10. Методы нахождения частных решений неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

В общем случае задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (9.1) является сложной. Можно получить решение методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (9.2).

.

(10.1)

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в форме (10.1), рассматривая С₁ иС₂как некоторые искомые функции отх:

.

(10.2)

Продифференцируем это равенство

.

(10.3)

Подберем искомые функции С₁(х) иС₂(х) так, чтобы выполнялось равенство

.

(10.4)

С учетом этого дополнительного условия первая производная принимает вид

.

Дифференцируя это равенство, найдем :

.

Подставляя и в уравнение (9.1) и группируя слагаемые, получаем

Выражения, стоящие в скобках, равны нулю, так как и- решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство принимает вид

.

(10.5)

Таким образом, функция (10.2) является решением уравнения (9.1), если функции С₁(х) иС₂(х) удовлетворяют системе уравнений (10.4) и (10.5):

(10.6)

.

Эта система имеет единственное решение относительно и ,так как ее определителем является определитель Вронского для линейно независимых решений иоднородного уравнения (9.2). Согласно теореме о структуре общего решения этого уравнения, он не равен нулю. Решая систему (10.6), находим

и как определенные функции отх:

,.

Интегрируя, найдем и :

, ,

где и− постоянные интегрирования. Подставляя полученные выражения для и в равенство (10.2), получаем искомое частное решение уравнения (9.1) (при).

Пример 1. Найти частное решение уравнения.

 Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется выражением

.

Поэтому частное решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде (варьируем С₁ и С₂ )

.

Система (10.6) для нахождения и в данном случае записывается так:

.

Отсюда

; .

В результате интегрирования получаем

.

Подставляя и в выражение для у*, произвольные постоянные не пишем, так как ищем частное решение

Зная общее решение соответствующего однородного уравнения, можем записать общее решение рассмотренного неоднородного уравнения



Пример 2. Найти частное решение уравнения .

 В данном случае . Поэтому ищему*в виде.

Согласно (10.6), имеем

.

Решая систему, находим

, .

Отсюда

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид:



Если правая часть уравнения (9.1) содержит многочлен, либо показательную функцию , либо тригонометрическую функцию или, то частное решение может быть найденометодом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (9.1)

Случай I.Правая часть представляет собой полином, например, второй степени

(10.7)

Если , то частное решениеу* уравнения (9.1) ищется также в форме квадратного трехчлена:, гдеи- неопределенные коэффициенты. Дифференцируя дваждыy* :,и подставляя эти выражения в уравнение (9.1), в которомопределяется (10.7), получим:

или

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xв обеих частях равенства, имеем:

(10.8)

Так как , то из этой системы для коэффициентовиполучаются определенные числовые значения. Тем самым частное решениеy* будет вполне определено.

Если же (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система(10.8) несовместна. В этом случае частное решение, полагая, что, следует искать в форме.

Аналогично обстоит дело, если есть полином какой-нибудь другой степени, например,или.

Пример 3.Решить уравнение.

• Однородное уравнение здесь следующее

.

Характеристическое уравнение имеет корнии. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

Частное решение данного уравнения ищем в виде .

Находим ,.

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим

, откуда

,,,,.

Следовательно, ,,,, т.е.,

а общее решение данного уравнения будет

.

Пример 4.Решить уравнение.

DИмеем,,,.

Так как 0- однократный корень характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде . Далее решение идет, как в предыдущем примере:,,,

,,,.

, 

Случай II.Правая часть линейного неоднородного уравнения (9.1) есть показательная функция

. (10.9)

Ищем частное решение также в форме показательной функции ,

где A-неопределенный коэффициент, отсюда.

Подставляя и выражения дляи его производных в уравнение (9.1), получим

, или после сокращения на:

. (10.10)

Если не является корнем характеристического уравнения, то

и, следовательно,.

Если число есть корень характеристического уравнения, т.е., то уравнение (10.10) противоречиво и, следовательно, уравнение (9.1) не имеет частного решения в форме (10.9).

В этом случае, если есть простой корень характеристического уравнения (т.е. другой корень отличен от), то частное решение ищется в форме. Если же-двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (9.1) нужно искать в виде.

Пример 5.Пусть.

DРешаем уравнение без правой части :. Характеристическое уравнение имеет равные корни, и общее решение однородного уравнения:. Так какне является корнем характеристического уравнения, то ищем решение уравнения с правой частью в следующей форме:, где-неопределенный коэффициент. Дифференцируя, будем иметь,. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим

-+=. Отсюда=1. Итак, частное решение уравнения с правой частью есть. Общее же решение этого уравнения имеет вид

.

Пример 6.Решить уравнение.

DКак и в предыдущем примере,. Но в данном уравнении-двукратный корень характеристического уравнения . Поэтому частное решение ищем в виде :. Далее имеем:,,-+=,=1. Следовательно,

и .

Случай III.Правая часть неоднородного уравнения (9.1) есть тригонометрический

полином

, (10.11)

где ине нули одновременно.

Ищем частное решение у* этого уравнения также в форме тригонометрического полинома(и-неопределенные коэффициенты).

Дифференцируя, получим

и.

Подставляя эти выражения в уравнение (9.1) и собирая вместе члены с и, получим:

.

Последнее равенство представляет собой тождество, и коэффициенты при ив обеих частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому

,. (10.12)

Из этой системы определяются коэффициенты и.

Единственный случай, когда система (10.12) несовместна, это ,

т.е. когда - корни характеристического уравнения. Тогда частное решениеу* ищется в виде

.