makry_zachet

1

1. Уравнения Максвелла в веществе. Усреднение микроскопических уравнений по бесконечно малому объему. Соотношения связи. Условия на границе раздела сред. Плотность и поток энергии электромагнитного поля.

Усреднение уравнений Максвелла

div h = 0 div e = 4πρ

e−напряженность электростатического поля, h−магнитного, ρ−микроскопическая плотность заряда. Следствие - уравнение непрерывности:

∂ρ

∂t + div j = 0

ρ = ∑eia δ(r − ra − ξia )

a,i

j = ∑eiaξia˙ δ(r − ra − ξia )

a,i

E = e

B = h

Усреднение по бесконечно малому объему - переход к макроскопическому описанию путем усреднения положений атомов. Чтобы тело после усреднение представляло собой сплошную среду, размеры облти усреднения должны быть велики по сравнению с межатомным расстоянием. Но при этом они должны быть малы по сравнению с с расстоянием на кот. меняются макроскопические величины

Свободными называют такие заряды, которые могут перемещаться в теле на макроскопические расстояния.

Cвязные заряды локализованы около некоторых центров. ( например эл. внутренних оболочек или ядра атомов)

Применяем усреднение к уравнениям Максвелла, получаем уравнения в среде. Вычислим

ρ , j . предполагаем что r − ra ξai и раскладываем по ξai (для диэлектриков, ρсвоб = 0, ρ = ρсвяз)

ρ = ∑eia δ(r − ra) + ∑eia(−ξia )δ(r − ra) + ... = 0(электронейтральност

P — плотность дипольного момента

j = ∑eiaξia˙ δ(r − ra − ξia ) = ∑eiaξia˙ δ(r − ra) + ∑eiaξia˙ (−ξia )δ(r −

a,i a,i a,i

ξia˙ (ξia ) = 12ξia˙ (ξia ) + 12ξia˙ (ξia ) = 12ξia˙ (ξia ) + 12 dtd (ξia (ξia )) − 12ξia (ξia˙ )

Если подставить 12 dtd (ξia (ξia )) в выражение сверху мы получим произведение заряда на

квадратичную форму по величинам ξia . И если умножить его на 3 вычесть из него δij ξa2 то получится плотность квадрупольного момента (величина 2 порядка малости), поэтому пренебрегаем.

div B = 0

div D = 4πρ

Если есть сторонние заряды, то они дают аддитивный вклад в плотность заряда и тока

Уравнение непрерывности

Разложение индукций

Нам необходима связь между вектором электрической индукции и вектором электрического поля, между вектором магнитной индукции и магнитного поля. Тогда мы получим замкнутую систему для вычисления этих векторов. Соотношения связи. Предположим что наши поля малы по сравнению с молекулярными и атомарными полями. Поэтому мы можем разложить в ряд векторы электрической и магнитной индукции по напряженностям:

(D)i = (E)i + 4π(P)i

(P)i = (P0)i + ϰik(E)k + ....

Если (P0)i = 0, то пироэлектрик. ϰik − диэлектрическая восприимчивость

(D)i = (P0)i + εik (E)k ; εik = δik + 4πϰik (D0)i

Аналогично

(B)i = (H)i + 4π(M)i

(M)i = (M0)i + χik (H)k + ....

Если (M0)i = 0, то ферромагнетик. χik − магнитная восприимчивость

(B)i = (M0)i + μik (H)k ; μik = δik + 4πχik

В общем случае в выражении (B)i мог бы быть член с (E)i(аналогично с D), но их нет как следствие опытных данных. Поэтому ур. Максвелла можно рассматривать как замкнутую систему которая позволяет нам найти векторы электрической и магнитной индукции.

Граничные условия

дельта - толщина переходного слоя, мала по сравнению со всеми характерными размерами

1 ∂B rot E = − c ∂t

Проинтегрируем это уравнение по контуру на картинке. Интеграл по df можно проинтегрировать при помощи теоремы о среднем, т.к. δ, l много меньше длин, на которых существенно изменяются поля, т.е. инт-л будет lδ

∫ rot Edf = −1c ∂∂t ∫ Bdf; Bdf → 0(δ → 0)

При предельном переходе δ → 0 направление I совпадает с направлением одной из касательных к поверхности раздела. То есть тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна на границе сред.

Для магнитного:

∫ rot Hdf = 4cπ ∫ jdf + 1c ∂∂t ∫ Ddf; Ddf → 0(δ → 0)

Предположим что существует поверхностный ток при δ → 0; dJ = idl (объемный стремится к нулю)

(H2 − H1) ll = 4cπ im; ll = [m × n] (H2 − H1)[m × n] = 4π im

c m [n, H2 − H1] = 4cπ im

[n, H2 − H1] = 4cπ i

div B = 0; δ → 0

∫ dV div B = dfB = (B2 − B1)nf = 0 (B2 − B1)n s = 0

div D = 4πρ; δ → 0

∫ dV div D = dfD = (D2 − D1)nf = 4π ∫ ρdV = 4πσf (D2 − D1)n s = 4πσ

Закон сохранения плотности и потока энергии

Будем рассматривать ситуацию когда справедливы связи

(B)i = μik (H)k ; (D)i = εik (E)k . Мы опираемся на эти равентсва и предполагаем что поля меняются во времени не очень быстро.

