Контрольная подстановка полученных значений z в исходные уравнения показала правильность их вычислений (с учетом необходимых округлений промежуточных результатов).

§ 152. Коррелатный способ уравнивания

Приведенная выше система уравнений (16.8) имеет нелинейный вид. В математике не существует способов решения таких систем нелинейных уравнений. В связи с этим данную систему уравнений раскладывают в ряд Тейлора, ограничиваясь только первыми членами разложения с учетом того, что значения поправок vi достаточно малы (на основании выдержанных при измерениях допусков по точности), и вторые их степени будут весьма малыми, так что ими можно будет пренебречь. В результате уравнения (16.8) преобразуются к виду:

æ

¶ ϕ 1

ö

æ

¶ ϕ 1

ö

æ

¶ ϕ 1

ö

ϕ 1

(х , х

2

,..., х

n

)

ç

v

+

ç

v

2

+

...

+

ç

v

n =

0

¶ x

¶ x

¶ x

1

+ ç

1

ç

ç

è

1

ø

0

è

2

ø

0

è

n

ø 0

æ

¶ ϕ 2

ö

æ

¶ ϕ 2

ö

æ

¶ ϕ 2

ö

ϕ

2

(х , х

2

,..., х

n

) +

ç

v +

ç

v

2

+ ... +

ç

v

n

= 0

(16.80)

¶ x

¶ x

¶ x

1

ç

1

ç

ç

è

1

ø

0

è

2

ø

0

è

n

ø

0

……………………………………………………..

æ

¶ ϕ r

ö

æ

¶ ϕ r

ö

æ

¶ ϕ r

ö

ϕ r

(х , х

2

,..., х

n

)

+

ç

v

+

ç

v

2

+

...

+

ç

v

n =

0

1

ç

¶ x1

1

ç

¶ x2

ç

¶ xn

Введем обозначения:

è

ø

0

è

ø

0

è

ø 0

æ

¶ ϕ j

ö

ç

=

a

ij

(i = 1, 2,

…, n;

j = 1, 2,

…, r) ,

(16.81)

ç

¶ xi

è

ø

0

где i – номер измеренной величины (х); j – номер условного уравнения (или функции φ).

С учетом введенных обозначений получим:
а11v1 + a21v2 + … + an1vn + W1 = 0
а12v1 + a22v2 + … + an2vn + W2 = 0	(16.82)
……………………………………
а1rv1 + a2rv2 + … + anrvn + Wr = 0
В обозначениях гауссовых сумм:
[a1v] + W1 = 0
[a2v] + W2 = 0	(16.83)
………………

[arv] + Wr = 0

Равенства (16.82) и (16.83) называются условными уравнениями поправок.

Следует иметь в виду, что формулы (16.81) не используются, если известно, что система уравнений (16.8) имеет линейный вид, т.е. коэффициенты aij известны.

Для решения задачи уравнивания способом Лагранжа необходимо составить следующую функцию:

409

Ф = [ pv2 ] + λ 1ϕ 1 + λ 2ϕ 2

+ ... + λ rϕ r

=

min

,

(16.84)

где λ j - неопределенные множители Лагранжа.

Обозначим: λ 1 =

− 2k1 ;λ 2

=

− 2k2 ;...; λ r

=

− 2kr , где

k j

-

коррелаты. Тогда

функцию (16.84) можно записать со значениями коррелат:

Ф(v ,..., v

n

) = [ pv 2

] − 2k

([a v] + W ) − 2k

2

([a

2

v] + W

2

) − ... − 2k

r

([a

v] + W

) = min

1

1

1

1

r

r

(16.85) Для определения поправок vi , при которых функция (16.85) достигает минимума, найдем частные производные по аргументам vi и приравняем их

нулю:

∂ Ф

=

2 p v

− 2(a

k

1

+ a

k

2

+ ... + a

k

r

) = 0

∂ v1

1 1

11

12

1r

∂ Ф

= 2 p2 v2

− 2(a21 k1 + a22 k2

+ ... + a2к kr ) = 0

(16.86)

∂ v2

………………………………………..

∂ Ф

=

2 pn vn − 2(an1k1 + an2 k2 + ... + anr kr ) =

0

∂ vn

Из полученной системы уравнений следует, что

vi =

ai1k1 + ai 2 k2 + ...air kr

(i= 1, 2, …, n)

(16.87)

или

pi

vi

= qi ai1k1 + qi ai 2 k2 + ... + qi air kr

,

(16.88)

1

где

qi =

- обратный вес измерения с индексом i.

pi

Уравнения (16.87) и (16.88) называют коррелатными уравнениями поправок.

