2. Интегрирование тригонометрических функций

а) Интегралы вида , где R – рациональная функция от и от, могут быть сведены к интегралам от рациональной функции нового аргументаt подстановкой

, (-  х  ),

которую называют универсальной.

Действительно,

,

.

Из подстановки следует, что,.

Таким образом, ,

где - рациональная функцияt.

Пример 9.

(см. лекцию 2,пример 23).

Пример 10. Найти

 Полагаем . Тогда:

.

Частные подстановки

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее примененииивыражаются черезt в виде рациональных дробей, содержащих .

В указываемых ниже случаях предпочтительнее следующие частные подстановки, также рационализирующие интеграл.

а*) Если - нечетная функция относительно, т.е., то интеграл рационализируется подстановкой.

Пример 11. Найти .

 Полагая , найдем,,.

Поэтому

.

Можно было бы избежать выражения ичерезt, проведя следующие

преобразования:

.

б*) Если функция нечетная относительно косинуса, т.е., то применима подстановка.

Пример 12. Найти .

 Полагаем . При этом,



Рассмотренный интеграл можно преобразовать, подведя под знак дифференциала, после чего воспользоваться подстановкой.

.

в*) Если - четная функция относительнои, т.е., если, то к цели приводит подстановка.

Пример 13. Найти

 Полагаем . Тогда,,,.

Имеем

.

К выводу о целесообразности применения подстановки можно придти, разделив в исходном интеграле числитель и знаменатель на:

.

Пример 13а. Найти .

.

Отметим, что подстановка x=tgt может быть применена к некоторым интегралам от рациональных дробей.

Вычислим с помощью этой подстановки интеграл , рассмотренный в конце лекции3.

Имеем:

.

Учитывая, что t=arctg x, приходим к ответу: .

Хотя частные подстановки, когда они применимы, обычно приводят к более простым выкладкам, чем универсальная подстановка, однако в ряде случаев она обеспечивает кратчайший путь. Поэтому при выборе подстановки нужна известная осмотрительность.

Пример 14. Найти .

 Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то применима подстановка . При такой подстановке получим:

.

Таким образом, приходим к не очень простому интегралу рациональной дроби.

Попробуем универсальную подстановку . Тогда,, и получаем

.

Универсальная подстановка оказалась предпочтительнее.

б) Интегралы вида .

Выделим три случая, имеющие особенно важное значение.

Случай 1. Если, по крайней мере, один из показателей m или n, нечетное положительное число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу. Таким образом, в этом случае интеграл берется непосредственно.

Пример 15. Найти .

 Здесь показатель степени косинуса равен трем, поэтому делаем подстановку ,. Тогда:

.

Случай 2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа.

Применение формул ,,позволяет повторным уменьшением вдвое показателей степеней синуса и косинуса свести рассматриваемые интегралы к легко вычисляемым.

Пример 16. Найти .

 Имеем



Случай 3. Если m + n является целым четным отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановку или.

Пример 17. Найти .

 Здесь m + n = . Поэтому вычисление интеграла сводится к интегрированию степеней тангенса:

.

В общем случае интегралы вида , гдеm и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые, как показано выше, выводятся путем интегрирования по частям.

В частности, интегралы от нечетной положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекуррентным формулам:

,

.

Выведем рекуррентную формулу для и с ее помощью найдем.

Имеем: .

Для вычисления первого интеграла применяем формулу интегрирования по частям:

Отсюда получаем:

Итак, интеграл выражен через:.

В частности, при n = 1 имеем: .

в) В теории рядов Фурье важное значение имеют интегралы

Тригонометрические формулы:

,

,

,

дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Пример 18. Найти .

 Имеем

.

Пример 19. =

.

Пример 20.

.

г) Интегралы вида , где n – целое положительное число.

При нахождении таких интегралов применяются формулы:

и

с помощью которых последовательно понижается степень тангенса или котангенса. Эти же формулы используются для нахождения интегралов вида:

,

где n – четное положительное число.

Пример 21. Найти .

 Имеем

. 

Этот пример показывает, что интеграл фактически берется способом

“отщепления”:

.

Первый из интегралов вычисляется непосредственно, а второй является интегралом исходного вида, но более простым, так как степень tgx снижается на две единицы.

Пример 22. Найти .

 Имеем

.

В заключение проверим свою «техническую оснащенность» на примерах вычисления следующих интегралов:

.

.

.

.

Лекция 6.