минус т.к. часть энергии расходуется на перемещения заряда. Т.е. нет сохранения энергии. W− энергия ЭМ поля. , S - плотность потока энергии ЭМ поля. Вектор Пойнтинга

Sn = c [E × H] n −E [n × H]

4π

Т.е. если Н не испытывает скачок на поверхности раздела(нет поверхностных токов), то нормальная компонента плотности потока энергии непрерывна. Тангенциальные компоненты полей и так непрерывны. Тогда вектор плотности потока энергии непрерывен на поверхности раздела.

2. Электростатика проводников.

Граничные условия. Связь зарядов с потенциалами. Три постановки задачи. Энергия электростатического поля заряженных проводников. Внутренняя энергия заряженных проводников и проводников во внешнем поле.

Граничные условия

дельта - толщина переходного слоя, мала по сравнению со всеми характерными размерами

1 ∂B rot E = − c ∂t

Проинтегрируем это уравнение по контуру на картинке. Интеграл по df можно проинтегрировать при помощи теоремы о среднем, т.к. δ, l много меньше длин, на которых существенно изменяются поля, т.е. инт-л будет lδ

∫ rot Edf = −1c ∂∂t ∫ Bdf; Bdf → 0(δ → 0)

При предельном переходе δ → 0 направление I совпадает с направлением одной из касательных к поверхности раздела. То есть тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна на границе сред.

Для магнитного:

∫ rot Hdf = 4cπ ∫ jdf + 1c ∂∂t ∫ Ddf; Ddf → 0(δ → 0)

Предположим что существует поверхностный ток при δ → 0; dJ = idl (объемный стремится к нулю)

(H2 − H1) ll = 4cπ im; ll = [m × n] (H2 − H1) [m × n] = 4π im

c m [n, H2 − H1] = 4cπ im

[n, H2 − H1] = 4cπ i

Граничные условия(нормальные)

div B = 0; δ → 0

∫ dV div B = dfB = (B2 − B1) nf = 0 (B2 − B1)n s = 0

div D = 4πρ; δ → 0

∫ dV div D = dfD = (D2 − D1) nf = 4π ∫ ρdV = 4πσf (D2 − D1) n s = 4πσ

Классификация материалов

Электростатика проводников

Появляется дополнительное уравнение связи ji = σikEk ;σik−тензор проводимости (закон Ома)

Когда есть значительное количество примесей (почти всегда) действует этот закон.

Будем предполагать что электрическое поле от времени не зависит (электростатика)

Электрическое поле внутри проводника должно отсутствовать. Если бы оно было. то возникал бы ток приводящий к диссипации (перестройке) зарядов таким образом чтобы ток не возникал.

Eвн = 0;ρвн = 0. Т.к. Eτ на поверхности непрерывна то поле может быть направлено только по нормали к поверхности.

rotE = 0; divE = 0. Введем потенциал E = − φ φ = 0 (ур. Лапласа)

эквипотенциальной поверхностью. Получаем

φ = 0; φ s = φ0

φ− скалярный пот, потенциальная энергия единичного точечного заряда в эл.поле.

Как распределены заряды по поверхности?

σ−плотность поверхностных зарядов проводника, e−полный заряд проводника

Cab

заряд проводника а зависит от φa который в свою очередь зависит от совокупности всех потенциалов в системе ea = ∑b Cabφb; φa = ∑b Cab+ eb. Caa > 0 − коэффициент емкости, Cab < 0− коэфф. индукции

Теорема взаимности вывод

{φa} порождают {ea} {φ′a} порождают {e′a} Рассмотрим выражение

∫ dV EE′ = − ∫ dV φE′ = − ∫ dV [div (φE′) − φdivE′] =

Интеграл по бесконечно удаленной поверхности. Там нет потенциала. Заряда между проводниками нет поэтому 2 слагаемого не будет.

= − ∑ dfaφE′ = − ∑φa dfaE′ = nE′ < 0 = ∑φa ∫ dV divE′ = 4π ∑φae

a a a a

То же самое наоборот, тогда ∑a φae′a = ∑a φ′aea, a.k.a. соотношение взаимности ea = ∑b Cabφb отличен от 0 только b0 : ea = Cab0 φb0 ; e′a = Cab1 φ′b1 .

∑φa ∑Cabφ′b = ∑φ′a ∑Cabφb,

Тогда ∑a φae′a = φb0 e′b0 = ∑a φ′aea = φ′b1 eb1

φb0 Cb0b1 φ′b1 = φ′b1 Cb1b0 φb0 Cb0b1 = Cb1b0

То есть матрица Cab является симметричной. Иными словами, электростатическое воздействие a-го проводника на b-ый такое же, как воздействие b-го на a-й.

e′a = ∑b Cabφ′b → ea = ∑b Cab−1φb находим Cab−1,Cab, и по заданным зарядам ea определяем φa = ∑b Cab−1eb , для нахождения φ(r) - решаем задачу в первой постаноке

3.Незаряженный проводник (если заряженный то можно свести к незаряженному) помещен в электрическое поле.

Решаем уравнение Лапласа

ψ− поле зарядов на поверхности проводника.