Число коррелат всегда равно числу условий. В результате образуется система коррелатных уравнений поправок vi, содержащая n неизвестных поправок vi и r неизвестных коррелат kj, состоящая из n линейных уравнений.

Опуская промежуточные, хотя и важные преобразования (вывод можно посмотреть в [3, 8, 9, 40, и др.]), основанные на методе наименьших квадратов, приведем т.н. нормальные уравнения коррелат, в которых число неизвестных равно числу уравнений:

[qa1a1 ]k1 + [qa1a2 ]k2 + ... + [qa1ar ]kr + W1	= 0
[qa2 a1 ]k1 + [qa 2 a2 ]k2 + ... + [qa2 ar ]kr + W2 =	0	(16.89)
[qa 3 a1 ]k1 + [qa 3 a2 ]k2 + ... + [qa 3 ar ]kr + W3	= 0
…………………………………………
[qa j a1 ]k1 + [qa j a2 ]k2 + ... + [qa j ar ]kr + W j	= 0
………………………………………….
[qar a1 ]k1 + [qar a2 ]k2 + ... + [qar ar ]kr + Wr	=	0

В уравнениях (16.89) неизвестными являются коррелаты ki , а свободными членами – свободные члены уравнений поправок (16.82) и (16.83).

Как видно, при каждом параметре (неизвестном) ki в уравнениях (16.89) стоит коэффициент в виде гауссовой суммы. Представим указанные коэффициенты в развернутом виде с помощью таблицы коэффициентов уравнений поправок (табл. 16.5).

410

Развернутый вид коэффициентов [qa1a1 ], [qa1a2 ],..., [qa r ar ] , в которых индекс при коэффициентах а – это второй индекс коэффициентов условных уравнений поправок:

								Таблица 16.5
	i	1	2	3	…	i	…	n
	j
		a11	a21	a31	…	ai1	…	an1
	1
	2	a12	a22	a32	…	ai2	…	an2
	3	a13	a23	a33	…	ai3	…	an3
	…	…	…	…	…	…	…	…
	j	a1j	a2j	a3j	…	ajj	…	anj
	…	…	…	…	…	…	…	…
	r	a1r	a2r	a3r	…	ajr	…	anr
	qi	q1	q2	q3	…	qi	…	qn

[qa1a1 ] = b11	= q1a11 a11	+ q2 a21 a21	+ q3 a31 a31	+ ... + qn an1an1
[qa1a2 ] = b12	= q1a11 a12	+ q2 a21 a22	+ q3 a31 a32	+ ... + qn an1an2
[qa1a3 ] = b13	= q1a11 a13	+ q2 a21 a23	+ q3 a31 a33	+ ... + qn an1an3
………………………………………………					(16.90)

[qa 2 a1 ] = b21 = q1a12 a11		+ q2 a22 a21	+ q3 a32 a31	+ ...	+ qn an2
[qa 2 a2 ] = b22	= q1a12 a12	+ q2 a22 a22	+ q3 a32 a32	+ ...	+ qn an 2
[qa 2 a3 ] = b23	= q1a12 a13	+ q2 a22 a23	+ q3 a32 a33	+ ...	+ qn an2

a a a

n1

n2 n3

………………………………………………

[qa r ar ] = brr = q1a1r a1r + q2 a2r a2r + q3 a3r a3r + ... + qn anr anr

Рассмотрим подробнее принцип вычисления коэффициентов bjj при коррелатах kj в нормальных уравнениях коррелат.

1-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов первой строки матрицы.

Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и r-й строк матрицы.

2-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 1-й строк матрицы.

411

Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 2-й строки матрицы.

Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и r-й строк матрицы.

3-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 3-й строки матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и r-й строк матрицы.

…………………………………………………………………………………

j-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j -й и 2-й строк матрицы.

Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов j-й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов j-й строки матрицы.

Коэффициент при kj+1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j –й и ( j+1)-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и r-й строк матрицы.

r-е уравнение коррелат.

Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r -й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r -й и 2-й строк матрицы.

412

Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r –й и 3-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и j-й строк матрицы и т.д.

………………………………………………………………………………….

Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов r-й строки матрицы.

