поскольку все сечения расположены на одной горизонтальной плоскости;

коэффициенты i для тех же девяти сечений принимаются равными 1,1 (поскольку режим движения воды в трубе турбулентный).

Таблица 1: Параметры потока в трубопроводе переменного сечения

	Номера сечений	d	!	v	p	v2	H	hw	i	I	l
						2g
		см	ñì2	см/с	см	см	см	см	—	—	см
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9

Расчётные формулы и обработка результатов

Расчёт площади внутреннего поперечного сечения трубы (живого сечения потока).

		d2
	!i =	i	:	(4)
		4

Здесь d — внутренний диаметр трубы. Расчёт расхода7 жидкости.

	Q =	W	:	(5)
		t

7Расходом называется объём жидкости, проходящий через живое сечение за единицу времени

4

Расчёт средней скорости движения воды в живых сечениях.

Q vi = !i :

Расчёт скоростных высот в живых сечениях.

hvi = vi2 :

2g

Расчёт напоров в живых сечениях.

(6)

(7)

Hi = hp + hvi :			(8)
Расчёт потерь напора.
hwi (i+1) = Hi Hi+1:			(9)
Расчёт уклонов напорной линии на участках (гидравлических уклонов).
hwi (i+1)			(10)
i =
	li (i+1)

Расчёт уклонов пьезометрической линии на участках (пьезометрических укло-

нов).

	zi + pi zi+1 +	pi+1
I =				(11)
	li (i+1)

После заполнения таблицы 1 на миллиметровой бумаге вычерчивается схема трубопровода. На этой схеме чёрным цветом наносится пьезометрическая линия, красным — напорная линия.

5