Таким образом получают уравнения коррелат вида:

b11k1 + b12k2 + b13k3 + …+ b1jkj + …+ b1rkr + W1 = 0

b21k1 + b22k2 + b23k3 + …+ b2jkj + …+ b2rkr + W2 = 0

b31k1 + b32k2 + b33k3 + …+ b3jkj + …+ b3rkr + W3 = 0

………………………………………………………. (16.91)

bj1k1 + bj2k2 + bj3k3 + …+ bjjkj + …+ bjrkr + Wj = 0

……………………………………………………….

br1k1 + br2k2 + br3k3 + …+ brjkj + …+ brrkr + Wr = 0

Можно заметить, что коэффициенты b с обратными индексами равны между собой, т.е. b12 = b21, b35 = b53 и т.п. Т.н. диагональные коэффициенты bjj представляют собой сумму произведений обратных весов и квадратов коэффициентов а j–й строки, т.е. они всегда положительные. Коэффициенты b с обратными индексами располагаются с разных сторон от диагональной строки. В связи с этим достаточно вычислить диагональные коэффициенты и все коэффициенты, стоящие справа от диагонали. А далее дополнить уравнения недостающими коэффициентами b, записав их такими же, как и коэффициенты с обратными им индексами.

Решение систем линейных уравнений (16.91) выполняется различными способами, рассмотренными в § 151, но все они, как можно было убедиться из приведенных примеров, весьма громоздкие и требуют значительных затрат времени.

Полученные из решения уравнений (16.91) коррелаты kj используются для вычисления поправок vi по формулам (16.87) или (16.88). После введения поправок в измеренные величины получают уравненные значения измеренных величин (16.7).

При оперировании численными значениями коэффициентов условных уравнений, коррелат, весов (обратных весов) и т.п. необходимо иметь ввиду следующее:

-значения весов и обратных им величин вычислять до 0,01-0,001 единиц;

-значения коэффициентов a, b и коррелат k вычислять до 0,001-0,0001 единиц;

-чаще всего невязки W при обработке плановых построений выражают в дециметрах, в высотных сетях – в миллиметрах, угловые невязки и поправки выражают в секундах, десятых и сотых долях секунды.

Суммируя сказанное выше, приведем последовательность решения задачи уравнивания коррелатным способом.

413

Шаг 1. Для данного геодезического построения в системе n результатов xi , имеющих веса pi, определяют число k независимых и число r избыточных измерений.

Шаг 2. Составляют математические соотношения (условные уравнения) вида (16.5) с учетом следующих основных требований:

-все условные уравнения должны быть независимыми, т.е. ни одно из них не должно быть следствием другого (других);

-число уравнений должно быть равно числу избыточных измерений r;

-условные уравнения должны иметь возможно простой вид.

Шаг 3. Условные уравнения приводят к линейному виду, для чего выполняют их дифференцирование и находят коэффициенты aij (16.81) как частные производные функций φj по аргументам xi .

Находят свободные члены Wj уравнений, т.е. невязки в полученных уравнениях после подстановки в них измеренных значений xi.

Составляют таблицу (матрицу) коэффициентов aij и обратных весов qi (табл. 16.5).

Шаг 4. Находят коэффициенты bjj (16.90) нормальных уравнений коррелат (16.91) по алгоритму, изложенному выше, и решают полученную систему линейных уравнений.

После получения значений коррелат kj из решения уравнений обязательно необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения коррелат подставляют в исходные уравнения (16.91) и проверяют выполнение условия. Незначительные отступления от условия уравнения допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.

Шаг 5. Составляют, пользуясь табл. 16.5, условные уравнения поправок νi (16.82), (16.87) ( или (16.88). Для значений поправок, например, получим:

ν1 = q1(a11k1 + a12k2 + …+ a1jkj +…+ a1rkr) ν2 = q2(a21k1 + a22k2 + …+ a2jkj +…+ a2rkr) ν3 = q3(a31k1 + a32k2 + …+ a3jkj +…+ a3rkr)

…………………………………………..	(16.92)
νn = qn(an1k1 + an2k2 + …+ anjkj +…+ anrkr)

Вычисляют поправки к измеренным величинам.

После вычисления поправок необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения поправок следует подставить в условные уравнения поправок (16.82) и проверить выполнение указанного условия. Незначительные отклонения от указанного условия допускаются, они возникают изза округления результатов вычислений.

Шаг 6. Вычисляют уравненные значения xi' (16.7).

Контроль уравнивания осуществляют подстановкой xi' в условные уравнения (16.9). При правильном решении задачи все условные уравнения должны иметь указанное решение. Допускаются незначительные отклонения от указанных условий, они возникают из-за округления результатов вычислений.

После выполнения контроля значения xi' округляют с необходимой точностью и вычисляют искомые величины (координаты, высоты и т.п.).

414